數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史：最具哲（數(shù)）學(xué)意味的數(shù)（哲）學(xué)家
?《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》封面，蔡天新著，中信出版社
編者按：
浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授、詩(shī)人蔡天新最新出版力作——《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》?！吨R(shí)分子》征得作者本人及出版社同意，分三篇文章連載該書(shū)的第八章：《抽象化：20世紀(jì)以來(lái)》。
今天繼續(xù)推送《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》第八章第三節(jié)：《數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)》。
撰文 | 蔡天新（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授）
責(zé)編 | 呂浩然
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20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)的抽象化不僅拉近了它與科學(xué)、藝術(shù)的關(guān)系，也使得它與哲學(xué)的有效合作再次變得可能，這是自古希臘和17世紀(jì)以來(lái)的第三次。巧合的是，數(shù)學(xué)自身的危機(jī)也恰好出現(xiàn)了三次，且二者在時(shí)間上幾乎一致。第一次是古希臘時(shí)期無(wú)理數(shù)或不可公度量的發(fā)現(xiàn)，這與所有數(shù)可由整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示的論斷相矛盾；第二次是在17世紀(jì)，微積分在理論上出現(xiàn)了一些矛盾，焦點(diǎn)是：無(wú)窮小量究竟是零還是非零。如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，怎么能把包含無(wú)窮小量的那些項(xiàng)去掉？
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不能由整數(shù)之比表示，這引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。相傳有個(gè)叫希帕索斯（Hippasus）的門(mén)徒因?yàn)樾姑芏蝗舆M(jìn)地中海淹死，他的出生地梅塔蓬圖姆恰巧是他的老師畢達(dá)哥拉斯被謀殺的地方。
兩個(gè)世紀(jì)以后，歐多克斯（Eudoxus，公元前408—前355）通過(guò)在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量的概念，將這一危機(jī)化解。兩條幾何線段，如果存在一條第三線段能同時(shí)量盡它們，就稱這兩條線段是可通約的，否則為不可通約的。正方形的邊與對(duì)角線，就不存在量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。只要承認(rèn)不可通約量的存在，所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)就不復(fù)存在了。
2000多年后，微積分的誕生使得數(shù)學(xué)再次出現(xiàn)危機(jī)，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)層面引發(fā)了矛盾。例如，無(wú)窮小量是微積分的基礎(chǔ)概念之一，牛頓在一些典型的推導(dǎo)過(guò)程中，先是用無(wú)窮小量做分母進(jìn)行除法運(yùn)算，然后把無(wú)窮小量看作零，消掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到想要的公式。
盡管這些公式在力學(xué)和幾何學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用證明它們是正確的，但其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程卻在邏輯上自相矛盾。直到19世紀(jì)上半葉，柯西發(fā)展了極限理論，這個(gè)問(wèn)題才得到解決?？挛髡J(rèn)為無(wú)窮小量是要怎樣小就怎樣小的量，在本質(zhì)上它是以零為極限的變量。
隨著19世紀(jì)末分析嚴(yán)格化的最高成就——集合論的誕生，數(shù)學(xué)家們以為有希望一勞永逸地?cái)[脫數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所面對(duì)的危機(jī)。1900年，法國(guó)人龐加萊在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣稱：“現(xiàn)在我們可以說(shuō)，完全的嚴(yán)格化已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了！”但是他的話音未落，英國(guó)數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家羅素就在第二年給出了簡(jiǎn)單明了的集合論的“悖論”，挑起了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的新的爭(zhēng)論，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。為解決這場(chǎng)危機(jī)，人們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行了更深入的探討，促進(jìn)了數(shù)理邏輯的發(fā)展，使之成為20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的又一重要趨勢(shì)。
?多才多藝的伯特蘭·羅素
1872年，羅素出身于英格蘭的一個(gè)貴族家庭，其祖父曾兩度出任英國(guó)首相。羅素3歲時(shí)就失去了雙親，嚴(yán)格的清教徒式教育導(dǎo)致他在11歲時(shí)對(duì)宗教產(chǎn)生了懷疑。他以懷疑主義的目光來(lái)探究，“我們能知道多少，以及擁有何種程度的確定性和不確定性”。
隨著青春期的到來(lái)，孤獨(dú)和絕望徘徊在他心頭，讓他產(chǎn)生了自殺的念頭。最終，對(duì)數(shù)學(xué)的癡迷讓他逐漸擺脫了自殺的想法。18歲那年，羅素考入劍橋大學(xué)，此前他受的教育全部是在家中。他試圖在數(shù)學(xué)中尋找確定又完美的目標(biāo)，但在大學(xué)的最后一年，他被德國(guó)哲學(xué)家黑格爾的觀點(diǎn)吸引并喜歡上了哲學(xué)。
?羅素的老師懷海特，他稱十七世紀(jì)為“天才的世紀(jì)”
顯而易見(jiàn)，最適合羅素的研究領(lǐng)域應(yīng)該是數(shù)理邏輯，正巧劍橋大學(xué)有最適宜的土壤和一流的志同道合者，包括和他亦師亦友的阿爾弗雷德·懷特海（Alfred Whitehead，1861—1947）、比他小一歲的摩爾（Moore，1873—1958）和他后來(lái)的學(xué)生維特根斯坦。
精通數(shù)學(xué)的羅素認(rèn)為科學(xué)的世界觀大多是正確的，在此基礎(chǔ)上他確定了三大哲學(xué)目標(biāo)。首先，把人類認(rèn)識(shí)上的虛榮、矯飾減少到最低限度并使用最簡(jiǎn)單的表達(dá)方式。其次，建立邏輯和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。再次，從語(yǔ)言去推斷它所描述的世界。對(duì)于這些目標(biāo)，羅素和他的同行后來(lái)或多或少地做到了，由此奠定了分析哲學(xué)的基礎(chǔ)。
羅素的影響之所以深遠(yuǎn)，部分原因還在于他善于做普及工作。他的哲學(xué)著作語(yǔ)言優(yōu)美、通俗易懂，無(wú)論《西方哲學(xué)史》《西方的智慧》，還是《人類的知識(shí)》，許多當(dāng)代哲學(xué)家便是被他的書(shū)吸引入行的。同時(shí)，羅素的一些著作超出了哲學(xué)的范疇，涉及社會(huì)、政治和道德的方方面面，并滿懷激情地把敏感問(wèn)題指出來(lái)。
他因此兩次被監(jiān)禁、罰款，并被剝奪了在劍橋大學(xué)講課的資格。盡管如此，1950年，羅素仍意外地獲得了諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。之后，大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的俄羅斯作家索爾仁尼琴（Solzhenitsyn，1918—2008）和南非出生的澳大利亞作家?guī)烨?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（Coetzee，1940—）也先后獲得了1970年和2003年的諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。
所謂“羅素悖論”是這樣的：有兩種集合，第一種集合不是它自己的元素，大多數(shù)集合都是這樣的；第二種集合是它自己的一個(gè)元素A∈A，例如由一切集合組成的集合。那么，對(duì)于任何一個(gè)集合B，它不是第一種集合就是第二種集合。假設(shè)第一種集合的全體構(gòu)成一個(gè)集合M，那么M屬于哪種集合？如果M屬于第一種集合，那么M應(yīng)該是M的一個(gè)元素，即M∈M，但是滿足M∈M關(guān)系的集合應(yīng)屬于第二種集合，由此出現(xiàn)矛盾。而如果M屬于第二種集合，那么M應(yīng)該滿足M∈M的關(guān)系，這樣一來(lái)M又屬于第一種集合，再次出現(xiàn)矛盾。
1919年，羅素又提出上述悖論的通俗形式，即所謂的“理發(fā)師悖論”：
某鄉(xiāng)村理發(fā)師宣布了一條規(guī)則：他決定給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給村里這樣的人刮臉。試問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉呢？
無(wú)論如何，這都會(huì)得出矛盾的結(jié)論，從而明白無(wú)疑地揭示了集合論本身確實(shí)存在著矛盾。由于嚴(yán)格的極限理論的建立，數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)已經(jīng)被化解，但極限理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而實(shí)數(shù)理論又是以集合論為基礎(chǔ)的，現(xiàn)在集合論遭遇了羅素悖論，因而引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。
?挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)家的鄉(xiāng)村理發(fā)師
為了消除悖論，人們開(kāi)始對(duì)集合論進(jìn)行公理化。最早進(jìn)行這一嘗試的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅（Zermelo，1871—1953），他提出了7條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，后經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家弗蘭克爾（Fraenkel，1891—1965）的改進(jìn)，成為一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)，即所謂的“ZF公理系統(tǒng)”。
這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來(lái)，但ZF公理系統(tǒng)本身是否會(huì)出現(xiàn)矛盾呢？沒(méi)人能夠保證。美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩（Choen，1934—2007）證明，在ZF公理系統(tǒng)下康托爾連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)螣o(wú)法判別，這在某種意義上否定了希爾伯特在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上提出的第一個(gè)問(wèn)題，科恩因此獲得1966年的菲爾茲獎(jiǎng)。可以預(yù)見(jiàn)，意想不到的事今后仍會(huì)不斷出現(xiàn)。
為了進(jìn)一步解決集合論的悖論，人們應(yīng)該從邏輯上去尋找問(wèn)題的癥結(jié)。由于數(shù)學(xué)家們的觀點(diǎn)不同，形成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派，分別是：以羅素為代表的邏輯主義學(xué)派，以布勞威爾（Brouwer，1881—1966，荷蘭數(shù)學(xué)家）為代表的直覺(jué)主義學(xué)派，以希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派。
這些學(xué)派的形成和活躍，將把人們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)空前的高度，雖然他們的努力最終未能取得滿意的結(jié)果，但卻對(duì)由萊布尼茨開(kāi)啟的數(shù)理邏輯學(xué)的形成和發(fā)展起到了推動(dòng)作用。限于篇幅，下面我們僅介紹這三大學(xué)派的部分論點(diǎn)。
?拓?fù)鋵W(xué)的奠基人布勞威爾，他發(fā)現(xiàn)了不動(dòng)點(diǎn)定理
首先我們來(lái)看邏輯主義學(xué)派，按照羅素的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)就是邏輯，全部數(shù)學(xué)都可以由邏輯推導(dǎo)得出，而不需要數(shù)學(xué)所特有的任何公理。數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)邏輯概念來(lái)定義，數(shù)學(xué)定理可以由邏輯公理按邏輯規(guī)則推導(dǎo)得出。至于邏輯的展開(kāi)，則是依靠公理化的方法進(jìn)行。
為了重建數(shù)學(xué)，他們提出了命題函數(shù)和類型論之后，又定義了基數(shù)和自然數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建立了實(shí)數(shù)系、復(fù)數(shù)系、函數(shù)以及全部分析，幾何也可以通過(guò)數(shù)來(lái)引進(jìn)。這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)就成了沒(méi)有內(nèi)容只有形式的哲學(xué)家的數(shù)學(xué)了。
與邏輯主義學(xué)派相反，直覺(jué)主義學(xué)派的基本思想是：數(shù)學(xué)獨(dú)立于邏輯。堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象的“構(gòu)造性”定義，是直覺(jué)主義的精粹。按照布勞威爾的觀點(diǎn)，要證明任何對(duì)象的存在，必須同時(shí)證明它可以用有限的步驟構(gòu)造出來(lái)。
在集合論中，直覺(jué)主義只承認(rèn)可構(gòu)造的有窮集合，這就排除了像“所有集合的集合”那樣容易引發(fā)矛盾的集合。可是，有限的可構(gòu)造性主張也導(dǎo)致“排中律”（非真即假）被否定，也就是說(shuō)，無(wú)理數(shù)的一般概念，以及無(wú)限多個(gè)自然數(shù)中必存在一個(gè)最小者這個(gè)“最小數(shù)定理”也不得不犧牲掉。
希爾伯特指出，“禁止數(shù)學(xué)家使用排中律，就像禁止天文學(xué)家使用望遠(yuǎn)鏡?！痹谂兄庇X(jué)主義的同時(shí)，他拋出了準(zhǔn)備已久的“希爾伯特綱領(lǐng)”，后人稱之為“形式主義綱領(lǐng)”。希爾伯特主張，數(shù)學(xué)思維的基本對(duì)象是數(shù)學(xué)符號(hào)本身，而非它們表示的意義，如物理對(duì)象。
他還認(rèn)為，所有數(shù)學(xué)都能歸結(jié)為處理公式的法則而不用考慮公式的意義。形式主義吸取了直覺(jué)主義的某些觀點(diǎn)，保留了排中律，引進(jìn)了所謂的“超限公理”，也證明了施以若干限制的自然數(shù)理論的相容性?？墒?，正當(dāng)人們滿懷希望時(shí)，哥德?tīng)枀s提出了他的不完備性定理。
在介紹哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ碇埃蚁胂日務(wù)劻_素的一個(gè)學(xué)生和合作者——維特根斯坦，正是他把邏輯學(xué)提升到純粹哲學(xué)的高度。1889年，維特根斯坦出生在維也納的一個(gè)富有的猶太企業(yè)家家庭，是8個(gè)孩子中年齡最小的，14歲以前他一直在家里受教育。他在柏林讀完工程學(xué)以后，于1908年考入曼徹斯特大學(xué)，專攻航空學(xué)，他一生的大部分時(shí)光都在英國(guó)度過(guò)。
據(jù)說(shuō)他曾為飛機(jī)設(shè)計(jì)了一種噴氣反沖推進(jìn)器，并因此對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣。之后他喜歡上純粹數(shù)學(xué)，為了進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又轉(zhuǎn)向數(shù)理哲學(xué)。
?最有數(shù)學(xué)意味的哲學(xué)家維特根斯坦
1912年，23歲的工科大學(xué)生維特根斯坦來(lái)到劍橋大學(xué)，在三一學(xué)院度過(guò)了5個(gè)學(xué)期。他得到了哲學(xué)家羅素和摩爾的賞識(shí)，兩位大師都認(rèn)為維特根斯坦的才智至少與他們并駕齊驅(qū)。
可是，第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，維特根斯坦自愿參加了奧地利軍隊(duì)，起初他在東部前線當(dāng)一名炮兵，后來(lái)去了土耳其，于1918年冬天被意大利士兵俘虜。此后，維特根斯坦與劍橋失去了聯(lián)系，羅素在次年出版的《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》里在談及維特根斯坦的工作時(shí)提到，“也不知道他是否還活著”。
1919年，維特根斯坦在戰(zhàn)俘營(yíng)里給羅素寫(xiě)了一封信，原來(lái)他在獄中讀到老師的著作，并解答了書(shū)中提出的幾個(gè)問(wèn)題。他獲釋以后，師生二人都希望能盡快相聚，以便當(dāng)面討論哲學(xué)問(wèn)題?？墒牵捎诰S特根斯坦受俄國(guó)大文豪托爾斯泰的影響，認(rèn)為不應(yīng)該享受財(cái)富，就把相當(dāng)可觀的私人財(cái)產(chǎn)分給了家庭的其他成員，此時(shí)的他身無(wú)分文。
不得已，羅素替維特根斯坦賣(mài)掉了他留在劍橋的部分家具，才湊足了他的旅費(fèi)，兩個(gè)人終于在阿姆斯特丹會(huì)面了。
?《邏輯哲學(xué)論》
由這樣一位有毅力和責(zé)任感的天才經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力，在不同的時(shí)期建立起兩種極具獨(dú)創(chuàng)性的思想體系，完全是有可能的。不僅如此，維特根斯坦的每一種思想體系都有一種精致而有力的風(fēng)格，極大地影響了當(dāng)代哲學(xué)。
他還留下了兩部經(jīng)典的哲學(xué)著作：第一本是《邏輯哲學(xué)論》（1921），第二本是《哲學(xué)研究》（1953）。除了一篇標(biāo)題為“關(guān)于邏輯形式的一些看法”的短文以外，《邏輯哲學(xué)論》是維特根斯坦生前唯一出版的著作。
《邏輯哲學(xué)論》是一部哲學(xué)巨著，這部書(shū)的中心問(wèn)題是：“語(yǔ)言是如何可能稱其為語(yǔ)言的？”讓維特根斯坦感到驚訝的是我們司空見(jiàn)慣的一個(gè)事實(shí)，即一個(gè)人居然能聽(tīng)懂他以前從未聽(tīng)到的句子。他對(duì)這個(gè)問(wèn)題是這樣解釋的：一個(gè)描述事物的句子或命題必定是一幅圖像。命題顯示其意義，也顯示世界的狀態(tài)。維特根斯坦認(rèn)為，所有的圖像和世界上所有可能的狀態(tài)一定具有某種相同的邏輯形式，它既是“表現(xiàn)形式”，也是“實(shí)在形式”。
?哲學(xué)家的硬幣，維特根斯坦之墓，作者攝于劍橋。
但是，這種邏輯形式本身卻得不到說(shuō)明，或者說(shuō)是無(wú)意義的。維特根斯坦打了一個(gè)比方，它就像梯子，當(dāng)讀者爬上這架梯子后，就必須扔掉它，這樣一來(lái)才能正確地看世界。不能用語(yǔ)言說(shuō)明的還有其他一些東西，如實(shí)在的簡(jiǎn)單元素的必然存在，思想和意愿的自我的存在，以及絕對(duì)價(jià)值的存在。這些不能說(shuō)明的東西也無(wú)法想象，因?yàn)檎Z(yǔ)言的界限就是思想的界限。這本書(shū)的最后一句話是維特根斯坦留給我們的一句箴言，“對(duì)于我們不能言說(shuō)的，必須保持緘默。”
維特根斯坦聲稱，“哲學(xué)不是一種理論體系，而是一種活動(dòng)，一種澄清自然科學(xué)的命題和揭露形而上學(xué)的無(wú)為的活動(dòng)?！笔聦?shí)上，他也在身體力行地從事這項(xiàng)活動(dòng)。由于維特根斯坦認(rèn)為，《邏輯哲學(xué)論》已經(jīng)完成了他對(duì)哲學(xué)的貢獻(xiàn)，于是在接下來(lái)的幾年里他到奧地利南方的幾所山村任小學(xué)教師，此前他曾獨(dú)自在挪威的鄉(xiāng)間蓋了一間小木屋?；氐接?guó)后，維特根斯坦把《邏輯哲學(xué)論》提交給劍橋大學(xué)，理所當(dāng)然地獲得了博士學(xué)位，并很快當(dāng)選三一學(xué)院院士。
此后的6年里，維特根斯坦一直在劍橋大學(xué)教書(shū)，其間他對(duì)《邏輯哲學(xué)論》漸生不滿，于是開(kāi)始向兩位學(xué)生口述（并非老得不能動(dòng)筆）自己思想的新發(fā)展。在他訪問(wèn)過(guò)蘇聯(lián)（原打算在那里定居）之后，又到挪威的小木屋住了一年。
回到劍橋大學(xué)后他接替了摩爾的講座教授職位，隨后爆發(fā)了第二次世界大戰(zhàn)，他去了倫敦的一家醫(yī)院做看護(hù)，后來(lái)又在紐卡斯?fàn)柕囊患已芯克鲋韺?shí)驗(yàn)員，其間他完成了《哲學(xué)研究》的主要部分?！岸?zhàn)”后，維特根斯坦回到劍橋大學(xué)做了兩年教授就辭職去了愛(ài)爾蘭，在那里待了兩年寫(xiě)完了全書(shū)。
說(shuō)起維特根斯坦的《哲學(xué)研究》，雖然它與邏輯學(xué)沒(méi)有必然的聯(lián)系，卻也沒(méi)有完全脫離數(shù)學(xué)。在這部力作里，他放棄了原先的想法，認(rèn)為無(wú)窮無(wú)盡的語(yǔ)言背后并沒(méi)有統(tǒng)一的本性。他以游戲?yàn)槔赋鲆磺杏螒蛩灿械男再|(zhì)不存在，它們僅具有“家族”的相似性。他還說(shuō)，當(dāng)我們仔細(xì)觀察作為游戲匯集在一起的各種不同的具體活動(dòng)時(shí)，“便能發(fā)現(xiàn)一張由相互重疊、彼此交叉的相似點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜的網(wǎng)，有時(shí)是總體相似，有時(shí)是細(xì)節(jié)相似”。
為此維特根斯坦引入了好幾個(gè)數(shù)列的例子，在他看來(lái)，數(shù)字也構(gòu)成了這樣一個(gè)“家族”。他所關(guān)心的事情是，領(lǐng)會(huì)并遵循一條數(shù)學(xué)規(guī)則的含義是什么？其中一個(gè)例子是：當(dāng)一個(gè)人看見(jiàn)另一個(gè)人寫(xiě)下
1，5，11，19，29，…
這些數(shù)字時(shí)聲稱，“現(xiàn)在我可以繼續(xù)寫(xiě)下去了”。這可能會(huì)出現(xiàn)多種情況，其中一種情況是，這個(gè)人試圖用各種公式來(lái)續(xù)寫(xiě)這個(gè)數(shù)列，直到他發(fā)現(xiàn)公式an=n2+n–1，19后面的29就驗(yàn)證了這個(gè)假設(shè)。還有一種情況是，他可能沒(méi)有想到這個(gè)公式，而是注意到前后兩個(gè)數(shù)之差構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列4、6、8、10，他由此知道接下來(lái)的那個(gè)數(shù)是29+12=41。無(wú)論哪種情況，他都可以不費(fèi)力氣地繼續(xù)寫(xiě)下去。
維特根斯坦試圖證明的觀點(diǎn)是，一個(gè)人對(duì)于數(shù)列的原則理解并不意味著他找到了什么公式，因?yàn)樗赡芨静恍枰@個(gè)公式。同樣，你也可以想象他的理解僅僅源于公式，而不是因?yàn)殪`光乍現(xiàn)或其他特殊的經(jīng)驗(yàn)。由此得出的教訓(xùn)是，接受一條規(guī)則并不等于穿上了一件緊身夾克。
在任何時(shí)候，對(duì)于規(guī)則是接受還是拒絕，都是我們的自由。維特根斯坦還認(rèn)為，數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程的結(jié)果不是事先確定的。盡管我們可以遵循在我們看來(lái)是清清楚楚的程序，但卻無(wú)法預(yù)知這個(gè)程序?qū)盐覀円蚝翁帯?/p>
20世紀(jì)末，美國(guó)《時(shí)代周刊》雜志評(píng)選出過(guò)去100年里最具影響力的100個(gè)人物，其中科技和學(xué)術(shù)精英占了1/5。在這20個(gè)人中，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家各有一位，前者是維特根斯坦，后者是我們接下來(lái)要介紹的哥德?tīng)?。他們兩人的共同點(diǎn)是，都橫跨數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩大領(lǐng)域，都是奧地利人，都用非母語(yǔ)的英文寫(xiě)作。不同的是，一個(gè)移居英國(guó)后死于劍橋大學(xué)，另一個(gè)移居美國(guó)后死于普林斯頓大學(xué)。當(dāng)然，他們?nèi)ナ罆r(shí)都不是奧地利公民。
1906年，哥德?tīng)柍錾谀S亞的布呂恩城，今天這座城市的名字叫布爾諾，屬于捷克共和國(guó)。在歷史上布爾諾曾幾易其主，19世紀(jì)的奧地利遺傳學(xué)家孟德?tīng)?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（Mendel，1822—1884）就是在此城的一座修道院里發(fā)現(xiàn)了遺傳學(xué)的基本原理，后來(lái)它又成為捷克作曲家亞納切克（Janacek，1854—1928）終生居住的地方。
說(shuō)起摩拉維亞，在這個(gè)中歐著名的地理區(qū)域出生的還有精神分析學(xué)家弗洛伊德（Freud，1856—1939），以及有著“現(xiàn)象學(xué)之父”美譽(yù)的哲學(xué)家胡塞爾（Husserl，1859—1938），后者曾在維也納大學(xué)數(shù)學(xué)系獲得變分法方向的博士學(xué)位。哥德?tīng)栐诠枢l(xiāng)長(zhǎng)大，直到考入維也納大學(xué)攻讀理論物理，此前他對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，并自學(xué)了高等數(shù)學(xué)。
?最具哲學(xué)意味的數(shù)學(xué)家哥德?tīng)?/span>
從大學(xué)三年級(jí)開(kāi)始，哥德?tīng)柕牡谝粣?ài)好轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)，他大學(xué)時(shí)期的借書(shū)卡表明他看了許多數(shù)論方面的書(shū)。同時(shí)，在數(shù)學(xué)老師的介紹下，他參加了著名的“維也納小組”的某些活動(dòng)。這是一個(gè)由哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、科學(xué)家組成的學(xué)術(shù)團(tuán)體，主要探討的語(yǔ)言和方法論，在20世紀(jì)哲學(xué)史上占有重要的地位，也被稱為“維也納學(xué)派”。
在這個(gè)學(xué)派的宣言書(shū)《科學(xué)的世界觀：維也納學(xué)派》所附名單中，23歲的哥德?tīng)柍蔀?4個(gè)成員中最年輕的一個(gè)。1930年，他以《邏輯謂詞演算公理的完全性》獲得哲學(xué)博士學(xué)位，隨后建立了震驚世界的哥德?tīng)柕谝缓偷诙煌陚湫远ɡ怼?/p>
?哥德?tīng)柵c愛(ài)因斯坦
1931年1月，維也納的《數(shù)學(xué)物理學(xué)月刊》發(fā)表了一篇題為“論《數(shù)學(xué)原理》及有關(guān)系統(tǒng)的形式之不可判定命題”的論文。幾年以后，它就被視為數(shù)學(xué)史上具有重大意義的里程碑，作者是不到25歲的哥德?tīng)?。這篇論文的結(jié)果首先是否定性的，既推翻了數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都能被公理化的信念和努力，又摧毀了希爾伯特設(shè)想的證明數(shù)學(xué)的內(nèi)部相容性的全部希望。同時(shí)，這種否定最終促成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的劃時(shí)代變革，既分清了數(shù)學(xué)中的“真”與“可證”的概念，又把分析的技巧引入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
哥德?tīng)柕谝徊煌陚湫远ɡ恚?/strong>對(duì)于包含自然數(shù)系的形式體系F，如果是相容的，則F中一定存在一個(gè)不可判定命題S，使得S與S之否定在F中皆不可證。
也就是說(shuō)，自然數(shù)系的任何公設(shè)集如果是相容的，就是不完備的。由此得出結(jié)論：任何形式系統(tǒng)都不能完全刻畫(huà)數(shù)學(xué)理論，總有些問(wèn)題從形式系統(tǒng)的公理出發(fā)不能解答。更有甚者，幾年以后，美國(guó)數(shù)學(xué)家丘奇（Church，1903—1995）證明了，“對(duì)于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系，不存在有效的方法，判定該體系的哪些命題在其中是可證的”。在第一不完備性定理的基礎(chǔ)上，哥德?tīng)栠M(jìn)一步提出第二不完備性定理。
哥德?tīng)柕诙煌陚湫远ɡ恚簩?duì)于包含自然數(shù)系的形式系統(tǒng)F，如果是相容的，則F的相容性不能在F中被證明。也就是說(shuō)，在真的但不能由公理來(lái)證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無(wú)矛盾性的）這一論斷。這就使得希爾伯特的希望破滅了。現(xiàn)在看來(lái)，經(jīng)典數(shù)學(xué)的內(nèi)部相容性不可證，除非我們采用那些復(fù)雜的推理原則，但這些原則的內(nèi)部相容性與經(jīng)典數(shù)學(xué)的內(nèi)部相容性一樣值得懷疑。
哥德?tīng)柕倪@兩條不完備性定理表明，沒(méi)有哪一部分?jǐn)?shù)學(xué)能做到完全的公理推演，也沒(méi)有哪一部分?jǐn)?shù)學(xué)能保證其內(nèi)部不存在矛盾。這些都是公理化方法的局限性，一方面，它們說(shuō)明數(shù)學(xué)證明的程序無(wú)法確實(shí)不與形式公理的程序相符；另一方面，它們也旁證了人的智慧不能被完全的公式化所替代。對(duì)于形式系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，“可證”是可以機(jī)械地實(shí)現(xiàn)的，“真”則需要進(jìn)一步的思想能動(dòng)性。換句話說(shuō)，可證的命題必然是真的，但真的命題卻未必是可證的。
哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ砣缃褚殉蔀閿?shù)學(xué)史上最重要的定理，但它的證明專業(yè)性太強(qiáng)，我們?cè)谶@里就不做介紹了。值得一提的是，證明中提出的“遞歸函數(shù)”的概念是哥德?tīng)柕囊晃慌笥褋?lái)信建議的，這個(gè)朋友三個(gè)月后意外死亡。哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ沓雒院螅f歸函數(shù)也隨之譽(yù)滿天下。
遞歸函數(shù)后來(lái)成為算法理論的起點(diǎn)，還引導(dǎo)圖靈提出了理想計(jì)算機(jī)的概念，為電子計(jì)算機(jī)最初的研制提供了理論基礎(chǔ)。與此同時(shí)，有關(guān)悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的論證也漸趨平靜，數(shù)學(xué)家們把更多的精力放在數(shù)理邏輯研究上，大大推動(dòng)了這門(mén)學(xué)科的發(fā)展。
隨著社會(huì)分工的進(jìn)一步細(xì)化，人們所受教育的時(shí)間不斷延長(zhǎng)，所學(xué)內(nèi)容也越來(lái)越復(fù)雜和抽象，這在人類文明的各個(gè)領(lǐng)域皆如此。正如憑借王之渙（688—742）《登鸛雀樓》這類簡(jiǎn)單明晰的詩(shī)歌留名史冊(cè)已不可能，像費(fèi)馬小定理那樣既容易推導(dǎo)又能傳世的數(shù)學(xué)成果也很難再出現(xiàn)。與此同時(shí)，無(wú)論在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)還是藝術(shù)、人文領(lǐng)域，人們的審美觀念均發(fā)生了很大的變化，復(fù)雜、抽象和深刻已成為評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)和尺度之一。
?勒·柯布西耶作品：法國(guó)朗鄉(xiāng)教堂（1953）
可喜的是，抽象化并沒(méi)有導(dǎo)致純粹數(shù)學(xué)理論被束之高閣，反而得到了更廣泛的應(yīng)用。這一點(diǎn)恰好說(shuō)明，數(shù)學(xué)的抽象化是符合社會(huì)潮流的發(fā)展和變化的。自從微積分誕生以來(lái)，數(shù)學(xué)作為一種強(qiáng)有力的工具，在17、18世紀(jì)推動(dòng)了以機(jī)械運(yùn)動(dòng)為主體的科學(xué)技術(shù)革命，在1860年以后又推動(dòng)了以發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)和電氣通信為主體的技術(shù)革命。
19世紀(jì)40年代以來(lái)，無(wú)論是電子計(jì)算機(jī)、原子能技術(shù)、空間技術(shù)、生產(chǎn)自動(dòng)化還是通信技術(shù)，都與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，相對(duì)論、量子力學(xué)、超弦理論、分子生物學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和混沌理論等科學(xué)分支所需要的數(shù)學(xué)工具尤為深?yuàn)W和抽象。
?萊特作品：紐約古根海姆博物館（1959）
隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和現(xiàn)實(shí)社會(huì)的發(fā)展，不斷催生出新的數(shù)學(xué)理論和分支，我們僅以突變理論和小波分析為例。突變理論誕生于1972年，當(dāng)年法國(guó)拓?fù)鋵W(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主托姆（Thom，1923—2002）出版了《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與形態(tài)發(fā)生學(xué)》一書(shū)。
突變理論研究的是系統(tǒng)控制變量經(jīng)受突然的巨大變化的一系列行為及其分類，它是微分流形拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支，系統(tǒng)變量最終的性質(zhì)、行為可繪制成曲線或曲面。以拱橋?yàn)槔?，最初只是比較均勻地變形，直到荷載達(dá)到某一臨界點(diǎn)時(shí)，橋形瞬間發(fā)生變化而坍塌。后來(lái)，突變理論的思想被社會(huì)學(xué)家應(yīng)用于諸如群氓斗毆等社會(huì)現(xiàn)象的研究。
再來(lái)看小波分析，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的顯微鏡”，是調(diào)和分析領(lǐng)域的里程碑式進(jìn)展。大約在1975年，從事石油信號(hào)處理工作的法國(guó)工程師莫利特（Morlet，1931—2007）提出并命名了“小波”。
小波分析或變換是指用有限長(zhǎng)的、快速衰減的振蕩波形表示信號(hào)，與傅里葉變換一樣，可用正弦函數(shù)之和表示。二者的區(qū)別在于：小波在時(shí)域和頻域上都是局部的，而傅里葉變換通常只在頻域上是局部的；另外，小波計(jì)算的復(fù)雜度較小，只需O（N）時(shí)間，而快速傅里葉變換需要的時(shí)間是O（NlogN）。
除了信號(hào)分析，小波分析還被用于武器智能化、電腦分類識(shí)別、音樂(lè)語(yǔ)言合成、機(jī)械故障診斷、地震勘探數(shù)據(jù)處理，等等。在醫(yī)學(xué)成像方面，小波縮短了B超（超聲波檢查的一種）、CT和核磁共振成像的時(shí)間，提高了時(shí)空分辨率。
20世紀(jì)數(shù)學(xué)的主流可以說(shuō)是結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)，這是法國(guó)布爾巴基學(xué)派的一大發(fā)明。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是傳統(tǒng)意義上的數(shù)與形，數(shù)學(xué)的分類不再是代數(shù)、幾何和分析，而是依據(jù)結(jié)構(gòu)相同與否。例如，線性代數(shù)和初等幾何“同構(gòu)”，故而可以一起處理。布爾巴基學(xué)派的主將韋伊（Weil，1906—1998）與文化人類學(xué)家列維—斯特勞斯（Levi-Strauss，1908—2009）有交往，后者用結(jié)構(gòu)分析的方法研究不同文化的神話，發(fā)現(xiàn)其中的“同構(gòu)性”，可以說(shuō)這是語(yǔ)言學(xué)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物。
列維—斯特勞斯引領(lǐng)的哲學(xué)潮流——結(jié)構(gòu)主義在20世紀(jì)60年代的法國(guó)盛極一時(shí)，拉康（Lacan，1901—1981）、巴爾特（Barthes，1915—1980）、阿爾杜塞（Althusser，1918—1990）和?？?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（Foucault，1926—1984）分別將之應(yīng)用于精神分析學(xué)、文學(xué)、馬克思主義和社會(huì)歷史學(xué)研究，而德里達(dá)（Derrida，1930—2004）的解構(gòu)主義則是對(duì)結(jié)構(gòu)主義的批判。
展望未來(lái)，數(shù)學(xué)能否走向統(tǒng)一？這是人們關(guān)心的問(wèn)題。早在1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家F.克萊因（Klein，1849—1925）就發(fā)表了著名的《埃爾朗根綱領(lǐng)》，基于他與挪威數(shù)學(xué)家、李群和李代數(shù)的發(fā)明人李（Lie，1842—1899）在群論方面的工作，試圖用群的觀點(diǎn)統(tǒng)一幾何學(xué)和數(shù)學(xué)。
按照布爾巴基學(xué)派的觀點(diǎn)，李群是群結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的結(jié)合。隨后群的觀點(diǎn)便深入到數(shù)學(xué)的各個(gè)部分中去，可F.克萊因的目標(biāo)仍遙不可及。將近一個(gè)世紀(jì)以后，加拿大數(shù)學(xué)家朗蘭茲（Langlands，1936—）又舉起了“朗蘭茲綱領(lǐng)”的大旗。1967年，他在給韋伊的信中，提出了一系列猜想，揭示了數(shù)論中的伽羅華理論與分析中的自守型理論之間的關(guān)系。
?庫(kù)哈斯和舍人作品：中央電視臺(tái)總部大樓（2007）
19世紀(jì)后期以來(lái)，數(shù)學(xué)的某些不同學(xué)科之間有相互滲透、結(jié)合的趨勢(shì)，這推動(dòng)了一系列新的數(shù)學(xué)分支的誕生。即便在當(dāng)前，數(shù)學(xué)的分化依然是主流，最鮮明的特征是抽象化、專業(yè)化和一般化。
相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)存在脫離現(xiàn)實(shí)世界和自然科學(xué)的傾向，這是十分令人擔(dān)憂的現(xiàn)象。那么，抽象化或結(jié)構(gòu)最終能否成為數(shù)學(xué)統(tǒng)一的標(biāo)簽?zāi)兀窟@種可能性無(wú)疑是存在的，可是無(wú)論如何，數(shù)學(xué)的統(tǒng)一無(wú)法在不斷孤立自身的背景下實(shí)現(xiàn)。
?赫佐格和德梅隆作品：中國(guó)國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”（2008）
與此同時(shí)，“拼貼”逐漸成為藝術(shù)的主要技巧和代名詞，拼貼也是哲學(xué)家努力找尋的現(xiàn)代神話。從前，我們理解的拼貼是把不相關(guān)的畫(huà)面、詞語(yǔ)、聲音等隨意組合起來(lái)，以創(chuàng)造出特殊效果的藝術(shù)手段。
現(xiàn)在看來(lái)，這個(gè)范圍還可以擴(kuò)大，至少可以涵蓋觀念的組合。這樣一來(lái)，拼貼就會(huì)在數(shù)學(xué)甚至更多文明中發(fā)揮作用?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)中許多新的交叉學(xué)科就是拼貼藝術(shù)在這些領(lǐng)域發(fā)揮作用的結(jié)果。拼貼和抽象化在某種意義上是同一件事，只不過(guò)拼貼這個(gè)詞來(lái)源于藝術(shù)，而抽象化則更多地讓人聯(lián)想到數(shù)學(xué)。
限于篇幅，我們沒(méi)有討論繪畫(huà)以外的其他藝術(shù)形式，它們同樣經(jīng)歷了抽象化的過(guò)程。比如建筑，從內(nèi)容、形式到裝飾都發(fā)生了重大變化。古羅馬建筑師維特魯威在《建筑十書(shū)》里提出了“適用、堅(jiān)固、美觀”三個(gè)詞，成為判斷建筑物或建筑方案優(yōu)劣的準(zhǔn)則。
即使文藝復(fù)興時(shí)期的阿爾貝蒂，也只是把“美觀”分為“美”和“裝飾”，他認(rèn)為美在于和諧的比例，而裝飾只是“輔助的華彩”。20世紀(jì)以來(lái)，建筑師們終于意識(shí)到，裝飾不再是無(wú)足輕重的華彩，而是不可或缺的無(wú)處不在的藝術(shù)組成部分（就像繪畫(huà)中的拼貼那樣）。其中，幾何圖形（無(wú)論是古典的還是現(xiàn)代的）扮演了非常重要的角色。
與音樂(lè)、繪畫(huà)、建筑等藝術(shù)一樣，數(shù)學(xué)是無(wú)國(guó)界的，幾乎沒(méi)有語(yǔ)言障礙。它不僅是人類文明的重要組成部分，也可能是外星文明的重要組成部分。如果真的存在外星人，他們可能讀得懂甚或精通數(shù)學(xué)。也就是說(shuō)，地球人與外星人可望基于數(shù)學(xué)形式的語(yǔ)言進(jìn)行溝通。
早在1820年，數(shù)學(xué)家高斯就曾建議用畢達(dá)哥拉斯定理的圖形化示范方法顯示廣袤的西伯利亞森林，作為發(fā)往太空的人類文明信號(hào)。大約20年后，波西米亞出生的奧地利天文學(xué)家約瑟夫·馮·利特羅（Joseph von Littrow，1781—1840）提出用充滿石油的溝壑縱橫的撒哈拉沙漠的圖像作為文明信號(hào)。
他們都認(rèn)為，這類數(shù)學(xué)圖片信號(hào)必定會(huì)引起富有智慧的外星生命的關(guān)注。遺憾的是，這兩個(gè)想法均未能付諸實(shí)踐。美國(guó)亞利桑那大學(xué)數(shù)學(xué)教授卡爾·德維托（Carl Devito）認(rèn)為，兩個(gè)星球開(kāi)展精確的交流取決于科學(xué)的信息交流，為此兩者必須首先學(xué)習(xí)對(duì)方的測(cè)量單位。
近年來(lái)，他和一位語(yǔ)言學(xué)家合作，提出了一種基于普遍科學(xué)概念的語(yǔ)言。他們認(rèn)為，大氣中化學(xué)成分或者星球能量輸出的差異，可能能使不同星系的文明彼此交流。這一想法基于以下假設(shè)：兩個(gè)星球都會(huì)一些數(shù)學(xué)方法和計(jì)算，都認(rèn)可化學(xué)元素和周期表，都對(duì)物質(zhì)狀態(tài)進(jìn)行了定量研究，都知道應(yīng)用足夠的化學(xué)物質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。
盡管如此，要成功聯(lián)系到外星文明依然存在許多困難和障礙。例如，外星人可能從不同的數(shù)學(xué)方法出發(fā)總結(jié)出運(yùn)動(dòng)的定律，這些定律可能與我們熟悉的定律大不相同。我們描述運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是微積分，微積分是許多科學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)，外星文明是否也這樣呢？又如，外星人是否已建立起歐幾里得幾何學(xué)或非歐幾何學(xué)？外星人的物理學(xué)可能與我們的物理學(xué)存在差異，他們是否承認(rèn)哥白尼提出的太陽(yáng)系宇宙學(xué)說(shuō)？這也值得懷疑。同樣棘手的問(wèn)題是，如何從數(shù)學(xué)出發(fā)討論人類文明的其他方面？這正是本書(shū)探討的一個(gè)問(wèn)題，需要我們做大量跨文化的研究工作。
美是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征，這一特征體現(xiàn)在了數(shù)學(xué)發(fā)展的整個(gè)歷史進(jìn)程中，但由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性和抽象性而難以為“局外人”所體會(huì)。《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》做到了這一點(diǎn)，作者蔡天新是我們這個(gè)世界上難得的詩(shī)人數(shù)學(xué)家。在閱讀本書(shū)時(shí)體會(huì)其無(wú)處不在的詩(shī)韻本身就是一種享受，它是數(shù)學(xué)自身固有的美和作者優(yōu)雅的藝術(shù)品位的巧妙融合。
小時(shí)候我們常把聰明的同學(xué)稱為“數(shù)學(xué)腦瓜”，是指數(shù)學(xué)好才聰明。數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數(shù)學(xué)史，讀過(guò)幾本，覺(jué)得還是太專業(yè)，太難讀。但這本《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》我覺(jué)得任何人都會(huì)有興趣讀下去，且會(huì)有所收獲。數(shù)學(xué)的發(fā)展主要在西方，但作者并沒(méi)有忘記中國(guó)。更可貴的是，這本書(shū)著眼于從整個(gè)人類文明的角度來(lái)介紹數(shù)學(xué)，這就讓人讀起來(lái)興趣盎然了。
人類智力高低的標(biāo)準(zhǔn)是什么？一直以來(lái)有較多的爭(zhēng)議。但數(shù)學(xué)作為人類智慧的結(jié)晶，卻是長(zhǎng)久以來(lái)達(dá)成的共識(shí)。了解數(shù)學(xué)的歷史，既能了解作為高級(jí)動(dòng)物的人類發(fā)展的歷史，更能窺見(jiàn)人類智力的進(jìn)步。蔡天新的《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》敘述角度新穎、文字優(yōu)美，讓我們一起享受這本書(shū)帶來(lái)的智趣吧。
制版編輯： 呂浩然
