我眼中的菲爾茲獎得主——Caucher Birkar
劍橋大學(xué)的Caucher Birkar教授最近獲得了數(shù)學(xué)界的最高榮譽——菲爾茲獎，獲獎工作包括對BAB猜想的證明（Fano簇的有界性）以及在極小模型綱領(lǐng)（Minimal Model Program）中的貢獻。意外的是，他的獎?wù)略讷@獎半小時后即遭失竊，他也因此成為歷史上第一個被兩次授予菲爾茲獎獎?wù)碌娜?。作為一個在兩伊戰(zhàn)爭中走出來的“少數(shù)裔”獲獎?wù)?，他的菲爾茲獎之路充滿了荊棘。我和Birkar教授有一定的接觸，僅以此文來介紹這位數(shù)學(xué)家與他的獲獎工作。
撰文 | 韓京俊
編輯 | 金莊維
初“識”Birkar
第一次聽到Birkar教授的名字，應(yīng)該是在我博士一年級的時候。當(dāng)時我開始學(xué)習(xí)代數(shù)幾何不久，聽說我們方向幾年前有一篇很經(jīng)典的文章，被譽為是雙有理幾何、乃至代數(shù)幾何近20年最大的進展之一。這篇文章解決了極小模型綱領(lǐng)中一個重要的公開問題。出于好奇，我打印了文章，想一探究竟。
這篇文章簡稱BCHM，是四位作者姓名首字母的縮寫（Birkar-Cascini-Hacon-McKernan）。除Birkar教授外的另三位作者也都是非常出色的數(shù)學(xué)家。Paolo Cascini是英國帝國理工學(xué)院的教授。Christopher Hacon是美國猶他大學(xué)的杰出（distinguished）教授，同時還是美國國家科學(xué)院和美國藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院院士。James McKernan是美國加州大學(xué)圣地亞哥分校的教授。Hacon和McKernan此前因為BCHM等工作獲得過美國數(shù)學(xué)會Cole獎、獎金額度為300萬美元的數(shù)學(xué)突破獎（Breakthrough Prize in Mathematics）等殊榮。
剛打開這篇文章，我就被它的長度驚到了：全文長達64頁！再仔細一看，為證明文章的主要定理，共需要證明六個看似毫無聯(lián)系的輔助定理。這六個輔助定理的證明需要用數(shù)學(xué)歸納法進行互推，例如小于等于n-1維的定理D，小于等于n維的定理B以及小于等于n維的定理C可推出小于等于n維的定理D。
（圖源：論文原文）
這刷新了我對數(shù)學(xué)的認知。大家在高中都接觸過數(shù)學(xué)歸納法，但如此復(fù)雜的歸納，讓我不禁懷疑自己以前學(xué)的是“假的”數(shù)學(xué)。文章的證明用到了許多高深的數(shù)學(xué)，彼時處于一年級、仍在學(xué)教科書的我難以企及。但既然是我們領(lǐng)域最經(jīng)典的文章之一，我暗下決心，一定要在博士階段讀懂它。
學(xué)習(xí)的道路并不是一帆風(fēng)順。在博士前兩年學(xué)習(xí)了足夠的基礎(chǔ)知識后，在第三年我終于可以開始研讀BCHM。我曾天真的認為，即使每天讀一頁，兩個多月也能讀完BCHM了。但直到一整個學(xué)年結(jié)束，我才勉強領(lǐng)會BCHM證明中的技術(shù)細節(jié)。證明的高度抽象與復(fù)雜，以及對證明動機的不了解，曾一度使我陷入困境。在這期間，我還在網(wǎng)上觀看了Birkar講解BCHM的系列講座視頻。這對我理解證明的幫助很大，也讓我對Birkar有了一種親近感。
BCHM中的數(shù)學(xué)
（小賽提示：不在意細節(jié)的讀者，請直接跳過這一節(jié)）
要解釋清楚BCHM大概證明了一件什么事，就有必要先來介紹一下代數(shù)幾何，特別是極小模型綱領(lǐng)。代數(shù)幾何是一門研究多項式方程組解的幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。我們一般用“代數(shù)簇”來指代多項式方程組的解。一般地，代數(shù)簇的性質(zhì)取決于變量的取值范圍。例如研究代數(shù)簇Xn+Yn=Zn，當(dāng)n>=3時，上述方程即為著名的費馬大定理，是沒有正整數(shù)解的。
代數(shù)幾何或者說復(fù)代數(shù)幾何，主要研究變量取值為復(fù)數(shù)的多項式方程。代數(shù)基本定理告訴我們，一元d次多項式一定有d個復(fù)根，但未必有實根。因此研究方程的復(fù)根往往要比研究實根更容易。數(shù)學(xué)上研究一類對象常用的手段是對這類對象進行分類，將有類似性質(zhì)的對象歸為同一類。
代數(shù)幾何的一個主要課題是將代數(shù)簇（復(fù)根）在雙有理等價下進行分類，并在每一類中找出“最簡單”的代表。通俗地說，如果兩個代數(shù)簇在絕大多處是一樣的，我們就稱這兩個代數(shù)簇是雙有理等價的。例如，雙曲線xy=1與x軸（y=0）之間可建立如下對應(yīng)：當(dāng)t不等于0時，(t,1/t) 到 (t,0) 是一一對應(yīng)的。因此該雙曲線和x軸是雙有理等價的，盡管定義它們的方程并不相同。作為一個練習(xí)，讀者可思考拋物線與x軸是否是雙有理等價的。（后臺回復(fù)“練習(xí)答案”查看解答）
在雙有理等價意義下，將一維的代數(shù)曲線進行分類比較容易。對于曲面，下圖中的兩個對象是雙有理等價的。除去原點外，下圖中的平面（plane）和上面的圖形有一個一一對應(yīng)關(guān)系，而原點的原像是一條直線（用加粗的黑線標(biāo)出）。
平面上blow up原點（圖片由作者提供）
我們稱上面的圖形是由平面blow up原點得到，或者說上面的圖形blow down后可得到平面，顯然blown down后得到的平面在幾何上是更簡單的對象。關(guān)于blow up，在數(shù)學(xué)圈有一個廣為流傳的笑話：兩個數(shù)學(xué)家在機場討論時提到blow up 9 nine points on the plane（在飛機上爆破九個點），然后就被當(dāng)作恐怖分子抓了起來。
早在20世紀初，意大利代數(shù)幾何學(xué)派就研究了曲面的雙有理分類。他們證明了任何一個曲面都可以通過不停地進行blow down這種操作，最后得到一個“極小曲面”。這種“極小曲面”由局部彎曲程度相同（常曲率）的同一類幾何對象拼接而成。幾何上根據(jù)彎曲程度的不同，有三類基本的對象：Fano簇（正曲率）, Calabi-Yau簇（平坦）和一般型簇（負曲率）。這三類幾何對象中，三角形內(nèi)角和分別大于180度、等于180度、小于180度，因此它們的幾何性質(zhì)有很大區(qū)別。
我們可以認為，曲面的雙有理分類至此就完成了。要將曲面上的方法推廣到高維，是不容易的。直到上世紀80年代，日本數(shù)學(xué)家Mori（森重文）等人系統(tǒng)地研究了三維代數(shù)簇的情形，Mori發(fā)現(xiàn)除了需要引入推廣的blow down操作外，還需引入另一個新的操作——flip。Mori提出了高維時雙有理意義下分類代數(shù)簇的方案：對一個給定的代數(shù)簇，我們必能對其進行推廣的blow down操作或flip操作，在有限次操作后，我們能得到一個幾何上的“極小模型”。這就是極小模型綱領(lǐng)，也被稱為Mori綱領(lǐng)。
極小模型綱領(lǐng)有兩大難題：flip操作的存在性以及這一操作是否在有限次后終止。三維flip的終止性是相對容易證明的。1988年，Mori證明了三維flip的存在性，也因在極小模型綱領(lǐng)上的貢獻被授予1990年的菲爾茲獎。在80年代，雙有理幾何，特別是極小模型綱領(lǐng)迅速發(fā)展，Mori獲得菲爾茲獎可看作是這一領(lǐng)域達到了一個新的高度。然而如同事物發(fā)展的盛極必衰，此后，極小模型綱領(lǐng)的發(fā)展陷入了長期的停滯。
直到2010年，Birkar與Cascini、Hacon、McKernan合作，在俄羅斯數(shù)學(xué)家Vyacheslav Shokurov之前的工作與想法的基礎(chǔ)上，證明了高維flip的存在性。目前，flip的終止性仍是極具挑戰(zhàn)的問題。
早期學(xué)術(shù)生涯
那么，Birkar是如何走上極小模型綱領(lǐng)的研究之路的？這里我想花費一些篇幅來介紹一下Birkar的早期學(xué)術(shù)生涯與他的導(dǎo)師Shokurov。
Birkar本科就讀于伊朗的德黑蘭大學(xué)，作為伊朗少數(shù)族裔的庫爾德人，常常受到政治上的壓迫。在大四時，他到英國尋求政治庇護。此后，他被諾丁漢大學(xué)錄取，他的導(dǎo)師是從事數(shù)論研究的Ivan Fesenko。然而Birkar的興趣點在代數(shù)幾何，因此他自學(xué)了雙有理幾何方向的知識，并試圖參加一些該方向的學(xué)術(shù)會議。在2002年劍橋大學(xué)舉辦的會議上，他認識了約翰霍普金斯大學(xué)的Shokurov教授。
Shokurov教授（圖源：wikipedia）
Shokurov是彼時少數(shù)仍專注于極小模型綱領(lǐng)研究，而沒有放棄的人。經(jīng)過長時間思考，他有了很多原創(chuàng)性想法。在1992年與2002年，他分別獨立完成了兩篇長達100多頁的高質(zhì)量論文，引入了很多新想法，為極小模型綱領(lǐng)的研究注入了新的活力。有專家認為，近十多年雙有理幾何的復(fù)興與他的努力有很大聯(lián)系。
Shokurov是一個淡泊名利的人，給人一種世外高人的印象。他的文章常用俄文撰寫，往往發(fā)表在不那么知名的期刊上。文章中使用的定義與記號也常與別人不同，加之獨特的行文風(fēng)格，即使是該領(lǐng)域最頂級的專家也往往很難領(lǐng)會要點。2002年劍橋大學(xué)的會議即是專家們?yōu)閲L試理解他在當(dāng)年發(fā)表的那篇“重量級”論文而舉辦的，參會人中就有Hacon、McKernan。該會議間接促成了此后BCHM這項杰出工作的誕生。
Shokurov在和Birkar交流后，便很快意識到，Birkar是一位極具天賦且能擔(dān)起復(fù)興雙有理幾何大任的年輕人。此后，Birkar赴約翰霍普金斯大學(xué)跟隨Shokurov學(xué)習(xí)雙有理幾何一學(xué)期，Shokurov也就很自然地成為了Birkar實際上的導(dǎo)師。
BAB猜想
（小賽提示：不在意細節(jié)的讀者，請直接跳過這一節(jié)）
2016年，Birkar在預(yù)印本網(wǎng)站arXiv上貼出了兩篇總共長達130多頁的論文，證明了BAB猜想，也即Fano簇的有界性。這是他本次獲獎最主要的工作。通俗地說，他證明了給定維數(shù)且曲率為正的所有代數(shù)簇可以被有限個參數(shù)表示出來，故而這類代數(shù)簇之間是有一些內(nèi)蘊聯(lián)系的。
我們用一個具體的例子來說明參數(shù)化的含義。通過原點的直線雖然有無窮多條，但它們被直線的斜率所唯一決定，因此可用斜率這個參數(shù)表示出所有這樣的直線。隨著斜率的變化，我們可將其中一條直線連續(xù)地變化為另一條。
而Birkar的工作揭示：對看似雜亂無章的Fano簇，我們可將它們分為有限組，對每一組中的Fano簇，我們可通過連續(xù)變化的方式將其中任意一個變?yōu)榱硪粋€。
2016年Birkar在arXiv上貼出的兩篇總共長達130多頁的論文（圖源：arXiv）
BAB猜想由Borisov兄弟與Alexeev于上世紀90年代初分別獨立提出，曲面的情形由Alexeev于1994年解決，此后一直未有大的進展，甚至連三維的情形都是未知的。我國青年學(xué)者江辰曾率先解決了弱化版本的三維BAB猜想。
Birkar從博士階段就開始研究BAB猜想，前后經(jīng)歷約12年。值得注意的是，他的這兩篇文章還未被雜志正式接受。他的證明建立在許多前人的工作基礎(chǔ)之上，如BCHM、Hacon-McKernan-許晨陽關(guān)于一般型代數(shù)簇有界性的系列工作、Shokurov等人關(guān)于Complement的工作，以及他本人近年來引入的Generalized pairs等工具。從技術(shù)的角度，BAB猜想的證明可看作是雙有理幾何近十多年發(fā)展達到的一個頂峰。
我眼中的Birkar
Birkar在預(yù)印本網(wǎng)站上貼出第一篇文章時，我正在美國普林斯頓大學(xué)交流訪問。我的導(dǎo)師許晨陽教授當(dāng)天就給我發(fā)了郵件，提及這篇文章。他認為這是一個很好的工作，因而引起了我的注意。
Birkar貼出第二篇文章后，我和中科院的陳亦飛副研究員以及數(shù)學(xué)中心的博士后李展等人組織了一個討論班，專門研讀他的文章，前后總共花費了約半年的時間。那時的我正值博士第四年，在學(xué)術(shù)上還未有進展，將大量時間與精力投入在讀論文而非做研究上，是有風(fēng)險的。
17年春季，Birkar組織了一個國際研討會，解讀他關(guān)于BAB猜想的證明。我有幸被他邀請為報告人，講解文章中的一節(jié)。在準(zhǔn)備報告時，我發(fā)現(xiàn)證明中的某些小步驟有更簡單的證明方式。美國數(shù)學(xué)會將就此次研討會內(nèi)容出版一本書，詳細解釋Birkar關(guān)于BAB猜想的證明。我和江辰有幸為這本書中的兩個章節(jié)撰稿，并給出部分定理的簡化證明。
在那次會議上，我和Birkar教授有了第一次近距離的接觸。我還清楚地記得，當(dāng)我問及他是否有考慮過文章中涉及田剛關(guān)于alpha不變量的一個公開問題的一般情形時，他當(dāng)著眾人的面，微笑地答道：“I left it to you.”可惜我資質(zhì)愚鈍，對于這個問題至今仍未取得任何進展。
解讀“BAB猜想”證明的會議上，作報告前，Birkar教授在介紹韓京俊（本文作者）。（圖片由作者提供）
自那以后，我和Birkar在學(xué)術(shù)會議上又有過幾次接觸。今年五月，我有幸獲得Birkar教授的邀請與導(dǎo)師資助，赴劍橋大學(xué)訪問并作學(xué)術(shù)報告。在訪問期間，我們就一些研究課題進行了較為深入的探討。他還熱情地邀請我參與他組織的足球賽，去他家聚餐等等。在那時，他其實已經(jīng)知曉了自己將獲得菲爾茲獎，但仍保有一貫的低調(diào)。寵辱不驚或許也是他的成功之道吧。
Birkar對挑戰(zhàn)那些困難問題的決心，以及面對困難時的堅持和樂觀給我留下了深刻的印象。在菲爾茲獎?wù)卤槐I，Birkar被二度授予獎?wù)潞?，他開玩笑似地說：“我想我打破了獎?wù)伦羁毂槐I的記錄，獎?wù)卤槐I的副作用是我變得更出名了，我認為現(xiàn)在知道菲爾茲獎的人數(shù)要大大多于上周。獎?wù)轮皇且环N裝飾，獎勵在任何時候都沒有被盜走。在我的生活中，我看到過許多更糟糕的事情。和這些事情相比，獎牌被盜就像一個笑話。如果我為這么小的事情沮喪，我就不可能站在今天的講臺上。”
Birkar的中國情結(jié)
Birkar是一個有中國情結(jié)的數(shù)學(xué)家。他曾多次到訪中國，去年暑假他曾訪問過北京國際數(shù)學(xué)研究中心，參加“Stability, Boundedness and Fano Varieties”國際會議并作了系列學(xué)術(shù)報告，講解BAB猜想的證明。去年底他還訪問過清華大學(xué)。
Birkar有很多來自中國的合作者，如他的師弟陳亦飛副研究員、他曾經(jīng)的博士后胡正宇博士，及他現(xiàn)在唯一在讀的博士許晏寧等。當(dāng)我問及他有何話想寄語中國讀者時，他在郵件中寫道：
I have visited China several times, many of my collaborators are Chinese, and I have close relation with both young and top Chinese mathematicians. I think Chinese mathematics is growing very very strong and the talent available is really immense.
（我曾多次到訪中國，我的很多合作者也是中國人，他們中間既有年輕的學(xué)者，也有資深的數(shù)學(xué)家。我認為中國的數(shù)學(xué)正變得非常強大，并且出現(xiàn)了大量人才。）
Caucher Birkar在北京國際數(shù)學(xué)研究中心作報告。（圖源：北京國際數(shù)學(xué)研究中心）
Birkar在學(xué)術(shù)上的工作對我博士階段的研究影響是很大的。我在博士階段完成的數(shù)篇論文或是建立在他的論文基礎(chǔ)之上，或是受到了他工作的啟發(fā)。如今，我也即將赴約翰霍普金斯大學(xué)，跟隨Shokurov繼續(xù)從事雙有理幾何特別是極小模型綱領(lǐng)的研究。前途未知，或許我們領(lǐng)域即將迎來又一個冬天，但路在腳下。希望自己能一步一個腳印，踏踏實實地走完未來的每一天。
本文的寫作過程中，得到了Caucher Birkar、陳亦飛、江辰與夏昕鳴的幫助，在此致謝。
文章頭圖及封面圖片來源：Marcos Arcoverde / ICM2018
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