無(wú)所不在的概率分布鐘型曲線 | 張?zhí)烊貙?/h3>
2017/06/23
導(dǎo)讀
小球從釘板落下的游戲，都玩過(guò)吧？
?小球從釘板落下的游戲，都玩過(guò)吧？圖片來(lái)自flickr
撰文 | 張?zhí)烊?（美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺(jué)：概率論幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
● ● ●
上一篇中，通過(guò)賭徒謬誤介紹了概率論中的大數(shù)定律。大數(shù)定律說(shuō)的是當(dāng)隨機(jī)事件重復(fù)多次時(shí)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨近于預(yù)期的“概率”。但大數(shù)定律并未涉及概率分布問(wèn)題，所以本文就來(lái)說(shuō)說(shuō)概率分布。首先，用如下例子來(lái)說(shuō)明“概率分布”是什么意思。
高爾頓釘板試驗(yàn)
弗朗西斯·高爾頓（Sir Francis Galton，1822-1911）是英國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家、心理學(xué)家和遺傳學(xué)家。他是達(dá)爾文的表弟，雖然不像達(dá)爾文那樣聲名顯赫，但也并非無(wú)名之輩。不僅如此，高爾頓幼年是神童，長(zhǎng)大是才子，九十年的人生可謂豐富多彩，是個(gè)名副其實(shí)的博學(xué)家。其涉獵范圍廣泛，研究水平頗深，縱觀科學(xué)史，在其同時(shí)代科學(xué)家中，能望其項(xiàng)背之人寥寥可數(shù)【1】。
在達(dá)爾文發(fā)表了《物種起源》之后，高爾頓也將研究方向轉(zhuǎn)向生物及遺傳學(xué)，他第一個(gè)對(duì)同卵雙胞胎進(jìn)行研究，論證了指紋的永久性和獨(dú)特性；他從遺傳的角度研究人類智力并提出“優(yōu)生學(xué)”，也是第一個(gè)強(qiáng)調(diào)把統(tǒng)計(jì)學(xué)方法應(yīng)用到生物學(xué)中去的人；他還設(shè)計(jì)了一個(gè)釘板實(shí)驗(yàn)，希望從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來(lái)解釋遺傳現(xiàn)象。
?圖1：高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)
如圖1中所示，木板上訂了數(shù)排（n排）等距排列的釘子，下一排的每個(gè)釘子恰好在上一排兩個(gè)相鄰釘子中間，從入口中處放入若干直徑略小于釘子間距的小球，小球在下落的過(guò)程中碰到任何釘子后，都將以1/2的概率滾向左邊，也以 1/2的概率滾向右邊。如此反復(fù)地繼續(xù)下去，直到小球下落到底板的格子里為止。試驗(yàn)表明，只要小球足夠多，它們?cè)诘装宥殉傻男螤顚⒔朴谝粋€(gè)鐘形的高斯曲線（圖1左下黑色曲線）。
為什么這兒出現(xiàn)了一個(gè)鐘形曲線呢？這與古典概率論中最重要的“中心極限定理”有關(guān)。
中心極限定理
事實(shí)上，中心極限定理不是一個(gè)定理，而是一組定理，分別適用于不同的條件。但基本可以用一句話來(lái)概括它們：大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其求和后的平均值以正態(tài)分布（即鐘形曲線）為極限。
以上所述的高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)顯示的“鐘形曲線”便可以用中心極限定理來(lái)解釋。
考慮釘板中的某一個(gè)小球下落的過(guò)程：小球在下落過(guò)程中碰到n個(gè)釘子上，每次都等效于一次“拋硬幣”類型的隨機(jī)變量。也就是說(shuō)，一個(gè)小球從頂部到底部的過(guò)程，等效于n次拋硬幣之和。n個(gè)釘子中的每一個(gè)釘子，將小球以同等的概率彈向左邊或右邊，小球最后到達(dá)的位置，是這n個(gè)“左/右”隨機(jī)變量相加后的平均位置。不難看出，這個(gè)平均值落在中心處的概率最大（即小球聚集最多），但也可能向左或向右偏離1格、2格……偏離越大，小球的數(shù)目越少，不同位置的小球數(shù)便形成了一個(gè)“分布”，中心極限定理則是從數(shù)學(xué)上證明了，這個(gè)分布的極限是正態(tài)分布。
中心極限定理最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（de Moivre， 1667-1754）在1718年左右發(fā)現(xiàn)。他為解決朋友提出的一個(gè)賭博問(wèn)題而去認(rèn)真研究二項(xiàng)分布（每次試驗(yàn)只有“是/非”兩種可能的結(jié)果，且兩種結(jié)果發(fā)生與否互相對(duì)立）。他發(fā)現(xiàn)：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，二項(xiàng)分布（成功概率p=0.5）趨近于一個(gè)看起來(lái)呈鐘形的曲線。后來(lái)，著名法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯對(duì)此作了更詳細(xì)的研究，并證明了p不等于0.5時(shí)二項(xiàng)分布的極限也是高斯分布。之后，人們將此稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理【2】。
再后來(lái)，中心極限定理的條件逐漸從二項(xiàng)分布推廣到獨(dú)立同分布隨機(jī)序列（指隨機(jī)過(guò)程中，任何時(shí)刻的取值都為隨機(jī)變量，如果這些隨機(jī)變量服從同一分布，且互相獨(dú)立，那么這些隨機(jī)變量就是獨(dú)立同分布），以及不同分布的隨機(jī)序列。因此，中心極限定理不是只有一個(gè)定理，而是成為研究某種條件下獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的一系列命題的統(tǒng)稱。
不得不承認(rèn)中心極限定理的奇妙。在一定條件下，各種隨意形狀概率分布生成的隨機(jī)變量，它們加在一起的總效應(yīng)，是符合正態(tài)分布的。這點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)實(shí)驗(yàn)中特別有用，因?yàn)閷?shí)際上的隨機(jī)生物過(guò)程或物理過(guò)程，都不是只由一個(gè)單獨(dú)的原因產(chǎn)生的，它們受到各種各樣隨機(jī)因素的影響。然而，中心極限定理告訴我們：無(wú)論引起過(guò)程的各種效應(yīng)的基本分布是什么樣的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù) n 充分大時(shí)，所有這些隨機(jī)分量之和近似是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量（圖2）。
在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響。例如，許多因素決定了人的身高：營(yíng)養(yǎng)、遺傳、環(huán)境、族裔、性別等等，這些因素的綜合效果，使得人的身高基本滿足正態(tài)分布。另外，在物理實(shí)驗(yàn)中，免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門，各種各樣。如果能夠分別弄清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的。但是，當(dāng)所有的誤差加在一起時(shí)，實(shí)驗(yàn)者通常得到一個(gè)正態(tài)分布。
?圖2：中心極限定理
為了更為直觀地理解大數(shù)定律和中心極限定理，在圖3中，將拋硬幣所得的結(jié)果用數(shù)值表示（正面=1，反面=-1）。如此賦值以后，大數(shù)定律指的是：拋丟硬幣多次（n趨近無(wú)限大）后，結(jié)果的平均值將趨近于0，即正反面出現(xiàn)次數(shù)相等，其數(shù)值相加而互相抵消了；中心極限定理則除了考慮平均值（等于零）之外，還考慮結(jié)果的分布情形：如圖3b所示，如果只拋1次，出現(xiàn)正面（1）和反面（-1）的概率相等，對(duì)應(yīng)于公平硬幣的等概率分布，平均值為0。當(dāng)投擲次數(shù)n增加，平均值的極限值仍然保持為0，但點(diǎn)數(shù)和之分布情形變化了，n趨近無(wú)限時(shí)，分布趨于正態(tài)分布，這是中心極限定理的內(nèi)容。
?圖3：大數(shù)定律和中心極限定理
大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果告訴我們：鐘形曲線隨處可見(jiàn)。我們的世界似乎被代表正態(tài)分布的“鐘形”包圍著，很多事物都是服從正態(tài)分布：人的高度、雪花的尺寸、測(cè)量誤差、燈泡的壽命、IQ分?jǐn)?shù)、面包的重量、學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)等等。十九世紀(jì)的著名數(shù)學(xué)家龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)【3】：“每個(gè)人都相信正態(tài)法則，實(shí)驗(yàn)家認(rèn)為這是一個(gè)數(shù)學(xué)定理，數(shù)學(xué)家認(rèn)為這是一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)?！贝笞匀辉煳锏拿烂钌?yuàn)W，鬼斧神工，往往使人難以理解。鐘形分布曲線無(wú)處不在，其奧秘便是來(lái)自于中心極限定理。
中心極限定理從理論上證明了，對(duì)于大量獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)充分大時(shí)，它們的和的分布函數(shù)都可以用正態(tài)分布來(lái)近似。這使得正態(tài)分布既成為統(tǒng)計(jì)理論的重要基礎(chǔ)，又是實(shí)際應(yīng)用的強(qiáng)大工具。
就理論而言，正態(tài)分布有不少優(yōu)越性：1. 兩個(gè)正態(tài)分布的乘積仍然是正態(tài)分布；2. 兩個(gè)正態(tài)分布的和是正態(tài)分布；3. 正態(tài)分布的傅立葉變換仍然是正態(tài)分布。正態(tài)分布只需要兩個(gè)參數(shù)μ和σ就完全決定了分布的性質(zhì)（見(jiàn)圖2）。這點(diǎn)給實(shí)際計(jì)算帶來(lái)許多方便之處，再一次體現(xiàn)了中心極限定理的威力。
中心極限定理的應(yīng)用
正態(tài)分布在應(yīng)用上非常有效，下面便舉兩個(gè)簡(jiǎn)單例子予以說(shuō)明。
例1：小王到某保險(xiǎn)公司應(yīng)聘，經(jīng)理給他出了一道考題：如果讓你設(shè)計(jì)一項(xiàng)人壽保險(xiǎn)，假設(shè)客戶的數(shù)目有1萬(wàn)左右，被保險(xiǎn)人每年交200元保費(fèi)，保險(xiǎn)的賠償金額為5萬(wàn)元，估計(jì)當(dāng)?shù)匾荒甑乃劳雎?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（自然+意外）為0.25%左右，那么，你會(huì)如何計(jì)算公司的獲利情況？
小王在經(jīng)理面前緊張地估算了一下：從1萬(wàn)個(gè)客戶得到的保費(fèi)是200萬(wàn)，然后1萬(wàn)人乘以死亡率，可能有25人死亡，賠償金額為25×5萬(wàn)，等于125萬(wàn)。所以，公司可能的收益應(yīng)該是200萬(wàn)減去125萬(wàn)，等于75萬(wàn)左右。這是小王的答案。
經(jīng)理面露滿意的笑容，但又繼續(xù)問(wèn)：75萬(wàn)只是一個(gè)大概可能的數(shù)目，如果要你大略地估計(jì)一下，公司一年內(nèi)從這個(gè)項(xiàng)目得到的總收益為50-100萬(wàn)元的概率是多少，或者需要估計(jì)公司虧本的概率，你怎么算呢？
?圖4：正態(tài)分布用于估計(jì)人壽保險(xiǎn)
這下難倒了小王：要真正計(jì)算概率需要用到分布，這是什么分布?。啃⊥跄X袋里突然冒出了“中心極限定理”，1萬(wàn)個(gè)客戶的數(shù)目足夠大了，可以用正態(tài)分布：首先需要計(jì)算平均值μ和方差σ。人壽保險(xiǎn)近似于一個(gè)像拋硬幣的“二項(xiàng)分布”問(wèn)題：受保人死亡，保險(xiǎn)公司賠償，反之則不賠償。只不過(guò)，這兒死亡的概率比較小，p=0.25%。用正態(tài)分布來(lái)近似的話，只要知道了期望和方差，概率便不難計(jì)算。小王回想起正態(tài)分布的簡(jiǎn)單圖像以及幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)值（見(jiàn)圖4），算出均值μ=E(X)=np=10000*0.25%=25，方差σ2=Var(X)=np(1-p)=25 ，由此得到σ=5。
然后，要計(jì)算公司賺50-100萬(wàn)元的概率，從圖4可知，也就是死亡人數(shù)在20到30之間的概率，剛好就是從（μ-σ ）到（μ+σ ）之間的面積，大約68.2%左右。至于公司何種情況下會(huì)虧本呢？直觀而言，如果死亡的人數(shù)多于40，公司便虧本了，概率到底是多少呢？同樣可用圖4進(jìn)行估計(jì)，40和25之間相差15，等于3σ，因而得到概率大約等于0.1%，所以，保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為零。
例2：圖5a是美國(guó)2010年1,547,990個(gè)SAT考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)，其中有1,313,812個(gè)分?jǐn)?shù)在1850之下，有74,165個(gè)成績(jī)是在2050以上。由此我們從原始數(shù)據(jù)可以算出：分?jǐn)?shù)在1850之下的百分比是0.849，分?jǐn)?shù)在2050之上的百分比是0.0479。
?圖5：SAT成績(jī)
另一方面，原始的結(jié)果可以用一個(gè)平均分?jǐn)?shù)μ=1509，標(biāo)準(zhǔn)方差的平方根σ=312的正態(tài)曲線來(lái)近似。因此，我們也可以從正態(tài)分布曲線來(lái)計(jì)算分?jǐn)?shù)低于1850及高于2050的百分比，它們分別對(duì)應(yīng)于圖5b和圖5c中陰影部分的面積。根據(jù)高斯積分求出兩個(gè)圖中的面積分別為0.8621和0.0418。對(duì)照從原始數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果0.849和0.0479，相差非常小。
由此可以看出，中心極限定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常廣泛。大數(shù)定律和中心極限定理，都是基于多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的古典概率觀點(diǎn)，屬于頻率學(xué)派。下一篇中將介紹概率論中極端的兩大派別：頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派。
參考文獻(xiàn)：
【1】"Sir Francis Galton F.R.S: 1822-1911". galton.org. Retrieved 9 January 2017.
【2】維基百科：中心極限定理
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86
【3】Gabriel Lippmann (French physicist ,16 Aug 1845 - 13 Jul 1921), Conversation with Henri Poincaré. In Henri Poincaré, Calcul ds Probabilités (1896), 171
制版編輯：呂浩然丨
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撰文 | 張?zhí)烊?（美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺(jué)：概率論幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
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上一篇中，通過(guò)賭徒謬誤介紹了概率論中的大數(shù)定律。大數(shù)定律說(shuō)的是當(dāng)隨機(jī)事件重復(fù)多次時(shí)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨近于預(yù)期的“概率”。但大數(shù)定律并未涉及概率分布問(wèn)題，所以本文就來(lái)說(shuō)說(shuō)概率分布。首先，用如下例子來(lái)說(shuō)明“概率分布”是什么意思。
高爾頓釘板試驗(yàn)
弗朗西斯·高爾頓（Sir Francis Galton，1822-1911）是英國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家、心理學(xué)家和遺傳學(xué)家。他是達(dá)爾文的表弟，雖然不像達(dá)爾文那樣聲名顯赫，但也并非無(wú)名之輩。不僅如此，高爾頓幼年是神童，長(zhǎng)大是才子，九十年的人生可謂豐富多彩，是個(gè)名副其實(shí)的博學(xué)家。其涉獵范圍廣泛，研究水平頗深，縱觀科學(xué)史，在其同時(shí)代科學(xué)家中，能望其項(xiàng)背之人寥寥可數(shù)【1】。
在達(dá)爾文發(fā)表了《物種起源》之后，高爾頓也將研究方向轉(zhuǎn)向生物及遺傳學(xué)，他第一個(gè)對(duì)同卵雙胞胎進(jìn)行研究，論證了指紋的永久性和獨(dú)特性；他從遺傳的角度研究人類智力并提出“優(yōu)生學(xué)”，也是第一個(gè)強(qiáng)調(diào)把統(tǒng)計(jì)學(xué)方法應(yīng)用到生物學(xué)中去的人；他還設(shè)計(jì)了一個(gè)釘板實(shí)驗(yàn)，希望從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來(lái)解釋遺傳現(xiàn)象。
?圖1：高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)
如圖1中所示，木板上訂了數(shù)排（n排）等距排列的釘子，下一排的每個(gè)釘子恰好在上一排兩個(gè)相鄰釘子中間，從入口中處放入若干直徑略小于釘子間距的小球，小球在下落的過(guò)程中碰到任何釘子后，都將以1/2的概率滾向左邊，也以 1/2的概率滾向右邊。如此反復(fù)地繼續(xù)下去，直到小球下落到底板的格子里為止。試驗(yàn)表明，只要小球足夠多，它們?cè)诘装宥殉傻男螤顚⒔朴谝粋€(gè)鐘形的高斯曲線（圖1左下黑色曲線）。
為什么這兒出現(xiàn)了一個(gè)鐘形曲線呢？這與古典概率論中最重要的“中心極限定理”有關(guān)。
中心極限定理
事實(shí)上，中心極限定理不是一個(gè)定理，而是一組定理，分別適用于不同的條件。但基本可以用一句話來(lái)概括它們：大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其求和后的平均值以正態(tài)分布（即鐘形曲線）為極限。
以上所述的高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)顯示的“鐘形曲線”便可以用中心極限定理來(lái)解釋。
考慮釘板中的某一個(gè)小球下落的過(guò)程：小球在下落過(guò)程中碰到n個(gè)釘子上，每次都等效于一次“拋硬幣”類型的隨機(jī)變量。也就是說(shuō)，一個(gè)小球從頂部到底部的過(guò)程，等效于n次拋硬幣之和。n個(gè)釘子中的每一個(gè)釘子，將小球以同等的概率彈向左邊或右邊，小球最后到達(dá)的位置，是這n個(gè)“左/右”隨機(jī)變量相加后的平均位置。不難看出，這個(gè)平均值落在中心處的概率最大（即小球聚集最多），但也可能向左或向右偏離1格、2格……偏離越大，小球的數(shù)目越少，不同位置的小球數(shù)便形成了一個(gè)“分布”，中心極限定理則是從數(shù)學(xué)上證明了，這個(gè)分布的極限是正態(tài)分布。
中心極限定理最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（de Moivre， 1667-1754）在1718年左右發(fā)現(xiàn)。他為解決朋友提出的一個(gè)賭博問(wèn)題而去認(rèn)真研究二項(xiàng)分布（每次試驗(yàn)只有“是/非”兩種可能的結(jié)果，且兩種結(jié)果發(fā)生與否互相對(duì)立）。他發(fā)現(xiàn)：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，二項(xiàng)分布（成功概率p=0.5）趨近于一個(gè)看起來(lái)呈鐘形的曲線。后來(lái)，著名法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯對(duì)此作了更詳細(xì)的研究，并證明了p不等于0.5時(shí)二項(xiàng)分布的極限也是高斯分布。之后，人們將此稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理【2】。
再后來(lái)，中心極限定理的條件逐漸從二項(xiàng)分布推廣到獨(dú)立同分布隨機(jī)序列（指隨機(jī)過(guò)程中，任何時(shí)刻的取值都為隨機(jī)變量，如果這些隨機(jī)變量服從同一分布，且互相獨(dú)立，那么這些隨機(jī)變量就是獨(dú)立同分布），以及不同分布的隨機(jī)序列。因此，中心極限定理不是只有一個(gè)定理，而是成為研究某種條件下獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的一系列命題的統(tǒng)稱。
不得不承認(rèn)中心極限定理的奇妙。在一定條件下，各種隨意形狀概率分布生成的隨機(jī)變量，它們加在一起的總效應(yīng)，是符合正態(tài)分布的。這點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)實(shí)驗(yàn)中特別有用，因?yàn)閷?shí)際上的隨機(jī)生物過(guò)程或物理過(guò)程，都不是只由一個(gè)單獨(dú)的原因產(chǎn)生的，它們受到各種各樣隨機(jī)因素的影響。然而，中心極限定理告訴我們：無(wú)論引起過(guò)程的各種效應(yīng)的基本分布是什么樣的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù) n 充分大時(shí)，所有這些隨機(jī)分量之和近似是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量（圖2）。
在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響。例如，許多因素決定了人的身高：營(yíng)養(yǎng)、遺傳、環(huán)境、族裔、性別等等，這些因素的綜合效果，使得人的身高基本滿足正態(tài)分布。另外，在物理實(shí)驗(yàn)中，免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門，各種各樣。如果能夠分別弄清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的。但是，當(dāng)所有的誤差加在一起時(shí)，實(shí)驗(yàn)者通常得到一個(gè)正態(tài)分布。
?圖2：中心極限定理
為了更為直觀地理解大數(shù)定律和中心極限定理，在圖3中，將拋硬幣所得的結(jié)果用數(shù)值表示（正面=1，反面=-1）。如此賦值以后，大數(shù)定律指的是：拋丟硬幣多次（n趨近無(wú)限大）后，結(jié)果的平均值將趨近于0，即正反面出現(xiàn)次數(shù)相等，其數(shù)值相加而互相抵消了；中心極限定理則除了考慮平均值（等于零）之外，還考慮結(jié)果的分布情形：如圖3b所示，如果只拋1次，出現(xiàn)正面（1）和反面（-1）的概率相等，對(duì)應(yīng)于公平硬幣的等概率分布，平均值為0。當(dāng)投擲次數(shù)n增加，平均值的極限值仍然保持為0，但點(diǎn)數(shù)和之分布情形變化了，n趨近無(wú)限時(shí)，分布趨于正態(tài)分布，這是中心極限定理的內(nèi)容。
?圖3：大數(shù)定律和中心極限定理
大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果告訴我們：鐘形曲線隨處可見(jiàn)。我們的世界似乎被代表正態(tài)分布的“鐘形”包圍著，很多事物都是服從正態(tài)分布：人的高度、雪花的尺寸、測(cè)量誤差、燈泡的壽命、IQ分?jǐn)?shù)、面包的重量、學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)等等。十九世紀(jì)的著名數(shù)學(xué)家龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)【3】：“每個(gè)人都相信正態(tài)法則，實(shí)驗(yàn)家認(rèn)為這是一個(gè)數(shù)學(xué)定理，數(shù)學(xué)家認(rèn)為這是一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)?！贝笞匀辉煳锏拿烂钌?yuàn)W，鬼斧神工，往往使人難以理解。鐘形分布曲線無(wú)處不在，其奧秘便是來(lái)自于中心極限定理。
中心極限定理從理論上證明了，對(duì)于大量獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)充分大時(shí)，它們的和的分布函數(shù)都可以用正態(tài)分布來(lái)近似。這使得正態(tài)分布既成為統(tǒng)計(jì)理論的重要基礎(chǔ)，又是實(shí)際應(yīng)用的強(qiáng)大工具。
就理論而言，正態(tài)分布有不少優(yōu)越性：1. 兩個(gè)正態(tài)分布的乘積仍然是正態(tài)分布；2. 兩個(gè)正態(tài)分布的和是正態(tài)分布；3. 正態(tài)分布的傅立葉變換仍然是正態(tài)分布。正態(tài)分布只需要兩個(gè)參數(shù)μ和σ就完全決定了分布的性質(zhì)（見(jiàn)圖2）。這點(diǎn)給實(shí)際計(jì)算帶來(lái)許多方便之處，再一次體現(xiàn)了中心極限定理的威力。
中心極限定理的應(yīng)用
正態(tài)分布在應(yīng)用上非常有效，下面便舉兩個(gè)簡(jiǎn)單例子予以說(shuō)明。
例1：小王到某保險(xiǎn)公司應(yīng)聘，經(jīng)理給他出了一道考題：如果讓你設(shè)計(jì)一項(xiàng)人壽保險(xiǎn)，假設(shè)客戶的數(shù)目有1萬(wàn)左右，被保險(xiǎn)人每年交200元保費(fèi)，保險(xiǎn)的賠償金額為5萬(wàn)元，估計(jì)當(dāng)?shù)匾荒甑乃劳雎?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（自然+意外）為0.25%左右，那么，你會(huì)如何計(jì)算公司的獲利情況？
小王在經(jīng)理面前緊張地估算了一下：從1萬(wàn)個(gè)客戶得到的保費(fèi)是200萬(wàn)，然后1萬(wàn)人乘以死亡率，可能有25人死亡，賠償金額為25×5萬(wàn)，等于125萬(wàn)。所以，公司可能的收益應(yīng)該是200萬(wàn)減去125萬(wàn)，等于75萬(wàn)左右。這是小王的答案。
經(jīng)理面露滿意的笑容，但又繼續(xù)問(wèn)：75萬(wàn)只是一個(gè)大概可能的數(shù)目，如果要你大略地估計(jì)一下，公司一年內(nèi)從這個(gè)項(xiàng)目得到的總收益為50-100萬(wàn)元的概率是多少，或者需要估計(jì)公司虧本的概率，你怎么算呢？
?圖4：正態(tài)分布用于估計(jì)人壽保險(xiǎn)
這下難倒了小王：要真正計(jì)算概率需要用到分布，這是什么分布?。啃⊥跄X袋里突然冒出了“中心極限定理”，1萬(wàn)個(gè)客戶的數(shù)目足夠大了，可以用正態(tài)分布：首先需要計(jì)算平均值μ和方差σ。人壽保險(xiǎn)近似于一個(gè)像拋硬幣的“二項(xiàng)分布”問(wèn)題：受保人死亡，保險(xiǎn)公司賠償，反之則不賠償。只不過(guò)，這兒死亡的概率比較小，p=0.25%。用正態(tài)分布來(lái)近似的話，只要知道了期望和方差，概率便不難計(jì)算。小王回想起正態(tài)分布的簡(jiǎn)單圖像以及幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)值（見(jiàn)圖4），算出均值μ=E(X)=np=10000*0.25%=25，方差σ2=Var(X)=np(1-p)=25 ，由此得到σ=5。
然后，要計(jì)算公司賺50-100萬(wàn)元的概率，從圖4可知，也就是死亡人數(shù)在20到30之間的概率，剛好就是從（μ-σ ）到（μ+σ ）之間的面積，大約68.2%左右。至于公司何種情況下會(huì)虧本呢？直觀而言，如果死亡的人數(shù)多于40，公司便虧本了，概率到底是多少呢？同樣可用圖4進(jìn)行估計(jì)，40和25之間相差15，等于3σ，因而得到概率大約等于0.1%，所以，保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為零。
例2：圖5a是美國(guó)2010年1,547,990個(gè)SAT考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)，其中有1,313,812個(gè)分?jǐn)?shù)在1850之下，有74,165個(gè)成績(jī)是在2050以上。由此我們從原始數(shù)據(jù)可以算出：分?jǐn)?shù)在1850之下的百分比是0.849，分?jǐn)?shù)在2050之上的百分比是0.0479。
?圖5：SAT成績(jī)
另一方面，原始的結(jié)果可以用一個(gè)平均分?jǐn)?shù)μ=1509，標(biāo)準(zhǔn)方差的平方根σ=312的正態(tài)曲線來(lái)近似。因此，我們也可以從正態(tài)分布曲線來(lái)計(jì)算分?jǐn)?shù)低于1850及高于2050的百分比，它們分別對(duì)應(yīng)于圖5b和圖5c中陰影部分的面積。根據(jù)高斯積分求出兩個(gè)圖中的面積分別為0.8621和0.0418。對(duì)照從原始數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果0.849和0.0479，相差非常小。
由此可以看出，中心極限定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常廣泛。大數(shù)定律和中心極限定理，都是基于多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的古典概率觀點(diǎn)，屬于頻率學(xué)派。下一篇中將介紹概率論中極端的兩大派別：頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派。
參考文獻(xiàn)：
【1】"Sir Francis Galton F.R.S: 1822-1911". galton.org. Retrieved 9 January 2017.
【2】維基百科：中心極限定理
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86
【3】Gabriel Lippmann (French physicist ,16 Aug 1845 - 13 Jul 1921), Conversation with Henri Poincaré. In Henri Poincaré, Calcul ds Probabilités (1896), 171
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