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?阿諾德·索末菲 (1868-1951)

撰文 | 潘玉林（麻省理工學(xué)院機(jī)械系博士生）

責(zé)編 | 呂浩然

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上回說(shuō)道……

索末菲個(gè)人的挑戰(zhàn)，宣告失敗。

面對(duì)失敗，索末菲并不甘心讓這個(gè)問(wèn)題沉寂下去，畢竟，他執(zhí)掌的慕尼黑學(xué)派人才濟(jì)濟(jì)。

于是，他把問(wèn)題交給了自己門(mén)下的眾多弟子們。前兩位擔(dān)此重任的學(xué)生叫做路德維?！せ羝辗?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(Ludwig Hopf) 和弗里茨·諾特 (Fritz Noether)。此二人皆出身于學(xué)術(shù)世家：前者的表弟海因茨·霍普夫 (Heinz Hopf)可謂二十世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，而后者的姐姐艾米·諾特 (Emmy Noether) 更是被愛(ài)因斯坦稱(chēng)為數(shù)學(xué)史上最重要的女性。

盡管家學(xué)淵源且?guī)煶雒T(mén)，這兩人并沒(méi)能在流動(dòng)穩(wěn)定性的問(wèn)題上取得太大的進(jìn)展。甚至，他們不約而同的認(rèn)為，由奧爾-索末菲方程(Orr-Sommerfeld)計(jì)算出來(lái)的平行流動(dòng)在任何微擾動(dòng)下都是穩(wěn)定的。因此，必須尋找新的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述湍流的發(fā)生。

?左：路德維?！せ羝辗?(1884-1939)、右：弗里茨·諾特 (1884-1941)

這個(gè)結(jié)論無(wú)疑為當(dāng)時(shí)本就黯淡的前景又蒙上了一層黑紗?？芍^一波未平、一波又起。

索末菲決定另覓人選。環(huán)顧身邊眾多弟子，剛?cè)腴T(mén)的海森堡無(wú)疑是最為根骨精奇、天賦過(guò)人的一個(gè)。在接下來(lái)的幾年里，索末菲將自己畢生所學(xué)傾囊相授，唯望他能不負(fù)所托，光大師門(mén)。

索末菲沒(méi)有看錯(cuò)。在兩年后訪學(xué)哥廷根的日子里，年僅21歲的海森堡初出茅廬便令人印象深刻：馬克思·波恩和路德維?！て绽侍?(Lugwig Prandtl) 對(duì)他刮目相看；尼爾斯·玻爾更是對(duì)他拋出橄欖枝，邀他畢業(yè)后赴哥本哈根共圖偉業(yè)。

海森堡也的確沒(méi)有讓這些人失望，數(shù)年之后，他將攜絕學(xué)矩陣力學(xué)和測(cè)不準(zhǔn)原理重出江湖，執(zhí)武林之牛耳。然而在這之前，他必須完成博士答辯，完成他的老師索末菲所托：那個(gè)已困擾了整個(gè)學(xué)派20余年的問(wèn)題。

?維爾納·海森堡 (1901-1976)

之前我們說(shuō)過(guò)，從數(shù)學(xué)上解決奧爾-索末菲方程所描述的流動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題僅需兩步。然而，海森堡在第一步就遇到了困難。盡管他用巧妙的小參數(shù)攝動(dòng)方法找出了方程的漸進(jìn)解，但由于這些方法所引出的奇點(diǎn)問(wèn)題，以及解的收斂性問(wèn)題卻讓他顧此失彼，焦頭爛額。

當(dāng)時(shí)的海森堡，對(duì)數(shù)學(xué)的運(yùn)用并不像他后來(lái)那般純熟，因此，盡管他的這些解后來(lái)被證明是正確的，但他當(dāng)時(shí)卻未能給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證。對(duì)第一步中解的數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解不足直接導(dǎo)致了第二步中處理特征方程難度加大。眼看答辯期限將至，海森堡還是一籌莫展。在數(shù)學(xué)上的捉襟見(jiàn)肘使得海森堡不得不另覓他徑：憑借自己的物理直覺(jué)，海森堡拼湊出了一個(gè)臨界穩(wěn)定雷諾數(shù)的解答，在答辯前夕如期上交了論文。

在老師索末菲的庇佑下，這篇論文順利為海森堡贏得了博士學(xué)位。但由于數(shù)學(xué)分析上的不足，尤其是對(duì)于臨界穩(wěn)定區(qū)域太過(guò)粗略的近似，海森堡這個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯鸩⑽吹玫轿锢韺W(xué)界的認(rèn)可。

海森堡終究還是失敗了，棋差一招，功虧一簣，并非招數(shù)不精，實(shí)乃內(nèi)力不足。

索末菲終于心灰意冷了。在一次慕尼黑大學(xué)物理系教員會(huì)議上，他一臉無(wú)奈地說(shuō)道：“我本不該再將如此難的題目交給我的學(xué)生作為博士課題的。”(“I could not have suggested a theme of such difficulty for a doctoral dissertation to another of my pupils.”) 

索末菲學(xué)派對(duì)流動(dòng)穩(wěn)定性的挑戰(zhàn)以失敗告終，而湍流問(wèn)題則成了索末菲一生的糾葛?？茖W(xué)巨匠西奧多·馮·卡門(mén)(Theodore von Karman, 錢(qián)學(xué)森的導(dǎo)師) 在自傳中記錄了這樣一段往事：“阿諾德·索末菲，這位著名的德國(guó)理論物理學(xué)家，曾經(jīng)告訴我，在他死前，他希望能夠理解兩種現(xiàn)象—量子力學(xué)和湍流。我相信他更接近于理解引導(dǎo)了現(xiàn)代物理學(xué)發(fā)展的量子理論，而對(duì)湍流卻還知之甚少。”(“Arnold Sommerfeld, the noted German theoretical physicist of the 1920s, once told me, for instance, that before he died he would like to understand two phenomena—quantum mechanics and turbulence. I believe he was somewhat nearer to an understanding of the quantum, the discovery that led to modern physics, but no closer to the meaning of turbulence. ”)

這段話(huà)的另一個(gè)版本來(lái)自海森堡：“見(jiàn)到上帝時(shí)我想問(wèn)他兩個(gè)問(wèn)題：為什么會(huì)有相對(duì)論？為什么會(huì)有湍流？我相信他對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題一定會(huì)有答案?！?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(“When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really believe he will have an answer for the first.”) 但出處已不可考。

我們回到海森堡的博士論文。盡管他未能完整地解決問(wèn)題，但這篇論文在當(dāng)時(shí)無(wú)疑是對(duì)流動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題的一項(xiàng)具有開(kāi)創(chuàng)性的最高水平研究。印度裔物理大師蘇布拉馬尼揚(yáng)·錢(qián)德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar) 的評(píng)價(jià)或許最為公正：“盡管海森堡引入了諸多限制和近似，他對(duì)奧爾-索末菲方程的處理無(wú)疑對(duì)所有后續(xù)工作有著建設(shè)性的指導(dǎo)?！?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(“In spite of the limitations and approximations which Heisenberg used ... his treatment of the Orr-Sommerfeld equation has had a major impact on all subsequent developments.”) 

然而， 海森堡的失敗讓這個(gè)問(wèn)題沉寂了二十年，物理學(xué)家們紛紛知難而退，無(wú)人再敢越雷池一步。

二十年后，在遙遠(yuǎn)的加州理工學(xué)院，一名來(lái)自中國(guó)的博士生向他的老師馮·卡門(mén)提交了他的博士論文。這個(gè)博士生叫林家翹，論文的題目是“論湍流的形成”(“On the development of turbulence”)。文中，林家翹用更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法得到了奧爾-索末菲方程的解，并嚴(yán)格論證了其收斂性。以此為基礎(chǔ)，林家翹又用精妙的漸進(jìn)方法進(jìn)一步解出了特征方程，計(jì)算出了對(duì)于拋物線(xiàn)速度剖面的層流的臨界雷諾數(shù)在5300左右。

整個(gè)過(guò)程絲絲入扣，巧奪天工。

?林家翹 (1916-2013)

此文一出，江湖嘩然，天下震驚。贊許聲、質(zhì)疑聲接踵而至。為平息紛爭(zhēng)，在馮·卡門(mén)的好友約翰·馮·諾依曼 (John von Neumann) 的建議下，當(dāng)時(shí)在哥倫比亞大學(xué)任教的路維林·托馬斯 (Llewellyn Thomas) 利用剛剛興起的電子計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了林家翹的解法，并將這個(gè)臨界雷諾數(shù)最終定格在5772.2。

這一年已是1953年，距離雷諾的實(shí)驗(yàn)已有近一個(gè)世紀(jì)之久。這個(gè)世紀(jì)難題終告破解，林家翹的解法也成為了求解這類(lèi)高階微分方程的典范。天下太平，四海賓服。

令人難以置信的是，林家翹的這個(gè)通過(guò)嚴(yán)格數(shù)學(xué)方法得來(lái)的不穩(wěn)定解，和海森堡當(dāng)年根據(jù)物理直覺(jué)的推測(cè)并無(wú)大異，定性相符。為此，海森堡在給老師索末菲的信中，不無(wú)得意的寫(xiě)道：“我愉快地得知我博士論文的大部分內(nèi)容依然是基本正確的。很明顯，流體力學(xué)專(zhuān)家們現(xiàn)在已經(jīng)同意拋物線(xiàn)速度剖面的流動(dòng)的確是不穩(wěn)定的。這正是我當(dāng)年所聲明的，而且我對(duì)不穩(wěn)定區(qū)域的計(jì)算也是相當(dāng)正確的。來(lái)自中國(guó)的科學(xué)家林家翹得到了同樣的結(jié)果?！?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(“I was amused to find that evidently the main content of my dissertation was still all right. In particular, the specialist on hydrodynamics now apparently agree that the parabolic flow profile is indeed instable, as I had stated at that time, and that also my calculation of the region of instability was essentially correct. The same has been found in America by the Chinese scientist Lin.”) 

我們不得不由衷地佩服海森堡天才的物理直覺(jué)。在他后來(lái)致力于量子力學(xué)領(lǐng)域的日子里，還會(huì)有幾次短暫地回歸湍流領(lǐng)域的研究，但這些都是后話(huà)了。

對(duì)于索末菲學(xué)派的這段歷史，網(wǎng)上流傳的版本多有演義和夸張之嫌。本文旨在真實(shí)和完整地還原這段往事。盡管查閱了不少資料，但要將拙作呈于眾多專(zhuān)家面前，我仍不免心懷惴惴。如果能讓流體力學(xué)專(zhuān)業(yè)的同學(xué)們從文中獲得一些啟發(fā)，則我不勝榮幸。而對(duì)于其他專(zhuān)業(yè)的讀者們，我也希望你們能夠感受到故事的精彩，體會(huì)到這門(mén)經(jīng)典學(xué)科發(fā)展的不易。

為了使科學(xué)不顯得枯燥乏味，我盡量把語(yǔ)言寫(xiě)的輕松詼諧，不去涉及太多的數(shù)學(xué)講解，但同時(shí)也爭(zhēng)取最大限度地遵循史實(shí)和科學(xué)。

然而由于文字功力有限，有時(shí)不得不在故事的流暢性和嚴(yán)謹(jǐn)性上做出一定的取舍。比如，索末菲在羅馬會(huì)議的文章中第一次推出的方程并非上文中列出的形式，而是對(duì)于線(xiàn)性速度剖面的特殊處理；海森堡的失敗也并未讓此類(lèi)問(wèn)題的研究完全“沉寂”二十年——1929年沃爾特·托米恩 (Walter Tollmien) 發(fā)表的關(guān)于邊界層穩(wěn)定性的研究與海森堡的方法一脈相承。

本文雖名為“索末菲學(xué)派那些事兒”，其實(shí)并未包含索末菲學(xué)派對(duì)于流體力學(xué)的所有重大貢獻(xiàn)。例如，索末菲大獲成功的“潤(rùn)滑理論”、海森堡論文第二部分中對(duì)于完全發(fā)展湍流的研究以及他后來(lái)對(duì)于各向同性湍流的闡釋都未列入文中。

最后，謹(jǐn)以此文紀(jì)念林家翹先生誕辰100周年！

本文首發(fā)于《MIT科研范》，《知識(shí)分子》獲得作者授權(quán)刊發(fā)，內(nèi)容略作編輯。點(diǎn)擊查看上篇《84次獲提名，諾獎(jiǎng)界無(wú)冕之王攪動(dòng)流體江湖風(fēng)云（上）》。