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輟學(xué)寫詩的數(shù)學(xué)差生，剛剛獲得菲爾茲獎(jiǎng)

2022/07/06
導(dǎo)讀
少有人走的數(shù)學(xué)巔峰之路
    7.6
知識(shí)分子The Intellectual

2022年 “菲爾茲獎(jiǎng)”四位得主，右二為許埈珥


  編者按

7月5日，4位年輕數(shù)學(xué)家獲得了2022年“菲爾茲獎(jiǎng)”。他們分別是：
36歲的瑞士日內(nèi)瓦大學(xué)/法國(guó)高等科學(xué)研究所教授Hugo Duminil-Copin，“表彰解決了統(tǒng)計(jì)物理中/相變的/概率理論里（尤其是在三維和四維情形下）若干長(zhǎng)期沒有解決的問題”。39歲的美國(guó)普林斯頓高等研究院June Huh（許埈珥），“表彰其將霍奇理論的思想引入組合學(xué)，證明了幾何格的Dowling–Wilson猜想，證明了擬陣的Heron–Rota–Welsh猜想，發(fā)展了洛倫茲多項(xiàng)式，以及證明了強(qiáng)梅森猜想?！?/span>35歲的英國(guó)牛津大學(xué)教授James Maynard，“表彰其對(duì)解析數(shù)論的貢獻(xiàn)，在理解素?cái)?shù)的結(jié)構(gòu)和丟番圖逼近方面取得了重大進(jìn)展?！?/span>37歲的瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院教授Maryna Viazovska，“表彰其證明E8格在8維中提供了相同球體的最密集堆積法，并對(duì)傅立葉分析中的相關(guān)極值問題和插值問題作出了進(jìn)一步的貢獻(xiàn)?！?/span>Maryna Viazovska出生于烏克蘭，是第二位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的女性數(shù)學(xué)家。2014年，37歲的伊朗數(shù)學(xué)家瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani）獲得菲爾茲獎(jiǎng)，成為該獎(jiǎng)項(xiàng)歷史上的首位女性得主。2017年，米爾扎哈尼因患乳腺癌在美國(guó)去世，年僅40歲。菲爾茲獎(jiǎng)每四年在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上頒發(fā)一次，以表彰當(dāng)下以及未來有可能取得杰出數(shù)學(xué)成就的40歲以下的數(shù)學(xué)家。下文為介紹許埈珥的求學(xué)及學(xué)術(shù)經(jīng)歷的一篇文章，選摘自《素?cái)?shù)的陰謀》，中信出版社出版。

撰文 | 凱文·哈特尼特

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2022年 “菲爾茲獎(jiǎng)” 得主許埈珥 | 圖源：mathunion.org


2017年一個(gè)溫暖的春日清晨，許埈珥（June Huh）步行穿過普林斯頓大學(xué)的校園。按計(jì)劃，他將前往麥克唐奈樓上課，但他不太確定怎么去那里。許埈珥是普林斯頓高等研究院的一員，這一遠(yuǎn)離俗世的研究院毗鄰普林斯頓大學(xué)校園。作為高等研究院的成員，許埈珥并沒有教課的義務(wù)，但他自愿教一門叫作 “交換代數(shù)” 的本科高級(jí)數(shù)學(xué)課程。被問及為什么要這樣做時(shí)，他說：“當(dāng)你教課時(shí)，你多少會(huì)做一些有用的事。但做研究時(shí)，大多數(shù)時(shí)候你都在做無用功?！?/span>

我們?cè)谏险n前幾分鐘到達(dá)了教室。教室里零零散散地坐著9個(gè)學(xué)生，其中一個(gè)學(xué)生趴在桌上睡覺。許埈珥在教室前角找了個(gè)位置，從背包里拿出幾頁皺巴巴的筆記。然后他單刀直入，從上周結(jié)束的地方開始講起。在接下來80分鐘里，他帶領(lǐng)學(xué)生們學(xué)習(xí)了德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特對(duì)一個(gè)定理的證明，該定理是20世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的突破之一。

只有少數(shù)幾所大學(xué)在本科階段講授交換代數(shù)，但普林斯頓會(huì)定期開設(shè)這門課程。普林斯頓每年招收世界上少數(shù)幾個(gè)最有前途的年輕數(shù)學(xué)人才。許埈珥說，即使按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，那天早上他班里的學(xué)生也稱得上天賦異稟。其中之一，就是那天早上坐在教室前排的那個(gè)學(xué)生，是唯一一個(gè)連續(xù)五次在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中獲得金牌的人。

許埈珥在數(shù)學(xué)生涯伊始并沒有得到太多贊譽(yù)。小學(xué)時(shí)考試成績(jī)的不理想使他確信自己并不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)。十幾歲時(shí)，他的夢(mèng)想是成為一名詩人。許埈珥的主修專業(yè)并不是數(shù)學(xué)，當(dāng)他最終申請(qǐng)研究生時(shí)，除一所大學(xué)外，其他大學(xué)都拒絕了他。

9年后，34歲的許埈珥已經(jīng)站在了數(shù)學(xué)世界的頂峰。他最著名的工作，是與數(shù)學(xué)家埃里克·卡茨（Eric Katz）和卡里姆·阿迪普拉西托（Karim Adiprasito）一起，證明了羅塔猜想（Rota’s conjecture）這一長(zhǎng)期存在的問題。[1]

比證明本身更值得關(guān)注的是許埈珥及其合作者實(shí)現(xiàn)它的方式——他們找到了一種方法，可以將一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的想法重新解釋到另一個(gè)它們似乎并不屬于的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。2017年春天，高等研究院給許埈珥提供了一個(gè)長(zhǎng)期的研究員職位。在他之前，這一職位只授予過三位年輕的數(shù)學(xué)家，其中兩人，即弗拉基米爾·沃埃沃德斯基（Vladimir Voevodsky）和吳寶珠（Ng? B?o Chau）后來獲得了數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)——菲爾茲獎(jiǎng)。

許埈珥在相當(dāng)晚的時(shí)候才開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并在之后取得如今的成就，就好比他18歲拿起網(wǎng)球拍，20歲就贏得溫布爾登網(wǎng)球公開賽一樣，屬于幾乎不可能發(fā)生的事。這是一條從天而降的職業(yè)途徑，在今天的數(shù)學(xué)界簡(jiǎn)直根本不會(huì)發(fā)生——即使是為了有個(gè)地方待著，以讓自己能做出新的發(fā)現(xiàn)，通常也需要經(jīng)歷數(shù)年的專業(yè)訓(xùn)練。然而，如果認(rèn)為許埈珥的突破是他克服了自己非科班出身的劣勢(shì)而取得的，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了。在許多方面，他的這些突破是其獨(dú)特經(jīng)歷的產(chǎn)物，是他在大學(xué)最后一年偶遇一位傳奇數(shù)學(xué)家的直接結(jié)果。這位傳奇數(shù)學(xué)家在某種程度上看出了許埈珥身上連他自己都未曾察覺的天賦。


1

意外的學(xué)徒
1983年，許埈珥在美國(guó)加州出生，當(dāng)時(shí)他父母正在那兒讀研究生。兩歲時(shí)，他們一家人回到了韓國(guó)首爾。在那里，許埈珥的父親教統(tǒng)計(jì)學(xué)，他母親成為冷戰(zhàn)開始以來韓國(guó)最早的俄羅斯文學(xué)教授之一。

許埈珥說，在一次糟糕的小學(xué)數(shù)學(xué)考試之后，他對(duì)這門學(xué)科采取了一種抵抗的態(tài)度：他認(rèn)為自己并不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)，所以決定將其視為 “把一個(gè)邏輯上必要的陳述疊加在另一個(gè)陳述上” 的無趣追求。十幾歲時(shí)，他轉(zhuǎn)而喜歡上了詩歌，認(rèn)為詩歌是一種真正的創(chuàng)造性表達(dá)?！拔抑牢液苈斆?，但我無法用成績(jī)證明這一點(diǎn)，所以就開始寫詩?！?許埈珥說。

許埈珥寫了很多詩和一些中篇小說，大部分是關(guān)于他自己十幾歲時(shí)的經(jīng)歷，但沒有一篇得以發(fā)表。2002年，許埈珥考入首爾國(guó)立大學(xué)，當(dāng)時(shí)他就認(rèn)定自己無法以詩人的身份謀生，于是決定改行當(dāng)一名科學(xué)記者。許埈珥在大學(xué)期間主修天文和物理，這也許是無意識(shí)地承認(rèn)了自己潛在的分析能力。

大學(xué)最后一年時(shí)，許埈珥24歲。那一年，著名的日本數(shù)學(xué)家廣中平祐以客座教授的身份來到首爾國(guó)立大學(xué)。廣中平祐當(dāng)時(shí)已經(jīng)70多歲了，在日本和韓國(guó)家喻戶曉。他于1970年獲得菲爾茲獎(jiǎng)，后來寫了一本十分暢銷的回憶錄《創(chuàng)造之門》（The Joy of Learning）。那一代韓國(guó)和日本的父母都會(huì)把這本書送給自己的孩子，希望自己的下一代能成為偉大的數(shù)學(xué)家。在首爾國(guó)立大學(xué)，廣中平祐開設(shè)了為期一年的代數(shù)幾何（一個(gè)非常廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域）講座課程。許埈珥也選了這門課，他覺得廣中平祐有可能成為他記者生涯中的第一個(gè)采訪對(duì)象。

一開始，廣中平祐的課上有100多個(gè)學(xué)生，其中包括不少數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，但幾周以后，來上課的人就屈指可數(shù)了。許埈珥猜測(cè)，其他學(xué)生退課可能是覺得廣中平祐的課很難理解，而他之所以能堅(jiān)持下來是因?yàn)樽约翰⒉恢竿軓倪@門課中學(xué)到什么。

許埈珥說：“數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生退課是因?yàn)樗麄兪裁炊悸牪欢．?dāng)然了，我也什么都聽不懂，但非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對(duì) ‘理解某件事’ 有不同的標(biāo)準(zhǔn)。我確實(shí)理解了他在課堂上展示的一些簡(jiǎn)單的例子，這對(duì)我來說已經(jīng)很不錯(cuò)了?！?/span>

下課后，許埈珥會(huì)特意找廣中平祐聊天，兩人很快就開始共進(jìn)午餐。廣中平祐還記得許埈珥的積極主動(dòng)。“我并不會(huì)拒絕學(xué)生，但我也不會(huì)主動(dòng)找學(xué)生，他只是正好來找我。” 廣中平祐回憶道。

許埈珥試圖利用這些午餐時(shí)間詢問廣中平祐一些個(gè)人問題，但談話最后總會(huì)回到數(shù)學(xué)上。每到此時(shí)，許埈珥都會(huì)盡量不暴露自己的無知?！安恢趺吹?，我很擅長(zhǎng)假裝聽懂他在說什么。” 他說。事實(shí)上，廣中平祐從未意識(shí)到自己未來的學(xué)生缺乏正規(guī)訓(xùn)練?！澳遣皇俏矣洃浬羁痰氖?。他給我留下了深刻印象?！?廣中平祐說。

隨著午餐談話的繼續(xù)，兩人的關(guān)系越來越好。許埈珥畢業(yè)后，廣中平祐在首爾國(guó)立大學(xué)又多待了兩年。在那期間，許埈珥開始在廣中平祐的指導(dǎo)下攻讀數(shù)學(xué)碩士學(xué)位。他們幾乎總在一起。廣中平祐會(huì)偶爾回日本，許埈珥就拎著廣中平祐的行李穿過機(jī)場(chǎng)，跟他一起回去，甚至和廣中平祐夫婦一起住在他們位于京都的公寓。

“我問他想不想住酒店，他說不喜歡。他就是這么說的。所以他就住在我公寓的一個(gè)角落。” 廣中平祐說。

在京都和首爾，廣中平祐和許埈珥會(huì)一起出去吃飯或者長(zhǎng)時(shí)間地散步，期間廣中平祐會(huì)停下來給路邊的花拍照片。他們成了朋友?！拔蚁矚g他，他也喜歡我，所以我們聊了一些非數(shù)學(xué)的東西?！?廣中平祐說。

與此同時(shí)，廣中平祐繼續(xù)指導(dǎo)許埈珥，他從一些許埈珥能理解的具體例子開始，而不是直接向許埈珥介紹一些他可能無法掌握的一般理論。特別地，廣中平祐教了許埈珥一些關(guān)于奇點(diǎn)理論的精微玄妙之處，廣中平祐就是在這個(gè)領(lǐng)域取得了他最著名的結(jié)果。幾十年來，廣中平祐也一直在努力尋找特征p的奇點(diǎn)消解的證明，這是一個(gè)重要的懸而未決的問題?！帮@然，他想讓我繼續(xù)這項(xiàng)工作。” 許埈珥說。

2009年，在廣中平祐的敦促下，許埈珥申請(qǐng)了十幾所美國(guó)的研究生院。他的資歷很淺：不是數(shù)學(xué)專業(yè)出身，上過的研究生水平的課程很少，并且在已上的課上也表現(xiàn)平平。許埈珥的入學(xué)申請(qǐng)很大程度上取決于廣中平祐的推薦，但大多數(shù)學(xué)校的招生委員會(huì)均對(duì)此不為所動(dòng)。除了伊利諾伊大學(xué)厄巴納–香檳分校，其他學(xué)校都拒絕了他，于是他在2009年秋季進(jìn)入了這所大學(xué)就讀。


2

圖中的裂縫
在伊利諾伊州，許埈珥開始了一項(xiàng)最終幫助他證明了羅塔猜想的工作。羅塔猜想是意大利數(shù)學(xué)家吉安–卡洛·羅塔（Gian-Carlo Rota）在1971年提出的，它研究的是組合對(duì)象——組合對(duì)象是一些類似于萬能工匠玩具的構(gòu)造，比如圖（graph）這種點(diǎn)和線段粘在一起的 “組合”。

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的圖：三角形


數(shù)學(xué)家感興趣的問題是：給定一些顏色，一共有多少種不同的方法為三角形的頂點(diǎn)著色，可以令任意一條邊兩端的兩個(gè)頂點(diǎn)不能有相同的顏色。假設(shè)你有q種顏色。你的選擇如下：

第一個(gè)頂點(diǎn)的顏色有q種選擇：因?yàn)殚_始時(shí)你可以使用任何顏色。

相鄰頂點(diǎn)的顏色有q-1種選擇：因?yàn)槟憧梢允褂贸谝粋€(gè)頂點(diǎn)的顏色以外的任何顏色。

第三個(gè)頂點(diǎn)的顏色有q-2種選擇，因?yàn)槟憧梢允褂贸皟蓚€(gè)頂點(diǎn)的顏色以外的任何顏色。


著色方法的總數(shù)將是所有選擇的乘積，在這個(gè)例子中就是 q×(q–1)×(q-2)=q3–3q2+q。

上述方程被稱為這個(gè)圖的色多項(xiàng)式，它有一些有趣的性質(zhì)。取其每一項(xiàng)的系數(shù)：1，-3和2。該序列的絕對(duì)值一一1，3, 2——有兩個(gè)特殊的性質(zhì)。第一，它是 “單峰的”，即它只有一個(gè)峰值，在該峰值之前，序列只會(huì)上升；在該峰值之后，序列只會(huì)下降。


第二，它是 “對(duì)數(shù)凹” 的，即該序列中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)都滿足外面兩個(gè)數(shù)的乘積小于中間數(shù)的平方。序列（1，3, 5）滿足這個(gè)要求（）,但序列（2, 3, 5 ）不滿足這個(gè)要求（）。

你可以想象無窮多的圖——這些圖有更多的頂點(diǎn)和邊，這些頂點(diǎn)和邊可以通過任何方式相連。每個(gè)圖都有唯一的色多項(xiàng)式。在數(shù)學(xué)家研究過的每一個(gè)圖中，其色多項(xiàng)式的系數(shù)總是單峰的和對(duì)數(shù)凹的。所謂的里德猜想（Read’s conjecture）即斷言上述事實(shí)總是成立。許埈珥將開始證明這一猜想。

從某種意義上來說，里德猜想是非常反直覺的。要理解其中的原因，多了解一些如何將圖分解成子圖并重新組合的過程將很有幫助。考慮一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的圖一一圖3.4中的矩形。


矩形的色多項(xiàng)式比三角形的色多項(xiàng)式更難計(jì)算，但任何圖都可以分解成子圖，相比之下子圖更容易處理。子圖是通過從原圖中刪掉一條（或多條）邊（如圖3.5所示），或?qū)蓚€(gè)頂點(diǎn)收縮成一個(gè)頂點(diǎn)（如圖3.6所示）而得到的圖。




矩形的色多項(xiàng)式等于刪掉一條邊的矩形的色多項(xiàng)式減去三角形的色多項(xiàng)式。當(dāng)你注意到與矩形本身相比，刪掉一條邊的矩形的著色方案應(yīng)該更多時(shí)，這一點(diǎn)就很直觀了：在刪掉一條邊的矩形中，上面沒有被一條邊相連的兩個(gè)點(diǎn)會(huì)給你更多的著色自由度。(例如，你可以給它們著上相同的顏色，但當(dāng)它們相連時(shí)，你就不能這么做。）那它能給你多大的自由度呢？恰好是三角形的著色數(shù)。


任何圖的色多項(xiàng)式都可以通過子圖的色多項(xiàng)式來定義，并且所有這些色多項(xiàng)式的系數(shù)總是對(duì)數(shù)凹的。

然而，一般而言，當(dāng)你對(duì)兩個(gè)對(duì)數(shù)凹序列進(jìn)行加減時(shí)，得到的序列并不是對(duì)數(shù)凹的。因此，在組合色多項(xiàng)式的過程中，你會(huì)期望對(duì)數(shù)凹性消失。但它并沒有消失，這說明在此過程中還有別的事情在發(fā)生?！斑@就是人們好奇這種對(duì)數(shù)凹現(xiàn)象的原因。” 許埈珥解釋道。


3

尋找隱藏的結(jié)構(gòu)
許埈珥剛到伊利諾伊?xí)r并不知道里德猜想。大多數(shù)一年級(jí)的研究生在課堂上花費(fèi)的時(shí)間要多于在自己研究上的時(shí)間，但在結(jié)束了跟隨廣中平祐的三年學(xué)徒生活之后，許埈珥有了自己要研究的想法。

在到美國(guó)中西部后度過的第一個(gè)冬季，許埈珥發(fā)展了將奇點(diǎn)理論（這是他跟廣中平祐學(xué)習(xí)的重點(diǎn)）應(yīng)用于圖的技術(shù)。在此過程中，許埈珥發(fā)現(xiàn)當(dāng)他從圖中構(gòu)造出一個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，他就可以用奇點(diǎn)理論來證明原來這個(gè)圖的很多性質(zhì)一一例如，解釋為什么一個(gè)圖的色多項(xiàng)式的系數(shù)會(huì)遵循對(duì)數(shù)凹模式。這一點(diǎn)對(duì)許埈珥來說非常有趣，于是他去查閱圖論的文獻(xiàn)，想看看是否有其他人解釋過他看到的這些對(duì)數(shù)凹模式。許埈珥發(fā)現(xiàn)，對(duì)圖論學(xué)家來說，這些模式仍然是完全神秘的。

許埈珥說：“我發(fā)現(xiàn)自己觀察到的這種模式實(shí)際上是圖論中一個(gè)著名的猜想，叫里德猜想。從某種意義上說，我在不知道問題的情況下解決了問題。”

許埈珥無意中對(duì)里德猜想的證明，以及他將奇點(diǎn)理論與圖相結(jié)合的方式，都可以看作其樸素?cái)?shù)學(xué)方法的產(chǎn)物。他了解奇點(diǎn)理論的方式主要是自學(xué)和跟隨廣中平祐的非正式學(xué)習(xí)。觀察過他在過去幾年崛起過程的人認(rèn)為，正是這種經(jīng)歷讓他沒那么受制于關(guān)于哪些數(shù)學(xué)方法值得嘗試的傳統(tǒng)觀點(diǎn)。“如果你把數(shù)學(xué)看作一塊分為幾個(gè)國(guó)家的大陸的話，我認(rèn)為許埈珥的情況就相當(dāng)于，沒有人真的告訴他存在這些邊界。他絕對(duì)不受任何界限的約束?！?高等研究院主任羅貝特-戴克赫拉夫說。

許埈珥把自己對(duì)里德猜想的證明發(fā)布到網(wǎng)上后不久，密歇根大學(xué)邀請(qǐng)他去做報(bào)告，專門介紹這一結(jié)果。2010年12月3日，許埈珥在一個(gè)坐滿了數(shù)學(xué)家的房間里開始了自己的報(bào)告，而這些數(shù)學(xué)家正是一年前拒絕了他的研究生申請(qǐng)的那批人。至此，許埈珥的天賦在其他數(shù)學(xué)家眼中已是顯而易見。杰西?卡斯（Jesse Kass）當(dāng)時(shí)是密歇根大學(xué)的數(shù)學(xué)博士后研究員?？ㄋ够貞浾f，就在許埈珥到訪之前，一名資深教員鼓勵(lì)他去聽許埈珥的報(bào)告，因?yàn)檫@樣 “30年后你就可以告訴你的孫子，你在許埈珥成名之前就聽過他的報(bào)告了”?？ㄋ宫F(xiàn)在是南卡羅來納大學(xué)的教授。

許埈珥的報(bào)告沒有讓大家失望。

“從某種程度上說，這個(gè)報(bào)告非常優(yōu)美和清晰；它一下子就切中了要點(diǎn)。對(duì)于剛開始讀研究生的人來說，能做一個(gè)如此清楚的報(bào)告的并不多見?！?密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)家米爾洽?穆斯塔策（Mircea Musta??）說。

在許埈珥的報(bào)告之后，密歇根大學(xué)的教授們邀請(qǐng)他轉(zhuǎn)校，于是許埈珥在2011年去了密歇根。到那時(shí)，他已經(jīng)知道里德猜想是一個(gè)更宏大更重要的問題——羅塔猜想的特例。

羅塔猜想與里德猜想非常相似，但它的研究對(duì)象不再是圖，而是一類比圖更抽象的，被稱為 “擬陣”（matroid，圖可以看作是一類特別具體的擬陣）的組合對(duì)象，以及由擬陣產(chǎn)生的另一種稱為 “特征多項(xiàng)式” 的方程。但兩者的基本點(diǎn)是相同的：羅塔猜想預(yù)測(cè)，任何擬陣的特征多項(xiàng)式的系數(shù)總是對(duì)數(shù)凹的。

羅塔猜想的陳述很簡(jiǎn)單，證據(jù)也很多，但要證明它，也就是解釋為什么會(huì)出現(xiàn)對(duì)數(shù)凹性，卻極其困難。擬陣本身沒有任何東西能表明，為什么對(duì)子擬陣的特征多項(xiàng)式進(jìn)行加減時(shí)，這些對(duì)數(shù)凹性會(huì)一致地保持（就像當(dāng)你對(duì)圖的色多項(xiàng)式進(jìn)行加減時(shí)，沒有明顯的理由表明對(duì)數(shù)凹性會(huì)保持一樣）。每當(dāng)觀察到一種沒有明顯原因的模式時(shí)，你會(huì)自然地深入地表以下——去尋找長(zhǎng)成這棵樹的根。當(dāng)許埈珥及其合作者開始攻克羅塔猜想時(shí)，他們就是這么做的。

許埈珥說：“在具體的例子中很容易觀察到對(duì)數(shù)凹性。你只需要計(jì)算感興趣的序列，就可以看到對(duì)數(shù)凹性就在那里。但由于某些原因，解釋為什么會(huì)出現(xiàn)這一現(xiàn)象是很困難的?！?/span>

起初，許埈珥試圖推廣他在證明里德猜想時(shí)使用的奇點(diǎn)理論的技術(shù)，但他很快發(fā)現(xiàn)，這些技術(shù)在更抽象的擬陣領(lǐng)域并不奏效。

這次失敗，讓許埈珥開始尋找隱藏在擬陣表面之下的、能夠解釋其數(shù)學(xué)行為的其他結(jié)構(gòu)。


4

跨越邊界
一些人類理解上的重大飛躍，發(fā)生在有人將一個(gè)領(lǐng)域的成熟理論推廣到另一個(gè)領(lǐng)域中看似不相關(guān)的現(xiàn)象的時(shí)候。以萬有引力為例。人們一直明白從高處釋放物體，物體就會(huì)掉到地面；當(dāng)牛頓意識(shí)到同樣的動(dòng)力學(xué)定律可以解釋行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們頭頂?shù)奶炜站妥兊酶忧逦恕?/span>

在數(shù)學(xué)中，類似的思想遷移經(jīng)常發(fā)生。1994年，頗有影響力的數(shù)學(xué)家威廉?瑟斯頓在他那篇被廣泛引用的論文《論數(shù)學(xué)的證明與進(jìn)步》（On Proof and Progress in Mathematics）中解釋說，“導(dǎo)數(shù)” 這個(gè)概念有幾十種不同的理解方式。[2] 一種是你在微積分中學(xué)到的一一導(dǎo)數(shù)是一個(gè)函數(shù)中無窮小變化的度量。但導(dǎo)數(shù)也會(huì)以其他形式出現(xiàn)：與函數(shù)圖像相切的直線的斜率，或在特定時(shí)刻由函數(shù)給出的瞬時(shí)速度。瑟斯頓寫道：“這是一系列思考或想象導(dǎo)數(shù)的不同方式，而非一系列不同的邏輯定義?！?/span>

許埈珥對(duì)羅塔猜想的研究，涉及對(duì)另一個(gè)古老數(shù)學(xué)領(lǐng)域一一 “霍奇理論” 的重新認(rèn)識(shí)?；羝胬碚撌?0世紀(jì)30年代由蘇格蘭數(shù)學(xué)家威廉?霍奇（William Hodge）發(fā)展起來的。稱其為 “理論” 只表明它是對(duì)某一特定事物的研究，就像你可以說 “直角三角形理論” 是對(duì)直角三角形的研究一樣。在霍奇理論中，我們感興趣的對(duì)象是 “光滑射影代數(shù)簇的上同調(diào)環(huán)”。

從表面上看，霍奇理論與圖或擬陣之間的關(guān)系似乎遠(yuǎn)到不能再遠(yuǎn)了?；羝胬碚撝械纳贤{(diào)環(huán)是由包含無窮概念的光滑函數(shù)產(chǎn)生的。相比之下，像圖和擬陣這樣的組合對(duì)象則是純粹離散的一一它們是點(diǎn)和線的組合。要問霍奇理論在擬陣的背景下有什么意義，有點(diǎn)兒像問如何求一個(gè)球體的平方根，這個(gè)問題似乎就沒有任何意義。

然而，我們有充分的理由問這一問題?；羝胬碚撎岢鲋蟮?0多年里，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)在遠(yuǎn)離最初代數(shù)背景的情形下發(fā)現(xiàn)了許多霍奇型結(jié)構(gòu)的例子。這就好像一度被認(rèn)為是直角三角形唯一來源的畢達(dá)哥拉斯關(guān)系，后來被證明也可以用來描述素?cái)?shù)的分布。

“有一種感覺是，這些結(jié)構(gòu)只要存在，就是基本的。它們可以解釋關(guān)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一些事實(shí)，而這些事實(shí)很難用其他任何方法解釋?！?許埈珥說。

在這些新近發(fā)現(xiàn)了霍奇型結(jié)構(gòu)的背景中，有一部分是與組合相關(guān)的，這促使許埈珥開始思考：這些來自霍奇理論的關(guān)系是否能用來解釋這些對(duì)數(shù)凹模式？然而，在一個(gè)陌生的領(lǐng)域?qū)ふ沂煜さ臄?shù)學(xué)概念并不是一件容易的事。事實(shí)上，這有點(diǎn)像尋找地外生命一你可能對(duì)生命有什么標(biāo)志性特征有自己的想法，也有可以指引你搜索的線索，但你仍然很難預(yù)測(cè)新的生命形式會(huì)是什么樣子。


5

合作關(guān)系的發(fā)展
近年來，許埈珥與俄亥俄州立大學(xué)的數(shù)學(xué)家卡茨和耶路撒冷希伯來大學(xué)的數(shù)學(xué)家卡里姆-阿迪普拉西托一起，合作完成了許多他最重要的工作。他們組成了一個(gè)不同尋常的三人組。

阿迪普拉西托最初想成為一名廚師。在進(jìn)入組合學(xué)（圖論和羅塔猜想等問題所在的數(shù)學(xué)領(lǐng)域）之前，他在印度各地背包旅行。阿迪普拉西托高中時(shí)很喜歡數(shù)學(xué)，但后來放棄了，因?yàn)樗X得 “數(shù)學(xué)對(duì)我來說不夠有創(chuàng)造性”。卡茨則對(duì)獨(dú)立搖滾樂隊(duì)有著狂烈的熱愛和深入細(xì)致的了解，這些都是他早年作為大學(xué)電臺(tái)DJ（音樂節(jié)目主持人）時(shí)培養(yǎng)的。三位合作者中，卡茨是最接近擁有典型數(shù)學(xué)血統(tǒng)的，他認(rèn)為自己是在未來詩人和未來廚師的創(chuàng)造性想法之間做翻譯。

卡茨說：“卡里姆有一些不知道從何而來的驚人想法，而許埈珥對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)該如何發(fā)展有著美好的愿景。通常很難把卡里姆的想法融入許埈珥的愿景中，也許我做的一部分事情就是和卡里姆聊天，把他的想法翻譯成更接近數(shù)學(xué)的東西?！?/span>

早在2011年，卡茨就開始關(guān)注許埈珥證明里德猜想的工作。那時(shí)，許埈珥對(duì)證明羅塔猜想還沒有任何頭緒?？ù淖屑?xì)閱讀了許埈珥關(guān)于里德猜想的證明，他發(fā)現(xiàn)如果在論證中去掉特定的一步，他就可以用那篇論文的方法給出羅塔猜想在部分情形下的證明。于是他跟許埈珥聯(lián)系，在短短幾個(gè)月時(shí)間里，兩人合寫了一篇文章（發(fā)表于2012年），解釋了一小類被稱為“可實(shí)現(xiàn)的”擬陣的對(duì)數(shù)凹性。

然而，那篇論文并沒有解決羅塔猜想中最難的部分一一證明 “不可實(shí)現(xiàn)的” 擬陣的對(duì)數(shù)凹性，而擬陣大多數(shù)都是不可實(shí)現(xiàn)的。前文提到，20世紀(jì)50年代出現(xiàn)的霍奇理論最初被定義在 “代數(shù)簇的上同調(diào)環(huán)” 上。如果你想證明霍奇型結(jié)構(gòu)解釋了我們?cè)跀M陣中觀察到的現(xiàn)象，你就需要找到一種方法來解釋如何從擬陣中提取出類似于上同調(diào)環(huán)這樣的對(duì)象。對(duì)于可實(shí)現(xiàn)的擬陣，有非常直接的方法能做到這一點(diǎn)，這也是為什么許埈珥和卡茨能很快證明可實(shí)現(xiàn)擬陣的羅塔猜想。但對(duì)于不可實(shí)現(xiàn)的擬陣，并沒有明顯的方法可以將上同調(diào)環(huán)實(shí)例化一它們就好比一種語言，這種語言中根本沒有詞語來表達(dá)這個(gè)概念。

4年來，許埈珥和卡茨一直試圖在不可實(shí)現(xiàn)擬陣的情形下定義霍奇結(jié)構(gòu)，但失敗了。在此期間，他們確定了霍奇理論的一個(gè)特殊方面--霍奇指標(biāo)定理（Hodge index theorem）本身就足以解釋對(duì)數(shù)凹性，但這里存在一個(gè)問題：他們無法證明霍奇指標(biāo)定理對(duì)擬陣也成立。

這時(shí)，阿迪普拉西托進(jìn)入了我們的視野。2015年，他來到高等研究院訪問許埈珥。阿迪普拉西托意識(shí)到，雖然只用霍奇指標(biāo)定理就可以解釋對(duì)數(shù)凹性，但要對(duì)擬陣證明霍奇指標(biāo)定理，則要嘗試證明（包括霍奇指標(biāo)定理在內(nèi)的）更多來自霍奇理論的想法——這三位合作者將其統(tǒng)稱為 “克勒包”（K?hler package）。

阿迪普拉西托說：“我告訴許埈珥和埃里克，事實(shí)上有一種純組合的方法可以證明它。然后我們很快就想出了一個(gè)計(jì)劃。我覺得是他們提出了問題，我提供了技術(shù)。”

這一技術(shù)給出了羅塔猜想的完整證明。2015年11月，三人在網(wǎng)上發(fā)布了他們的工作。[3] 從那時(shí)起，這項(xiàng)工作就傳遍了整個(gè)數(shù)學(xué)界。他們的工作為霍奇理論提供了一個(gè)完全來自組合學(xué)的視角；反過來，霍奇理論又為解決組合學(xué)中的未解問題提供了一種全新的方法。

這項(xiàng)工作也提升了許埈珥的知名度。除了獲得了高等研究院的新職位之外，他還經(jīng)常被認(rèn)為是菲爾茲獎(jiǎng)的有力競(jìng)爭(zhēng)者。這一獎(jiǎng)項(xiàng)每4年頒發(fā)一次，授予40歲以下最有成就的數(shù)學(xué)家。


6

分道揚(yáng)鑣
早在2012年，剛剛證明了里德猜想的許埈珥就回到自己的母校首爾國(guó)立大學(xué)，報(bào)告了自己的工作。臺(tái)下的聽眾中就有他的恩師廣中平祐。廣中平祐回憶說，當(dāng)他得知奇點(diǎn)理論可以應(yīng)用于圖論時(shí)，他感到很驚訝。報(bào)告結(jié)束后，廣中平祐問許埈珥，這項(xiàng)新工作是否標(biāo)志著他研究興趣的改變。

“我記得我問過他，是否完全沉浸于圖論之類的東西，而對(duì)奇點(diǎn)失去了興趣。他說不，他仍然對(duì)奇點(diǎn)感興趣?！?廣中平祐說。

許埈珥也記得那次談話。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)他正邁向數(shù)學(xué)中一個(gè)全新的方向。他覺得或許自己只是沒準(zhǔn)備好大聲說出來一尤其對(duì)那個(gè)改變了他命運(yùn)的人。許埈珥說：“當(dāng)時(shí)我正要離開這條道路。我想他意識(shí)到了這一點(diǎn)，但我還是離開了這條道路。也許是某種心理作用，讓我不想承認(rèn)自己完全舍棄了奇點(diǎn)理論?！?/span>

從那以后，許埈珥和廣中平祐再也沒見過面。廣中平祐今年87歲（廣中平祐生于1931年，在本書英文版出版時(shí)（2018年）87歲?！幷咦ⅲ?/span>，業(yè)已退休，但他仍然致力于證明奇點(diǎn)理論中一個(gè)困擾了他幾十年的問題（即前文提到的 “特征P的奇點(diǎn)消解” 問題?！g者注）。2017年3月，廣中平佑在哈佛大學(xué)他曾經(jīng)的個(gè)人主頁上發(fā)布了一篇長(zhǎng)文，宣稱給出了一個(gè)證明。包括許埈珥在內(nèi)的一些數(shù)學(xué)家已經(jīng)初步審查了這一工作，但尚未驗(yàn)證該證明是否成立。廣中平祐的身體狀況已不再適合長(zhǎng)途旅行，但他還是希望能再次看到自己的愛徒?！拔抑荒軓膭e人那里聽到他的消息?！?廣中平祐說。

一天下午，我們?cè)诟叩妊芯吭盒@內(nèi)許埈珥的公寓里喝咖啡，我問他，他對(duì)沒有從事廣中平祐可能希望他從事的領(lǐng)域有何感想。他想了一會(huì)兒，說他很愧疚。

他說：“和廣中先生在一起的很多時(shí)候，我都不得不假裝自己理解他的意思。由于缺乏數(shù)學(xué)背景，我無法和他一起進(jìn)行嚴(yán)肅的研究。這給我留下了一份需要長(zhǎng)期補(bǔ)習(xí)的功課。”

與此同時(shí)，許埈珥認(rèn)為，自己從數(shù)學(xué)啟蒙到今天所走過的道路，對(duì)他的工作發(fā)展是有利的，或許還可以說是必要的步驟。我們?cè)谄樟炙诡D的一個(gè)街角分別時(shí)，他說：“我需要思考的空間?！?然后，他就遁入了高等研究院安靜的氛圍。許埈珥找到了自己進(jìn)入數(shù)學(xué)的路，現(xiàn)在他在路上了，他將通過它找到自己的路。

本文選摘自《素?cái)?shù)的陰謀》，托馬斯·林編著，中信出版集團(tuán)。

編者按感謝傅翔、李欣意、劉若川、謝俊逸的審核，感謝陸寧波協(xié)調(diào)審核。


 參考文獻(xiàn)：

1. Karim Adiprasito, June Huh and Eric Katz, " Hodge Theory for Combinatorital Geometries " (November 9, 2015), https://arxiv.org/abs/1511.02888

2. William P. Thurston, "On Proof and Progress in Mathematics," Bulletin of the American Mathematical Society 30, no. 2 (April 1, 1994): 161-177, https://arxiv.org/abs/math/9404236

3. Adiprasito , Huh and Katz, "Hodge Theory for Combinatorial Geometries," https://arxiv.org/abs/1511.02888




制版編輯 | 姜絲鴨


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