新春特獻(xiàn) | 仿佛來自虛空——亞歷山大-格洛騰迪克的一生（三）
?格洛騰迪克在IHéS給學(xué)生上課。圖片來源：the Grothendieck Circle
撰文 | Allyn Jackson（AMS Notices 高級(jí)作家和編輯）
翻譯 | 歐陽毅（中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）
● ● ●
在IHéS（高等科學(xué)研究所）的英雄歲月里，Dieudonné和我是所里僅有的成員，也是僅有的可以給它帶來信譽(yù)和科學(xué)世界聽眾的人……我覺得自己和Dieudonné一起，有點(diǎn)象是我任職的這個(gè)研究所的“科學(xué)”共同創(chuàng)始人，而且我期望在那里結(jié)束我的歲月！我最終強(qiáng)烈地認(rèn)同IHéS……
——《收獲與播種》，第169頁
1958年6月，在巴黎索邦舉行的發(fā)起人會(huì)議上，高等科學(xué)研究所（Institut des Hautes études Scientifiques, IHéS）正式成立。IHéS的創(chuàng)始人Léon Motchane，一位具有物理博士學(xué)位的商人，設(shè)想在法國成立一個(gè)和普林斯頓的高等研究院類似的獨(dú)立的研究型學(xué)院。IHéS的最初計(jì)劃是集中做三個(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究：數(shù)學(xué)，理論物理和人類科學(xué)方法論。盡管第三個(gè)領(lǐng)域從來沒有在那立足過，在10年時(shí)間里，IHéS已經(jīng)建設(shè)成為世界上最頂尖的數(shù)學(xué)和理論物理中心之一，擁有一群為數(shù)不多但素質(zhì)一流的成員和一個(gè)很活躍的訪問學(xué)者計(jì)劃。
根據(jù)科學(xué)史家David Aubin的博士論文[Aubin]，就是在1958年愛丁堡數(shù)學(xué)家大會(huì)或者可能更前的時(shí)候，Motchane說服Dieudonné和格洛騰迪克接受新設(shè)立的IHéS的教授職位。Cartier在[Cartier2]中說Motchane起初希望聘用Dieudonné，而Dieudonné則將格洛騰迪克的聘請(qǐng)作為他接受聘請(qǐng)的一個(gè)條件。因?yàn)镮HéS從一開始就是獨(dú)立于國家的，聘請(qǐng)格洛騰迪克不是一個(gè)問題，盡管他是無國籍人。兩位教授在1959年3月正式上任，格洛騰迪克在同年5月開始他的代數(shù)幾何討論班。René Thom，1958年大會(huì)菲爾茲獎(jiǎng)?wù)芦@得者，在1963年10月加入，而IHéS的理論物理部隨著1962年Louis Michel和1964年David Ruelle的任命開始進(jìn)行活動(dòng)。就這樣到1960年代中期，Motchane就已經(jīng)為他的新研究所招募了一群杰出的研究人員。
到1962年的時(shí)候，IHéS還沒有永久的活動(dòng)場所。辦公場所是從Thiers基金會(huì)租用的，討論班也在那里或巴黎的大學(xué)里舉行。Aubin報(bào)道說一位叫Arthur Wightman的IHéS早期訪問學(xué)者就被希望在他的旅館房間里工作。據(jù)說，當(dāng)一位訪問學(xué)者告之圖書館資料不足的時(shí)候，格洛騰迪克回答說：“我們不讀書的，我們是寫書的！”的確在最初幾年里，研究所的很多活動(dòng)是圍繞“Publications Mathématiques de l'IHéS”進(jìn)行的，它的起初幾卷包括奠基性著作éléments de Géométrize Algébrique，其以起首字面縮寫EGA而聞名于世。事實(shí)上EGA的撰寫在Dieudonné和格洛騰迪克正式于IHéS上任前半年就已經(jīng)開始了；[Corr]里提及最初寫作的日期是1958年的秋天。
EGA的著述者通常認(rèn)為是格洛騰迪克，“與Jean Dieudonné的合作”。格洛騰迪克將筆記和草稿寫好，然后由Dieudonné充實(shí)和完善。根據(jù)Armand Borel的解釋，格洛騰迪克是把握EGA全局的人，而Dieudonné只是對(duì)此有逐行的理解?！癉ieudonné將它寫得相當(dāng)繁瑣，”Borel評(píng)論說。同時(shí)，“Dieudonné當(dāng)然又有令人難以置信的高效。沒有別的人可以將它寫好而不嚴(yán)重影響自己的工作?！睂?duì)于當(dāng)時(shí)那些想進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域的人來說，從EGA中學(xué)習(xí)是一件令人望而生畏的挑戰(zhàn)。目前它很少作為這個(gè)領(lǐng)域的入門書，因?yàn)橛衅渌S多更容易入門的教材可供選擇。不過那些教材并沒有做EGA打算做的事，也就是完全而系統(tǒng)地解釋清楚研究概型所需要的一些工具?，F(xiàn)在在波恩的馬克斯-普朗克數(shù)學(xué)研究所的Gerd Faltings，當(dāng)他在普林斯頓大學(xué)的時(shí)候，就鼓勵(lì)自己的博士研究生去學(xué)EGA。對(duì)很多數(shù)學(xué)家而言，EGA仍然是一本有用而全面的參考書。IHéS的現(xiàn)任所長Jean-Pierre Bourguignon說每年研究所仍然要賣掉超過100本的EGA。
格洛騰迪克計(jì)劃中EGA要包括的東西十分多。在1959年8月給Serre的信中，他給了個(gè)簡要的大綱，其中包括基本群，范疇論，留數(shù)，對(duì)偶，相交數(shù)，Weil上同調(diào)，加上“如果上帝愿意，一點(diǎn)同倫論”?！俺怯胁豢深A(yù)知的困難或者我掉入泥沼里去了，這個(gè)multiplodocus應(yīng)該在三年內(nèi)或最多四年內(nèi)完成，”格洛騰迪克很樂觀地說，此處他應(yīng)用了他和Serre的玩笑用語multiplodocus，其意是指一篇很長的文章?！拔覀兘酉氯ゾ涂梢蚤_始做代數(shù)幾何了！”格洛騰迪克歡呼道。后來的情況表明，EGA在經(jīng)過近乎指數(shù)式增長后失去了動(dòng)力：第一章和第二章每章一卷，第三章兩卷，而最后一章第四章則達(dá)到了四卷。它們一共有1800多頁。盡管EGA沒有達(dá)到格洛騰迪克計(jì)劃的要求，它仍然是一項(xiàng)里程碑式的著作。
EGA這個(gè)標(biāo)題仿效Nicolas Bourbaki的《數(shù)學(xué)原理》系列的標(biāo)題不是偶然的，正如后者仿效歐幾里得的《幾何原本》也不偶然一樣。格洛騰迪克從1950年代后期開始，數(shù)年內(nèi)曾經(jīng)是布爾巴基學(xué)派的成員，而且他和學(xué)派內(nèi)很多成員關(guān)系密切。布爾巴基是一群數(shù)學(xué)家的筆名，其大多數(shù)是法國人，他們?cè)谝黄鸷献髯珜憯?shù)學(xué)方面一系列基礎(chǔ)性的著作。Dieudonné和Henri Cartan，Claude Chevalley，Jean Delsarte，André Weil一起，是布爾巴基學(xué)派的創(chuàng)始成員。一般情況下學(xué)派有10名成員，其組成隨著歲月而演化。布爾巴基最早的書出版于1939年，而它的影響在1950年代和1960年代達(dá)到了頂峰。這些書籍的目的是對(duì)數(shù)學(xué)的中心領(lǐng)域提供公理化的處理，使其一般性程度足以對(duì)最大數(shù)目的數(shù)學(xué)家有用處。這些著作都是經(jīng)過成員間激烈甚至火爆的辯論的嚴(yán)格考驗(yàn)才誕生的，而這些成員中的許多人都有很強(qiáng)的人格和非常個(gè)性化的觀點(diǎn)。曾是布爾巴基成員25年的Borel寫道這個(gè)合作可能是“數(shù)學(xué)史上的獨(dú)特事件”[Borel]。布爾巴基匯聚了當(dāng)時(shí)許多的頂尖數(shù)學(xué)家的努力，他們無私的匿名奉獻(xiàn)自己的大量時(shí)間和精力來撰寫教材，使得這個(gè)領(lǐng)域的一大部分容易讓大家理解。這些教材有很大的影響，到1970和1980年代，有人埋怨布爾巴基的影響太大了。還有人也批評(píng)這些書的形式過于抽象和一般化。
布爾巴基和格洛騰迪克的工作有一些相似之處，此表現(xiàn)在抽象化和一般化的程度上，也表現(xiàn)在其目的都是基本、細(xì)致而有系統(tǒng)。他們間的主要區(qū)別是布爾巴基包括了數(shù)學(xué)研究的一系列領(lǐng)域，而格洛騰迪克主要關(guān)注在代數(shù)幾何上發(fā)展新的思想，以Weil猜想作為其主要的目標(biāo)。格洛騰迪克的工作差不多集中在他自己的內(nèi)在觀點(diǎn)上，而布爾巴基則是鑄造他的成員們的不同觀點(diǎn)的結(jié)合的合作努力。
Borel在[Borel]中描述了1957年3月布爾巴基的聚會(huì)，他稱之為“頑固的函子大會(huì)”，因?yàn)楦衤弪v迪克提議一篇關(guān)于范疇論的Bourbaki草稿應(yīng)該從一個(gè)更范疇論的觀點(diǎn)來重寫。布爾巴基沒有采用這個(gè)想法，認(rèn)為這將導(dǎo)致無窮無盡的基礎(chǔ)建設(shè)的循環(huán)往復(fù)。格洛騰迪克“不能夠真正和布爾巴基合作，因?yàn)樗兴约旱凝嫶髾C(jī)器，而布爾巴基對(duì)他而言，還不夠一般化，”Serre回憶說。另外，Serre評(píng)論道：“我認(rèn)為他不是很喜歡布爾巴基這樣的體系，在此我們可以真正詳細(xì)討論草稿并且批評(píng)它們……這不是他做數(shù)學(xué)的方式。他想自己單干?！备衤弪v迪克在1960年離開布爾巴基，盡管他繼續(xù)和其中很多成員關(guān)系密切。
有些故事傳說格洛騰迪克離開布爾巴基是因?yàn)樗蚖eil的沖突，實(shí)際上他們?cè)诓紶柊突鶗r(shí)間上僅僅有很短的重合：根據(jù)慣例，成員必須在50歲的時(shí)候退休，所以Weil在1956年離開了學(xué)派。然而，格洛騰迪克和Weil作為數(shù)學(xué)家很不一樣倒的確是事實(shí)。根據(jù)Deligne的說法：“Weil不知為何覺得格洛騰迪克對(duì)意大利幾何學(xué)家們的工作和對(duì)經(jīng)典文獻(xiàn)闡明的結(jié)果太無知了，而且Weil不喜歡這種建造巨大機(jī)器的工作方式……他們的風(fēng)格相當(dāng)不一樣?！?/p>
除去EGA以外，格洛騰迪克代數(shù)幾何全集的另外一個(gè)主要部分是Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie，簡稱SGA，其中包括他的IHéS討論班的演講的講義。它們最初由IHéS分發(fā)。SGA2由North Holland和Masson合作出版的，而其他幾卷則是由Springer-Verlag出版。SGA1整理自1960-1961年討論班，而這個(gè)系列最后的SGA7則來自1967-1969年的討論班。與目的是為了奠基的EGA不一樣，SGA描述的是出現(xiàn)在格洛騰迪克討論班上的正在進(jìn)行的研究。他也在巴黎布爾巴基討論班上介紹了很多結(jié)果，它們被合集為FGA，即Fondements de la Géometrie Algébrique，其出版于1962年。EGA，SGA和FGA加起來大約有7500頁。
?EGA的標(biāo)題頁，章節(jié)一。圖片來源：the Grothendieck Circle
如果說數(shù)學(xué)里有什么東西讓我比對(duì)別的東西更著迷的話（毫無疑問，總有些讓我著迷的），它既不是“數(shù)”也不是“大小”，而是型。在一千零一張通過其型來展示給我的面孔中，讓我比其他更著迷的而且會(huì)繼續(xù)讓我著迷下去的，就是那隱藏在數(shù)學(xué)對(duì)象下的結(jié)構(gòu)。
——《收獲與播種》，第27頁
在《收獲與播種》第一卷里，格洛騰迪克對(duì)他的工作作了一個(gè)解釋性的概括，意在讓非數(shù)學(xué)家能夠理解（第25－48頁）。在那兒他寫道，從最根本上來講，他的工作是尋找兩個(gè)世界的統(tǒng)一：“算術(shù)世界，其中（所謂的）‘空間’沒有連續(xù)性的概念，和連續(xù)物體的世界，其中的‘空間’在恰當(dāng)?shù)臈l件下，可以用分析學(xué)家的方法來理解”。Weil猜想如此讓人渴望正是因?yàn)樗鼈兲峁┝舜朔N統(tǒng)一的線索。勝于直接嘗試解決Weil猜想，格洛騰迪克大大地推廣了它們的整個(gè)內(nèi)涵。這樣做可以讓他感知更大的結(jié)構(gòu)，這些猜想所憑依于此結(jié)構(gòu)，卻只能給它提供驚鴻一瞥。在《收獲與播種》這一節(jié)里，格洛騰迪克解釋了他工作中一些主要思想，包括概型、層和拓?fù)渌埂?/p>
基本上說，概型是代數(shù)簇概念的一個(gè)推廣。給定一組素特征有限域，一個(gè)概型就可以產(chǎn)生一組代數(shù)簇，而每一個(gè)都有它自己與眾不同的幾何結(jié)構(gòu)。“這些具有不同特征的不同代數(shù)簇構(gòu)成的組可以想象為一個(gè)‘由代數(shù)簇組成的無限扇面的扇子’（每個(gè)特征構(gòu)成一個(gè)扇面），”格洛騰迪克寫道。“‘概型’就是這樣的魔術(shù)扇子，就如扇子連接很多不同的‘分支’一樣，它連接著所有可能特征的‘化身’或‘轉(zhuǎn)世’?！钡礁判偷耐茝V則可以讓大家在一個(gè)統(tǒng)一方法下，研究一個(gè)代數(shù)簇所有的不同“化身”。在格洛騰迪克之前，“我認(rèn)為大家都不真正相信能夠這樣做，”Michael Artin評(píng)論說，“這太激進(jìn)了，沒有人有勇氣哪怕去想象這個(gè)方法可能行，甚至可能在完全一般的情況下都行。這個(gè)想法真的太出色了?！?/p>
從19世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家Enrico Betti的遠(yuǎn)見開始，同調(diào)和它的對(duì)偶上同調(diào)那時(shí)候已經(jīng)發(fā)展成為研究拓?fù)淇臻g的工具?；旧险f，上同調(diào)理論提供一些不變量，這些不變量可以認(rèn)為是衡量空間的這個(gè)或那個(gè)方面的‘準(zhǔn)尺’。由Weil猜想隱含著的洞察力所激發(fā)的巨大期望就是拓?fù)淇臻g的上同調(diào)方法可以適用于簇與概型。這個(gè)期望在很大程度上由格洛騰迪克及其合作者的工作實(shí)現(xiàn)了?！熬拖笠挂岳^日一樣將這些上同調(diào)技巧帶到”代數(shù)幾何中，Mumford注意到?！八耆嵏擦诉@個(gè)領(lǐng)域。這就象傅立葉分析之前和之后的分析學(xué)。你一旦知道傅立葉分析的技巧，突然間你看一個(gè)函數(shù)的時(shí)候就有了完全深厚的洞察力。這和上同調(diào)很類似?！?nbsp;
層的概念是由讓-勒雷所構(gòu)想而后由Henri Cartan和Jean-Pierre Serre進(jìn)一步發(fā)展的。在他的奠基性文章FAC（“Faisceaux algébriques cohérents”,“代數(shù)凝聚層”，[FAC]）中，Serre論證了如何將層應(yīng)用到代數(shù)幾何中去。格洛騰迪克在《收獲與播種》中描述了這個(gè)概念如何改變了數(shù)學(xué)的全貌：當(dāng)層的想法提出來后，就好象原來的五好標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào)“準(zhǔn)尺”突然間繁殖成為一組無窮多個(gè)新“準(zhǔn)尺”，它們擁有各種各樣的大小和形狀，每一個(gè)都完美地適合它自己獨(dú)特的衡量任務(wù)。更進(jìn)一步說，一個(gè)空間所有層構(gòu)成的范疇包含了如此多的信息，本質(zhì)上人們可以“忘記”這個(gè)空間本身。所有這些的信息都包括在層里面——格洛騰迪克稱此為“沉默而可靠的向?qū)А?，引領(lǐng)他走向發(fā)現(xiàn)之路。
拓?fù)渌沟母拍?，如格洛騰迪克所寫，是“空間概念的變體”。層的概念提供了一種辦法，將空間所依附的拓?fù)湓O(shè)置，轉(zhuǎn)化為層范疇所依附的范疇設(shè)置。拓?fù)渌箘t可以描述為這樣一個(gè)范疇，它盡管無需起因于普通空間，然而卻具有所有層范疇的“好”的性質(zhì)。拓?fù)渌沟母拍?，格洛騰迪克寫道，突出了這樣的事實(shí)：“對(duì)于一個(gè)拓?fù)淇臻g而言真正重要的根本不是它的‘點(diǎn)’或者點(diǎn)構(gòu)成的子集和它們的親近關(guān)系等等，而是空間上的層和層構(gòu)成的范疇”。
為了提出拓?fù)渌沟母拍?，格洛騰迪克“很深入地思考了空間的概念”，Deligne評(píng)價(jià)道?！八麨槔斫釽eil猜想所創(chuàng)立的理論首先是創(chuàng)立拓?fù)渌沟母拍?，將空間概念推廣，然后定義適用于這個(gè)問題的拓?fù)渌?，”他解釋說。格洛騰迪克也證實(shí)了“你可以真正在其上面工作，我們關(guān)于普通空間的直覺在拓?fù)渌股先匀贿m用……這是一個(gè)很深刻的想法?！?/p>
在《收獲與播種》中格洛騰迪克評(píng)論道，從技術(shù)觀點(diǎn)而言，他在數(shù)學(xué)上的大多工作集中在發(fā)展所缺乏的上同調(diào)理論。平展上同調(diào)（étale cohomology）就是這樣一種理論，由格洛騰迪克、Michael Artin以及其他一些人所發(fā)展，其明確意圖是應(yīng)用于Weil猜想，而它確實(shí)是最終證明的主要因素之一。但是格洛騰迪克走得更遠(yuǎn)，發(fā)展了motive的概念，他將此描述為“終極上同調(diào)不變量”，所有其他的上同調(diào)理論都是它的實(shí)現(xiàn)或者化身。Motive的完整理論至今還沒有發(fā)展起來，不過由它產(chǎn)生了大量好的數(shù)學(xué)。比如，在1970年代，高等研究院的Deligne和Robert Langlands猜想了motives和自守表示間的精確關(guān)系。這個(gè)猜想，現(xiàn)在是所謂Langlands綱領(lǐng)的一部分，首次以印刷形式出現(xiàn)在[Langlands]一文中。多倫多大學(xué)的James Arthur認(rèn)為徹底證明這個(gè)猜想將是數(shù)十年后的事情。但他指出，Andrew Wiles的Fermat大定理的證明，本質(zhì)上就是證明了這個(gè)猜想在橢圓曲線所產(chǎn)生的2維motives的特殊情況。另外一個(gè)例子是高等研究院的Vladimir Voevodsky在motivic上同調(diào)的工作，由此他獲得2002年菲爾茲獎(jiǎng)?wù)?。這個(gè)工作發(fā)展了格洛騰迪克關(guān)于motive的一些原始想法。
在此關(guān)于他數(shù)學(xué)工作的簡短回顧中，格洛騰迪克寫道，構(gòu)成它的精華和力量的，不是大的定理，而是“想法，甚至夢(mèng)想”（第51頁）。
?格洛騰迪克在IHéS給學(xué)生上課，教SGA。圖片來源：the Grothendieck Circle
直到1970年第一次“蘇醒”的時(shí)候，我和我的學(xué)生們的關(guān)系，就如我和自己工作的關(guān)系一樣，是我感到滿意和快樂——這些是我生活的和諧感知的切實(shí)而無可指責(zé)的基礎(chǔ)之一——的一個(gè)源泉，至今仍有它的意義……
——《收獲與播種》，第63頁
在1961年秋訪問哈佛時(shí)，格洛騰迪克致信給Serre：“哈佛的數(shù)學(xué)氣氛真是棒極了，和巴黎相比是一股真正的清新空氣，而巴黎的情況則是一年年里越來越糟糕。這里有一大群學(xué)生開始熟悉概型的語言，他們別無所求，只想做些有趣的問題，我們顯然是不缺有趣的問題的”[Corr]。Michael Artin，其于1960年在Zariski指導(dǎo)下完成論文，此時(shí)正是哈佛的Benjamin Pierce講師。完成論文之后，Artin馬上開始學(xué)習(xí)新的概型語言，他也對(duì)平展上同調(diào)的概念感興趣。當(dāng)格洛騰迪克1961年來哈佛的時(shí)候，“我詢問他平展上同調(diào)的定義，”Artin笑著回憶說。這個(gè)定義當(dāng)時(shí)還沒有明確給出來。Artin說道：“實(shí)際上整個(gè)秋天我們都在辯論這個(gè)定義?！?/span>
1962年搬到麻省理工學(xué)院后，Artin開了個(gè)關(guān)于平展上同調(diào)的討論班。接下去兩年大部分時(shí)間他在IHéS度過，和格洛騰迪克一起工作。平展上同調(diào)的定義完成后，仍然還有許多工作要做來馴服這個(gè)理論，讓它變成一個(gè)可以真正使用的工具。“這個(gè)定義看上去很美，不過它不保證什么東西是有限的，也不保證可計(jì)算，甚至不保證任何東西，”Mumford評(píng)論道。這些就是Artin和格洛騰迪克要投入的工作；其中一個(gè)結(jié)果就是Artin可表定理。與Jean-Louis Verdier一起，他們主持了1963-1964年的討論班，其主題即平展上同調(diào)。這個(gè)討論班寫成為SGA4的三卷書，一共差不多1600頁。
可能有人不同意格洛騰迪克對(duì)1960年代早期巴黎數(shù)學(xué)氛圍“糟糕”的評(píng)價(jià)，但毫無疑問，當(dāng)他在1961年回到IHéS，重新開始他的討論班時(shí)，巴黎的數(shù)學(xué)氛圍得到了相當(dāng)大的加強(qiáng)。那里的氣氛“相當(dāng)棒”，Artin回憶說。這個(gè)討論班參加者人數(shù)眾多，包括巴黎數(shù)學(xué)界的頭面人物以及世界各地來訪的數(shù)學(xué)家。一群出色而好學(xué)的學(xué)生圍繞在格洛騰迪克周圍，在他的指導(dǎo)下寫論文（由于IHéS不授予學(xué)位，名義上說他們是巴黎市內(nèi)外一些大學(xué)的學(xué)生）。1962年，IHéS搬到它的永久之家，位于巴黎郊區(qū)Bures-sur-Yvette一個(gè)叫Bois-Marie，寧靜而樹木叢生的公園里。那個(gè)舉行討論班的舞臺(tái)式建筑，及其大繪圖窗戶和所賦予的開放而通透的感覺，給這里提供了一種不凡而生動(dòng)的背景。格洛騰迪克是所有活動(dòng)的激情四射的中心。“這些討論班是非常交互式的，”Hyman Bass回憶說，他于1960年代訪問過IHéS，“不過不管格洛騰迪克是不是發(fā)言人，他都占著統(tǒng)治地位?！彼貏e嚴(yán)格而且可能對(duì)人比較苛求?！八皇遣簧菩?，但他也不溺愛學(xué)生。”Bass說道。
格洛騰迪克發(fā)展了一套與學(xué)生工作的固定模式。一個(gè)典型例子是巴黎南大學(xué)的Luc Illusie（老耶律），他于1964年成為格洛騰迪克的學(xué)生。老耶律曾參加了巴黎的Henri Cartan和Laurent Schwartz討論班，正是Cartan建議老耶律或許可以跟隨格洛騰迪克做論文。老耶律其時(shí)還只學(xué)習(xí)過拓?fù)洌芎ε氯ヒ娺@位代數(shù)幾何之“神”。后來表明，見面的時(shí)候格洛騰迪克相當(dāng)友善，他讓老耶律解釋自己已經(jīng)做過的事情。老耶律說了一小段時(shí)間后，格洛騰迪克走到黑板前，開始討論起層、有限性條件、偽凝聚層和其他類似的東西。“黑板上的數(shù)學(xué)就象海一樣，象那奔流的溪流一樣，”老耶律回憶道。最后，格洛騰迪克說下一年他打算將討論班主題定為L-函數(shù)和l-adic上同調(diào)，老耶律可以幫助記錄筆記。當(dāng)老耶律抗議說他根本不懂代數(shù)幾何時(shí)，格洛騰迪克說沒關(guān)系：“你很快會(huì)學(xué)會(huì)的?！?/p>
老耶律的確學(xué)會(huì)了?！八v課非常清楚，而且他花大力氣去回顧那些必需的知識(shí)，包括所有的預(yù)備知識(shí)，”老耶律評(píng)價(jià)道。格洛騰迪克是位優(yōu)秀的老師，非常有耐心而且擅于清楚解釋問題?！八麜?huì)花時(shí)間去解釋非常簡單的例子，來證明這個(gè)機(jī)器的確可以運(yùn)行，”老耶律說。格洛騰迪克會(huì)討論一些形式化的性質(zhì)，那些常常被人歸結(jié)到“平凡情況”因而太明顯而不需要討論的性質(zhì)。通?！澳悴粫?huì)去詳述它，你不會(huì)在它上面花時(shí)間，”老耶律說，但這些東西對(duì)于教學(xué)非常有用?！坝袝r(shí)有點(diǎn)冗長，但是它對(duì)理解問題很有幫助?！?/p>
格洛騰迪克給老耶律的任務(wù)是記錄討論班一些報(bào)告的筆記——準(zhǔn)確說，是SGA5的報(bào)告I，II和III。筆記完成后，“當(dāng)我將它們交給他時(shí)全身都在發(fā)抖，”老耶律回憶道。幾個(gè)星期后格洛騰迪克告訴老耶律到他家去討論筆記；他常常與同事和學(xué)生在家工作。格洛騰迪克將筆記拿出來放在桌子上后，老耶律看到筆記上涂滿了鉛筆寫的評(píng)語。兩個(gè)人會(huì)坐在那里好幾個(gè)小時(shí)來讓格洛騰迪克解釋每一句評(píng)語。“他可能評(píng)論一個(gè)逗號(hào)、一個(gè)句號(hào)的用法，可能評(píng)論一個(gè)聲調(diào)的用法，也可能深刻評(píng)論關(guān)于一個(gè)命題的實(shí)質(zhì)并提出另一種組織方法——各種各樣的評(píng)論都有，”老耶律說道，“但是他的評(píng)語都說到點(diǎn)子上?！边@樣逐行對(duì)筆記做評(píng)論是格洛騰迪克指導(dǎo)學(xué)生很典型的方法。老耶律回憶起有幾個(gè)學(xué)生因?yàn)椴荒苋淌苓@樣近距離的批評(píng)，最終在別人指導(dǎo)下寫了論文。有個(gè)學(xué)生一次見過格洛騰迪克后差點(diǎn)流眼淚了。老耶律說：“我記得有些人很不喜歡這樣的方式。你必須照這樣做……但這些批評(píng)不是吹毛求疵?！?/p>
Nicholas Katz在他以博士后身份于1968年訪問IHéS時(shí)也被給了個(gè)任務(wù)。格洛騰迪克建議Katz可以在討論班上做個(gè)關(guān)于Lefschetz pencils的報(bào)告。“我曾聽說過Lefschetz pencils，但除去聽說過它們之外我對(duì)它們幾乎一無所知，”Katz回憶說?！暗侥甑椎臅r(shí)候我已經(jīng)在討論班上做過幾次報(bào)告了，現(xiàn)在這些作為SGA7的一部分留傳了下來。我從這里學(xué)到了相當(dāng)多的東西，這對(duì)我的未來起了很多影響?！盞atz說格洛騰迪克一周內(nèi)可能會(huì)去IHéS一次去和訪問學(xué)者談話。“絕對(duì)令人驚訝的是他不知怎么可以讓他們對(duì)某些事情感興趣，給他們一些事情做，”Katz解釋說，“而且，在我看來，他有那種令人驚訝的洞察力知道對(duì)某個(gè)人而言什么問題是個(gè)好問題，可以讓他去考慮。在數(shù)學(xué)上，他有種很難言傳的非凡魅力，以至于大家覺得幾乎是一項(xiàng)榮幸——被請(qǐng)求在格洛騰迪克對(duì)未來的遠(yuǎn)見卓識(shí)架構(gòu)里做些事情。”
哈佛大學(xué)的Barry Mazur至今仍然記得在1960年代早期在IHéS和格洛騰迪克最初一次談話中，格洛騰迪克給他提出的問題，那個(gè)問題起初是Gerard Washnitzer問格洛騰迪克的。問題是這樣的：定義在一個(gè)域上的代數(shù)簇能否由此域到復(fù)數(shù)域的兩個(gè)不同嵌入而得到不同的拓?fù)湮⒎至餍?？Serre早前曾給了些例子說明兩個(gè)拓?fù)淞餍慰赡懿灰粯?。受這個(gè)問題的激發(fā)，Mazur后來和Artin在同倫論上做了些工作。但在格洛騰迪克說起這個(gè)問題的時(shí)候，Mazur還是個(gè)全心全意的微分拓?fù)鋵W(xué)家，而這樣的問題本來他是不會(huì)碰到的?！皩?duì)于格洛騰迪克，這是個(gè)很自然的問題，”Mazur說道，“但對(duì)我而言，這恰好是讓我開始從代數(shù)方面思考的動(dòng)力。”格洛騰迪克有種真正的天賦來“給人們搭配未解決問題。他會(huì)估量你的能力而提出一個(gè)問題給你，而它正是將為你照亮世界的東西。這是種相當(dāng)奇妙而罕見的感知模式?！?/p>
?格洛騰迪克在IHéS給學(xué)生上課，教SGA。圖片來源：the Grothendieck Circle
在和IHéS的同事及學(xué)生工作外，格洛騰迪克和巴黎外一大群數(shù)學(xué)家保持著通信聯(lián)系，其中有些正在別的地方在部分他的綱領(lǐng)上進(jìn)行工作。例如，加州大學(xué)伯克萊分校的Robin Hartshorne 1961年的時(shí)候正在哈佛上學(xué)，從格洛騰迪克在那所做的講座里，他得到關(guān)于論文主題的想法，即研究希爾伯特概型。論文完成后Hartshorne給已經(jīng)回到巴黎的格洛騰迪克寄了一份。在日期署為1962年9月27日的回信中，格洛騰迪克對(duì)論文做了些簡短的正面評(píng)價(jià)?！敖酉氯?到4頁全是他對(duì)我可能可以發(fā)展的更深定理的想法和其他些關(guān)于這個(gè)學(xué)科大家應(yīng)該知道的東西，”Hartshorne說。他注意到信中建議的有些事情是“不可完成的困難”，而其他一些則顯示了非凡的遠(yuǎn)見。傾泄這些想法后，格洛騰迪克又回來談及論文，給了3頁詳細(xì)的評(píng)語。
在他1958年愛丁堡數(shù)學(xué)家大會(huì)的報(bào)告中，格洛騰迪克已經(jīng)概述了他關(guān)于對(duì)偶理論的想法，但由于他在IHéS討論班中正忙著別的一些主題，沒有時(shí)間來討論它。于是Hartshorne提出自己在哈佛開一個(gè)關(guān)于對(duì)偶的討論班并將筆記記錄下來。1963年夏天，格洛騰迪克給了Hartshorne大約250頁的教案（prenote），這將成為Hartshorne這年秋天開始的討論班的基礎(chǔ)。聽眾提出的問題幫助Hartshorne發(fā)展和提煉了對(duì)偶理論，他并開始將它系統(tǒng)記錄下來。他會(huì)將每一章都寄給格洛騰迪克來接受批評(píng)，“它回來的時(shí)候整個(gè)都布滿了紅墨水，”Hartshorne回憶道，“于是我將他說的都改正了并即給他寄新的版本。它被寄回時(shí)上面的紅墨水更多?！币庾R(shí)到這可能是個(gè)無窮盡的過程后，Hartshorne有天決定將手稿拿去出版；此書1966年出現(xiàn)在Springer的Lecture Notes系列里[Hartshorne]。
格洛騰迪克“有如此多的想法以至基本上他一個(gè)人讓那時(shí)候世界上所有在代數(shù)幾何上認(rèn)真工作的人都很忙碌，”Hartshorne注意到。他是如何讓這個(gè)事業(yè)一直運(yùn)行下來的呢？“我認(rèn)為這沒有什么簡單答案，”Michael Artin回答說。不過顯然格洛騰迪克的充沛精力和知識(shí)寬度是一些原因?！八浅５木Τ渑?，而且他涵蓋很多領(lǐng)域，”Artin說?！八軌蛲耆刂七@個(gè)領(lǐng)域達(dá)12年之久真是太不尋常了，這可不是個(gè)懶人集中營?！?/p>
在他IHéS的歲月里，格洛騰迪克對(duì)數(shù)學(xué)的奉獻(xiàn)是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及對(duì)自身觀點(diǎn)的頑強(qiáng)堅(jiān)持，產(chǎn)生了思維的巨浪，將很多人沖入它的奔涌激流中。他沒有在自己所設(shè)的令人畏懼的計(jì)劃面前退縮，反而勇往直前地投入進(jìn)去，沖向大大小小的目標(biāo)?！八臄?shù)學(xué)議程比起一個(gè)人能做的要多出很多，”Bass評(píng)價(jià)道。他將其中很多工作發(fā)包給他的學(xué)生們和合作者們來做，而自己也做了很大一部分的工作。給予他動(dòng)力的，如他在《收獲與播種》里所解釋，就只是理解事情的渴望，而確實(shí)，那些知道他的人證明他不是由于什么形式的競賽來推動(dòng)自己的。“在那時(shí)，從沒有過這樣要在別人之前證明某個(gè)東西的想法，”Serre解釋道。而且在任何時(shí)候，“他不會(huì)和別的任何人競賽，一個(gè)原因是他希望按他自己的方式來做事情，而幾乎沒有別的人愿意也這樣做。完成它需要太多工作了?！?br/>
格洛騰迪克學(xué)派的統(tǒng)治地位有些有害的效果。甚至格洛騰迪克IHéS的杰出同事，René Thom也感到有壓力。在[Fields]中，Thom寫道與其他同事的關(guān)系比較起來，他與格洛騰迪克的關(guān)系“不那么愉快”。“他的技術(shù)優(yōu)勢(shì)太有決定性了，”Thom寫道。“他的討論班吸引了整個(gè)巴黎數(shù)學(xué)界，而我則沒有什么新的東西可供給大家。這促使我離開了嚴(yán)肅數(shù)學(xué)世界而去處理更一般的概念，比如組織形態(tài)的發(fā)生，這個(gè)學(xué)科讓我更感興趣，引導(dǎo)我走向一個(gè)很一般形式的‘哲學(xué)’生物學(xué)?！?br/>
在他1988年的教材《本科生代數(shù)幾何》最后的歷史性評(píng)論中，Miles Reid寫道：“對(duì)格洛騰迪克的個(gè)人崇拜有些嚴(yán)重的副作用：許多曾經(jīng)花了一生很大一部分時(shí)間去掌握Weil的代數(shù)幾何基礎(chǔ)的人覺得受到了拒絕和羞辱…整整一代學(xué)生（主要是法國人）被洗腦而愚蠢地認(rèn)為如果一個(gè)問題不能放置于高效能的抽象框架里就不值得去研究?！比绱恕跋茨X”可能是時(shí)代時(shí)尚無法避免的副產(chǎn)品，盡管格洛騰迪克自己從來不是為抽象化而追求抽象化的。
Reid也注意到，除去少數(shù)可以“跟上步伐并生存下來”的格洛騰迪克的學(xué)生，從他的思想里得益最多的是那些在一段距離外受影響的人，特別是美國，日本和俄國的數(shù)學(xué)家。Pierre Cartier在俄國數(shù)學(xué)家，如Vladimir Drinfeld，Maxim Kontsevich，Yuri Manin和Vladimir Voevodsky的工作中看到了格洛騰迪克思想的傳承。Cartier說：“他們抓住了格洛騰迪克的真正精神，但他們能夠?qū)⑺推渌麞|西結(jié)合起來?！?/p>
歐陽毅
湖南衡陽人，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，方向是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何。 1989年9月進(jìn)入中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)習(xí)，1993年提前攻讀數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向研究生，師從馮克勤教授。1995年獲得碩士學(xué)位，之后赴美國深造。2000年5月畢業(yè)于美國明尼蘇達(dá)大學(xué)，獲博士學(xué)位，方向是代數(shù)數(shù)論，導(dǎo)師Greg W. Anderson教授。論文獲學(xué)校年度Outstanding Thesis。 2000年7月到2003年6月在加拿大多倫多大學(xué)V. Kumar Murty教授手下從事博士后研究工作。2003年回國在清華大學(xué)工作，任副教授。2007年回科大數(shù)學(xué)系工作，任教授。 曾多次訪問法國高等科學(xué)研究院，巴黎十一大學(xué)，波爾多大學(xué)，荷蘭萊頓大學(xué)，意大利帕多瓦大學(xué)，國際理論物理中心（ICTP）等地。
點(diǎn)擊藍(lán)字查看本系列：
