淺議現(xiàn)代數(shù)學物理對數(shù)學的影響
主編的話
物理和數(shù)學有著十分深刻的聯(lián)系。物理的目的是想了解新的自然現(xiàn)象。而一個新的自然現(xiàn)象之所以新的標志，就是它連名字、連描寫它的數(shù)學符號都沒有。這就是為什么當物理學家有一個真正的新發(fā)現(xiàn)的時候，她什么都說不出來，什么都寫不出來，也無法進行計算推導。這時候，就需要引入新的數(shù)學語言來描寫新的自然現(xiàn)象。這就是數(shù)學和物理之間的深刻聯(lián)系。正因為如此，每一次物理學的重大革命，其標志都是有新的數(shù)學被引入到物理中來。
第一次物理革命是力學革命。需要描寫的新現(xiàn)象是粒子的曲線運動。當時人們認為所有物質(zhì)都是由粒子組成的。牛頓不僅要發(fā)明他在物理學上的粒子運動理論，而且還要發(fā)明微積分這一套新的數(shù)學來描寫他的粒子理論。第二次物理革命是電磁革命。麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了一種新的物質(zhì)形態(tài)——場形態(tài)物質(zhì)。這就是電磁波，也是光波。后來人們發(fā)現(xiàn)，這種場形態(tài)物質(zhì)需要用數(shù)學的纖維叢理論來描寫。第三次物理革命是廣義相對論。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了第二種場形態(tài)物質(zhì)——引力波。他需要引入數(shù)學中的黎曼幾何來描寫這一種新物質(zhì)。第四次物理革命是量子革命。這次革命揭示了，我們世界中的真實存在，既不是粒子也不是波，但又是粒子又是波。這種莫名其妙卻又真實的存在，是用數(shù)學中的線性代數(shù)來描寫的。
我們現(xiàn)在正在經(jīng)歷一場新的物理革命——第二次量子革命。這次革命中的主角是量子信息和它們的量子糾纏。這次我們所遇到的新現(xiàn)象，就是很多很多量子比特的糾纏。這種多體量子糾纏的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，正是我們既說不出來，又沒有名字的新現(xiàn)象。我們現(xiàn)在正在發(fā)展一套新的數(shù)學理論（某種形式的范疇學），來試圖描寫這種新現(xiàn)象。
這次正在進行中的物理學的新革命是非常深刻的。因為這次革命試圖用糾纏的量子信息來統(tǒng)一所有的物質(zhì)、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至，時空本身。而凝聚態(tài)物理中的拓撲序、拓撲物態(tài)，以及量子計算中的拓撲量子計算，都是多體量子糾纏的應用，也是我們發(fā)現(xiàn)多體量子糾纏的原始起點。
我們剛才用物理的眼光概括了數(shù)學和物理的關系。自牛頓以來，我們都是用分析的眼光看世界，用連續(xù)流形、連續(xù)場來描寫物理現(xiàn)象。但量子革命以來，特別是第二次量子革命以來，我們越來越意識到，我們的世界不是連續(xù)的，而是離散的。我們應該用代數(shù)的眼光看世界。連續(xù)的分析，僅僅是離散的代數(shù)的一個幻象。就像連續(xù)的流體，是許許多多一個個分子集體運動的幻象。
今天的這篇文章是從數(shù)學的角度來看數(shù)學和物理的關系，也描寫了近代數(shù)學發(fā)展的若干脈絡。有趣的是，其中也有一條脈絡正是從連續(xù)到離散、從分析到代數(shù)的脈絡。也提出了一個離散的代數(shù)是比連續(xù)的分析更本質(zhì)的觀點。這和物理學從經(jīng)典到量子的發(fā)展一一相映。
——文小剛
撰文
本文為“在線優(yōu)先”（online first）版本，最終版本稍后將刊登于《數(shù)理人文》雜志?！顿愊壬方?jīng)《數(shù)理人文》雜志（微信號：math_hmat）授權(quán)轉(zhuǎn)載。
從上個世紀80年代以來，數(shù)學物理，特別是量子場論和弦論，對數(shù)學的很多領域都產(chǎn)生了影響。這些影響不是簡簡單單地隔靴搔癢，可以輕易地被大多數(shù)數(shù)學家所忽視。筆者遇到很多年青的數(shù)學家都曾經(jīng)在某個時候（或正在）困惑：是不是需要學習一下量子力學和量子場論？當然不同的數(shù)學家對這些影響可能有完全不同的態(tài)度和反應。我們想了解的是：量子場論帶來的這個數(shù)學新潮流是一個曇花一現(xiàn)的時尚，還是一股改變數(shù)學發(fā)展進程的洪流？ 要對這個問題做全面細致的分析，免不了需要進入很多數(shù)學物理進展的具體細節(jié)，這個任務大大超過了筆者的能力。冒著主觀，片面化和簡單化的風險，本文以不進入任何具體細節(jié)的方式，試圖在哲學層面來解析這個潮流的根源和特點，以期得到以上問題的一個解答。 當然我們的真正目的并不是去解答這個“膚淺”的問題，而是了解藏在現(xiàn)象背后的深層原因，從而了解我們在歷史脈絡里的位置和時代賦予我們的機遇和使命。
數(shù)學的發(fā)展的一個原動力就是去認識我們的物理世界。比如在希臘語里“幾何”這個詞就是指測量大地的意思。反過來，對物理世界的描述和深入理解又需要數(shù)學這樣精確的語言和方法。其實從更深的層次上看，很多數(shù)學語言都是在理解自然的過程中被創(chuàng)造出來的，所以語言本身也是自然法則的一部分。
直到20世紀中葉，數(shù)學和物理這種相互依存的關系一直伴隨著數(shù)學發(fā)展的每一個重要時期。一個特別值得一提的例子是牛頓的科學革命伴隨著微積分的誕生，微積分不僅為牛頓力學，而是為整個現(xiàn)代物理學提供了一個語言體系和強大的工具。如果沒有了微積分，很難想象物理學今天會是什么樣子。而微積分在物理中的應用也成就了微積分本身的大發(fā)展。一種數(shù)學理論由于在物理中的應用而被普遍接受或被加速發(fā)展的情況屢見不鮮。除了微積分還有一個例子就是愛因斯坦的廣義相對論之于黎曼幾何。其實黎曼創(chuàng)立黎曼幾何的一個初衷就是希望能夠把很多復雜的物理現(xiàn)象看成高維的非平凡的幾何現(xiàn)象。愛因斯坦的廣義相對論可以看成黎曼這一理想的完美實現(xiàn)[1]。黎曼幾何在廣義相對論發(fā)明之后成為了數(shù)學里面的一個主流分支，在數(shù)學里大放異彩，它的一個廣為人知的應用就是解決了拓撲學里著名的龐加萊猜想。其實黎曼的原始思考不僅包括了大尺度物理空間的基本要素和特征，他還提到小尺度上的空間有可能是離散的，而且小尺度上的幾何基礎的必須要由將來的物理來決定[2]，很難想象這些思考發(fā)生在量子物理登上歷史舞臺的50年前。
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黎曼（照片來源：wiki）
另外數(shù)學和物理相互依存和難以分割的關系還表現(xiàn)在歷史上有很多大數(shù)學家，往往也同時是物理學家或自然哲學家，比如牛頓，萊布尼茨，歐拉，拉普拉斯，高斯，黎曼，龐加萊，希爾伯特，外爾，馮·諾伊曼等等。我們想強調(diào)的是數(shù)學和物理的緊密結(jié)合一直是科學發(fā)展過程中的主流形態(tài)，然而這個主流形態(tài)和我們今天所看到的大學教育里面數(shù)學和物理相對獨立的現(xiàn)狀非常不符，其原因是20世紀中葉發(fā)生了一個脫離傳統(tǒng)形態(tài)的現(xiàn)象。
20世紀中葉出現(xiàn)了一個新現(xiàn)象就是數(shù)學和物理走上了兩條相對獨立的發(fā)展道路[3]。
現(xiàn)在回頭看來大致有兩個表面原因：
量子力學的出現(xiàn)和牛頓力學的出現(xiàn)的一個顯著的不同是：它沒有帶來一個全新的“量子幾何”或“量子微積分”。所以量子力學完全缺乏幾何直觀，所有人在學習和掌握它的時候都會覺得非常困難。即使到現(xiàn)在物理學界也沒有對量子力學的基礎有一個統(tǒng)一的看法。 物理學家為了能夠繼續(xù)往前走發(fā)展了的很多不嚴格的做法，比如量子場論中的重整化技術(shù)，使得數(shù)學家望而生畏。
數(shù)學也有愈來愈形式化的趨勢，很多現(xiàn)代數(shù)學的抽象語言也讓大多數(shù)物理學家望而生厭，不知所云。另外數(shù)學的體系已經(jīng)發(fā)展到了一個如此豐富和成熟的階段，一部分數(shù)學家認為數(shù)學不需要外部的動力也可以自己持續(xù)發(fā)展。
在這一期間，雙方都沒有給對方帶來顯著的影響，不但如此數(shù)學和物理似乎都把對方視為前進的包袱，想要努力甩掉包袱，輕裝上路，尋求自己獨立發(fā)展的自由空間。
一方面，物理學家由于實驗手段的突飛猛進，很多大自然的全新結(jié)構(gòu)被揭示出來，這些嶄新的發(fā)現(xiàn)所帶來的緊迫感，使得物理學家希望擺脫嚴格性的束縛，在沒有完善的數(shù)學和哲學基石的情況下闊步前行。物理學家也因此取得了不可思議的輝煌成就，這些成就深刻地改變了物理的全貌，甚至改變了我們的生活的方方面面。
龐加萊（照片來源：wiki）
另一方面，數(shù)學家也努力地使得所謂的“純數(shù)學”成為數(shù)學的核心，而其他和應用相關的數(shù)學則被視為應用數(shù)學，甚至是含有貶義的“不純”的數(shù)學。數(shù)學成了一個完全獨立于自然科學的學科。雖然這個純數(shù)學運動從19世紀就開始了，但是到了20世紀中葉對數(shù)學純粹性的追求才真正到了頂峰。其實純數(shù)學運動是一個非常自然的訴求，她有非常底層和內(nèi)蘊的動力，對此龐加萊表述的十分恰當：
On the one side, mathematical science must reflect upon itself, and this is useful because reflecting upon itself is reflecting upon the human mind which has created it, the more so because, of all its creations, mathematics is the one for which it has borrowed least from outside. ... The more these speculations depart from the most ordinary conceptions, and, consequently, from nature and applications to natural problems, the better will they show us what the human mind can do when it is more and more withdrawn from the tranny of the exterior world; the better, consequently, will they make us know this mind itself. [4]
20世紀發(fā)展起來很多數(shù)學，特別是那些完全脫離物理應用的學科：抽象代數(shù)、代數(shù)幾何、代數(shù)拓撲、范疇學等等都可以看做是講述人類抽象思維是如何工作的研究報告。脫離了物理學的影響，數(shù)學家同樣取得了不可思議的輝煌成就。
龐加萊的思考也可以應用在物理上面，畢竟物理是一門以實驗為主導的自然科學，她內(nèi)在的驅(qū)動力并沒有對嚴格性有嚴格的要求，對一些自然現(xiàn)象的理解保持靈活的和直覺上的理解，是物理學家探索未知時不可缺少的狀態(tài)，這一特點也使得整個學科保持永恒的活力。 總而言之，從學科內(nèi)蘊的特征上看，核心數(shù)學和核心物理的分離是學科發(fā)展的必然趨勢。
不過兩大核心的自然分離并不能推出數(shù)學和物理的完全分離的結(jié)論。但是歷史的單擺總是不愿意在平衡點過多地停留，兩個核心的分離使得廣闊的中間地帶變得過度的荒蕪，隨著兩大核心的體量的增加，吸力也越來越大，荒蕪的地帶會變得更加荒蕪。時間長了不同核心地帶的居民也變得陌生起來，甚至有了敵意。
一方面，一些物理學家認為數(shù)學家不會提供任何物理學家自己做不出來的結(jié)果，認為對數(shù)學嚴格性的追求會阻礙物理的發(fā)展，甚至認為過多的數(shù)學訓練會阻礙物理直覺的培養(yǎng)。其中的代表人物是費曼，物理學家徐一鴻先生曾寫過：事實上，大統(tǒng)一理論的創(chuàng)造者，以及大部分1970年代的粒子物理學家，都十分費曼，很蔑視數(shù)學，有次費曼和我一起看秀，他告訴我數(shù)學物理那些華而不實的東西，應用到物理時根本連馬尿都不如[3]。
另一方面，一些純數(shù)學家也對應用于科學的數(shù)學產(chǎn)生了鄙夷之心。其中極具代表性的就是英國數(shù)學家哈代[5]，他認為應用數(shù)學試圖把物理真實用數(shù)學語言表達，這些數(shù)學往往膚淺且無趣；而純數(shù)學則在尋求獨立于物理世界之外的真知，具有永恒的價值。 具有諷刺意味的是，為了自圓其說，哈代認為廣義相對論和量子力學是優(yōu)美的純數(shù)學，因而無用。
數(shù)學和物理的分離是如此徹底，以至于即使在同一個人的身上她們也可能是分開的。既是物理學家又是數(shù)學家的戴森曾說，他錯過了發(fā)現(xiàn)模形式和李代數(shù)的深刻關系，是因為物理學家的戴森并不和數(shù)論學家的戴森交流。
在這一分離期間，數(shù)學物理這個名詞被限制在一個比較小的范圍內(nèi)，比如用分析的方法來研究物理中的方程，泛函分析和算子代數(shù)的方法來研究統(tǒng)計物理和場論模型，以及群表示論在物理中的應用，等等。
雖然這個分離時期，在70年代規(guī)范場論的興起和80年代弦論發(fā)展之后，就已經(jīng)徹底結(jié)束了，但是它給我們這個時代留下的“后遺癥”還廣泛地存在。
在教學上表現(xiàn)為，數(shù)學專業(yè)的學生幾乎不要求現(xiàn)代物理學（特別是量子力學，量子場論和統(tǒng)計物理）的任何知識[6]，而物理專業(yè)的學生也對現(xiàn)代數(shù)學特別是比較形式化的課題，如代數(shù)拓撲，代數(shù)幾何， 抽象代數(shù)，范疇學等缺乏基本的了解。而過去30年間數(shù)學與物理的大融合和大發(fā)展，造成了學生很難通過正規(guī)渠道來跟上這個發(fā)展，對于是不是應該提出一個針對培養(yǎng)數(shù)學物理方向上的學生的教學方案這樣的問題也沒有被提到討論的日程上來。
更嚴重的危機是數(shù)學物理的身份危機。對于很多物理學家來說，數(shù)學物理學家像是往返于數(shù)學和物理之間的商人，不過是經(jīng)常來販賣一些時髦的數(shù)學名詞，雖然有時候還可以對某些物理理論做一些美化的工作，但是對物理本質(zhì)并無核心貢獻。不少數(shù)學家也不把數(shù)學物理看成一個嚴肅的數(shù)學研究領域，因為只有那些具有明確的數(shù)學定義，陳述清晰的數(shù)學定理和完整嚴格的證明的工作才能被稱為數(shù)學，而在此發(fā)生之前的所有努力被數(shù)學家稱為物理。如果還沒有對數(shù)學有本質(zhì)的貢獻，人們確實要懷疑數(shù)學物理有無存在的必要。在求職的道路上，今天的數(shù)學物理學家不得不面對這種雙重否定的身份所帶來的尷尬。
毫無疑問，數(shù)學物理與數(shù)學和物理有不一樣的特性，這些特性是不是本質(zhì)的？是不是值得把數(shù)學物理當作一個專門的既不同于數(shù)學，也不同于物理的新學科來對待？這是一個不好回答的問題。但是我們堅信，同龐加萊所說的對數(shù)學本性的思考類似，對數(shù)學物理的本質(zhì)特性的思考和討論，對數(shù)學和物理兩方面都是有益的。
量子場論早期的發(fā)展主要是以微擾論為主要研究方法，而孕育而生的重整化的方法對數(shù)學物理的對話起到了一定的阻礙作用。但是到了70年代，量子場論的非微擾方法開始和近代數(shù)學的課題有了廣泛的接觸，特別是規(guī)范場論和纖維叢理論的完美對應，大大促進了數(shù)學家和物理學家的重新對話，它的一個直接的結(jié)果就是80年代 Donaldson 理論的發(fā)現(xiàn)和對4維拓撲的深刻影響。而這種對話更由于80年代弦論的興起而達到了全新的高度。弦論可能是目前對數(shù)學要求最高的物理理論，它所需要的數(shù)學大多是數(shù)學里面沒有的嶄新的數(shù)學，而這種新數(shù)學又與廣泛的數(shù)學領域有著深刻的聯(lián)系，例如：拓撲學，代數(shù)幾何，微分幾何，表示論，分析，數(shù)論，概率論，范疇學等等。借助于這種聯(lián)系和由量子場論帶來的獨特視角，弦論學家得到了一系列驚人的數(shù)學結(jié)果，引起了數(shù)學家的廣泛的注意。一時間以威騰（E. Witten）為代表的很多弦論學家，成了數(shù)學新潮流的領路人。從80年代到現(xiàn)在這個新潮流非但沒有出現(xiàn)任何衰退的跡象，反而有越演越烈之勢，以至于現(xiàn)在我們都不清楚什么數(shù)學領域和物理沒有關系。
威騰（照片來源：丘成桐數(shù)學科學中心）
我們經(jīng)常能夠聽到做學問不能跟風的勸告，因為很多時髦的東西確實都是曇花一現(xiàn)的時尚。那么這個新潮流能否擺脫曇花一現(xiàn)的宿命呢？ 這個問題和我們每個人要選擇做什么數(shù)學并沒有直接關系，從個人角度，選擇做什么是沒有統(tǒng)一的答案的，因為個人的喜好和選擇總是很私密的，不可一概而論。但是學科的發(fā)展和停滯也確有其歷史發(fā)展規(guī)律，不是每個學科都會同步地發(fā)展，有些學科甚至停止發(fā)展也是正常的。每一個時代都會有屬于自己這個時代的潮流，我們該做的只能是從歷史的角度來分析這個潮流的特點，從而了解我們這個時代留給我們的機遇和使命。
帶著這個疑問，我們來看看過去30年數(shù)學里面發(fā)生了那些變化。先從現(xiàn)象學的角度來看，弦論和量子場論的確對數(shù)學的方方面面產(chǎn)生了影響，其中一個最顯著的特征就是新數(shù)學結(jié)構(gòu)的大爆炸。過去30年嶄新的數(shù)學結(jié)構(gòu)被以前所未有的速度被創(chuàng)造發(fā)明出來，他們要么是直接或間接地因為量子場論而被定義出來，要么是由數(shù)學家獨立發(fā)現(xiàn)，但因其后發(fā)現(xiàn)了和物理的關系而被加速發(fā)展。這里我們舉一些例子，比如在幾何里有：Calabi-Yau manifolds，Mirror Symmetry，Gromov-Witten theory，elliptic cohomology，F(xiàn)ukaya categories，Donaldson-Thomas Invariants，non-commutative geometry，derived algebraic geometry 等等；拓撲有：Jones polynomial，Donaldson theory，Chern-Simons theory，Seiberg-Witten theory，Khovanov homology，topological field theories，operad，factorization homology 等等；代數(shù)及表示論有：chiral algebras，quantum groups，vertex operator algebras，modular tensor categories，subfactors，fusion categories，algebras in a tensor category，A-infinity (L-infinity，G-infinity，... ) algebras，geometric Langlands correspondence 等等；概率論有：Stochastic Loewner evolution，等等。甚至在數(shù)論這樣古典的領域里面，都發(fā)現(xiàn)了 Langlands 綱領和場論里面的電磁對偶的關系，模形式和拉馬努揚公式等等都在量子場論中有很多的應用。
從表面上看，量子場論的確席卷了數(shù)學的大部分領域，以至于有人認為量子場論在扮演著統(tǒng)一數(shù)學的角色。不過對更多人來說，這可能是一句沒有意義的空話，崇尚多元和自由的數(shù)學家尤其討厭這類空洞的“政治”口號。我們需要做的是離開現(xiàn)象的表面去探究導致這一現(xiàn)象的深層原因。
老子說“道法自然”，大自然是我們最佳的導師。物理學家在大自然的指導下，甚至是逼迫下，不得不研究多體（或無窮自由度）系統(tǒng)，因為物理世界的大多數(shù)問題都是多體的，比如流體，星體，材料，甚至股票市場和人類社會。多體和少體有著本質(zhì)的區(qū)別，簡單地說“More is different”[7]，而由此而誕生的物理理論：統(tǒng)計物理，量子多體理論和量子場論，可以看作是大自然（或物理學家）對數(shù)學家的饋贈。這個饋贈可以精煉出來一條很短的消息：
無窮維上存在有限維上根本看不到的數(shù)學結(jié)構(gòu)（如：量子場論，弦論）
為了能夠了解這一個簡短的信息帶來的震撼，讓我們來想想看，單憑想象力就能企及的無窮維的數(shù)學結(jié)構(gòu)是什么？是無窮維的代數(shù)（結(jié)合代數(shù)，李代數(shù)，Hopf 代數(shù)），無窮維的流形，無窮維的李群？還是無窮維的函數(shù)空間，算子空間等等？ 你會發(fā)現(xiàn)這些顯然的無窮維的結(jié)構(gòu)都是有限維概念的直接推廣， 我們在不知不覺之中陷入了一個看不見的牢籠。一個能夠打破這個牢籠的問題是：有沒有一個只在無窮維上才存在的全新的數(shù)學結(jié)構(gòu)？這是一個不平凡的問題，可以肯定的是單憑想象力很難企及這樣的結(jié)構(gòu)。而令人贊嘆的是，現(xiàn)代物理發(fā)展出來的量子場論就給出了許多這樣的無窮維的新結(jié)構(gòu)。比如任何一個不平凡的2維共形不變的量子場論（或共形場論）都是無窮維的，而有限維的2維共形場論在某種意義下都平凡的。 可以想象這樣的無窮維結(jié)構(gòu)的存在性本身就是一個非平凡的問題，所以量子場論的數(shù)學結(jié)構(gòu)的完整構(gòu)造往往是非常困難的。
先拋開構(gòu)造不談，這樣的新結(jié)構(gòu)的存在本身已經(jīng)可以解釋為什么量子場論在扮演統(tǒng)一數(shù)學的角色。當我們透過不同的有限維或無限維的窗口去觀察這個無窮維的龐然大物，我們往往會看到完全不同的數(shù)學景象。難道這就是老子所說的“大音希聲，大象無形”？舉一個我自己比較熟悉的例子：第一個被構(gòu)造出來的2維共形場論是一個頂點算子代數(shù)（一個有限維不存在的新結(jié)構(gòu)，其中自動包括結(jié)合代數(shù)和李代數(shù)等結(jié)構(gòu)）；她的配分函數(shù)是著名的 J 函數(shù)，J 函數(shù)是所有模函數(shù)的生成函數(shù)，模函數(shù)在數(shù)論里面占有重要地位；她的自同構(gòu)群是最大的有限散單群：魔群（Monster Group）；另外她還包含了48個統(tǒng)計物理模型中的 Ising 模型的某種極限。這個允許很多看似毫不相關的數(shù)學結(jié)構(gòu)在其上生長的龐然大物真的可以稱為怪物了。
今天我們看到，這些無窮維的怪物已經(jīng)在很多不同的數(shù)學領域之間建立了橋梁，為很多古老的問題帶來了全新的理解和解決方案。比如今天幾何學家也已經(jīng)熟知了有些在有限維的流形上面的問題，可以通過對無限維的 Loop Space 的研究而得到答案；而拓撲學家也經(jīng)常強調(diào)要去看無窮維的 (co)chain space 上的結(jié)構(gòu)，而不僅僅是看（上）同調(diào)。 其實真正重要的還不是解決了以前的問題，而是發(fā)現(xiàn)了一個全新的數(shù)學新大陸，在等著我們?nèi)ヌ诫U。
也正因為是研究無窮維，我們也不難理解為什么我們生活在一個數(shù)學結(jié)構(gòu)大爆炸的時代。隨著越來越多的不同角度的觀察，新的數(shù)學結(jié)構(gòu)被層出不窮地被挖掘出來，而那些剛剛發(fā)現(xiàn)的數(shù)學結(jié)構(gòu)已經(jīng)足夠的宏大和豐富，會讓人不禁感慨：似乎數(shù)學才剛剛開始。十幾年前數(shù)學家蘇利文（Dennis Sullivan）和筆者說，其實60年代已經(jīng)可以研究無窮維的拓撲學，那個時候也發(fā)現(xiàn)了一些無窮維的新數(shù)學結(jié)構(gòu)，但是當時確實缺乏思想上動力，真的要等量子場論帶來了一場思想上的革命，才能真的復興，并大行其道。
陳寅恪
所以推動這場數(shù)學的新潮流，以及數(shù)學結(jié)構(gòu)的大爆炸的幕后推手，既不是一兩項新的技術(shù)，也不是一兩個深刻的思想，而是廣袤無邊的，完全未開墾的數(shù)學新大陸。至少從數(shù)學的角度看，基于以上的分析，我們已經(jīng)有理由相信這個由量子場論而來的研究無窮維數(shù)學結(jié)構(gòu)的潮流不是一個曇花一現(xiàn)的時尚，而是一場革命性的洪流。它應該就是陳寅恪先生在《陳垣敦煌劫余錄序》中所提及的“ 此時代學術(shù)之新潮流”：
一時代之學術(shù)，必有其新材料與新問題。取用此材料，以研求問題，則為此時代學術(shù)之新潮流。冶學之士，得預于此潮流著，謂之預流（借用佛教初果之名）。其未得預者，謂之未入流。 此古今學術(shù)史之通義，非彼閉門造車之徒，所能同喻者也。
也許人類的想象力終究還是抵不過大自然的饋贈，數(shù)學在純數(shù)學化運動之后不久，就迎來了以物理學的全面入侵，數(shù)學終于又重新?lián)肀Т笞匀涣恕?br style="max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important;" />
量子場論帶來的無窮維的新數(shù)學和傳統(tǒng)的數(shù)學有什么不同的特征呢？真的有很多不同，需要很完整的分析，我們這里只想借助于無窮維的提示來給出一些簡單化，但是可能仍然有啟發(fā)的解讀。我們先來談談數(shù)學內(nèi)容以外的一些新特征，以及其對研究者的一些影響和挑戰(zhàn)。
表面上的混亂：無窮維的數(shù)學很象老子所說的大象無形，從表面上看似乎十分混亂，比如在量子場論的不同方向上的研究者似乎在用不同的數(shù)學語言，有的偏重代數(shù)，有的偏重幾何，有的偏重拓撲，有的偏重分析，有的偏重用不嚴格的物理語言，所以即使大家都在做數(shù)學物理，交流仍然是很困難的。因為這些表面上的混亂，也為初學者入行帶來了極大的困難。數(shù)學物理是不好入門的，因為第一，沒有教科書；第二，范圍太廣，幾乎涵蓋了所有數(shù)學領域，正是這樣的龐然大物，會讓初學者常常有無從下手的感覺； 第三，需要一些和別的數(shù)學學科不一樣的訓練，特別是需要一些物理的背景，而自學物理對數(shù)學家來講是非常困難的。
內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一：雖然表面上看是很混亂，但是在深處這些表面的亂象都是同一個無窮維的龐然大物的不同的側(cè)面，因而他們有內(nèi)蘊的和諧。他們在深層次上的和諧與統(tǒng)一，使得我們不應該把表面的現(xiàn)象看成混亂，而是應該看成是一種豐富的體現(xiàn)。是的，無窮維的數(shù)學的一個基本特征是表面的豐富和內(nèi)在的統(tǒng)一。只有以這樣的心態(tài)去看待數(shù)學物理，才會消除很多對表面上的混亂的抵觸心理。她的豐富多彩與和諧統(tǒng)一正是你所追慕的，所以你也要接受她表面上多變的性格，并因此而愛她。
數(shù)學物理的哲學趣味：一方面數(shù)學物理和對大自然的理解息息相關，所以數(shù)學物理的內(nèi)涵必然是包括自然哲學的。不但如此，因為和量子引力的深刻關系，現(xiàn)在的數(shù)學物理在非常基礎的層次上挑戰(zhàn)我們對宇宙幾乎所有的認知，這些新的挑戰(zhàn)使得哲學家，邏輯學家，數(shù)學家，物理學家，計算機科學家開始聚合在一起，一起來面對一場非常底層的變革。另一方面不同方向的數(shù)學物理學家要交流，必須要拋開表面的，語言的和技術(shù)上的不同，而去挖掘深層次的，哲學上的共性。只有沉的足夠的深，交流才是可能的。然而更重要的是，一個本質(zhì)特征能夠被挖掘出來，往往是因為我們先發(fā)現(xiàn)她會在不同數(shù)學語境里有類似的表現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)那些隱藏在表象背后的哲學本質(zhì)本來就是數(shù)學物理研究的最根本的目標之一。 數(shù)學家 Gelfand 說：“不要吝惜時間來思考基礎理論問題，這點很重要?！?，在我們的時代，數(shù)學家應該成為自然哲學家?！?/span>
新的語言：在這個充滿未知的領域里面，連描述未知的語言往往也是未知的。能夠描述自然法則的前提是要建立一個語言系統(tǒng)，而語言系統(tǒng)的建立本身就依賴于我們對自然法則的深刻理解，所以語言本身就是自然法則的一部分。而且語言系統(tǒng)的建立可能是我們在探索過程中最為艱難的步驟。用精確的數(shù)學語言把問題描述出來，或把核心結(jié)構(gòu)定義出來往往是最難的。 如果能做到，問題也就被解決了一大半了。
基礎知識和技術(shù)：當精確的數(shù)學語言把問題描述出來以后，往往會發(fā)現(xiàn)以前所有的數(shù)學工具都用不上，需要的是去發(fā)明全新的數(shù)學工具。雖然有的時候碰巧前人發(fā)明的數(shù)學工具可以用，但是常存這樣的僥幸心理長期來講是有害的，因為我們的目的就是去發(fā)現(xiàn)一個全新的數(shù)學世界。 所以堅固的數(shù)學基礎，廣博的數(shù)學知識和強大的技術(shù)都不是探索者必需的素質(zhì)。真正需要的是探索者的勇氣，獨立之精神和自由之思想。雖然從本質(zhì)上講，所有領域在這一點上都是一樣的，但是那些相對成熟的領域?qū)A和技術(shù)的要求還是要高很多。
年青人的舞臺：我們接著前面的特點略微展開談一下，量子場論和很多領域的數(shù)學相關，這也給剛?cè)腴T的學生帶來一些錯覺：是不是需要懂很多數(shù)學才有可能來做數(shù)學物理？其實真實的情況并非如此，除了幾個需要比較多基礎知識的領域，比如鏡對稱（Mirror Symmetry）等，更多的方向上并不需要太多的基礎知識，即使是研究鏡對稱也有很多不需要太多基礎的入手點。更重要的是量子場論要求的數(shù)學大多是全新的數(shù)學，她們還沒有被建立起來。更有甚者，學了很多數(shù)學有時候甚至是有害的，因為如果學了很多數(shù)學知識放在腦子里，我們的本能就是希望有機會讓這些數(shù)學知識能夠發(fā)揮作用，這種功利的想法反而限制了我們的想象力。因為你面對的是一個全新的數(shù)學世界，雖然建立舊世界通向新世界的橋梁也很重要，但是這種橋梁很多時候只是涉及了新世界的枝枝葉葉，而忽略了新世界有她自己內(nèi)蘊的全新的生命結(jié)構(gòu)。所以更重要的素質(zhì)是學會放下，放下數(shù)學知識帶來的包袱，用一顆自由的心去傾聽。 所以一個年青人雖然沒有很豐富的數(shù)學知識，只要能夠保持一個天真的童心和足夠地努力，就有可能做出很大的突破性的工作。 限于篇幅，只在這里點到為止，筆者會在其他文章中詳細解讀。
在數(shù)學內(nèi)容上，無窮維的數(shù)學展現(xiàn)出很多新特征和新現(xiàn)象，比如高階同倫論和高階范疇的應用，豐富的形變理論和?？臻g問題，很多神奇的對偶現(xiàn)象，等等。每一個現(xiàn)象都值得我們做深入的分析和解讀。而在這里我們僅僅簡單談談下面三個新特征。
代數(shù)方法的重要性：傳統(tǒng)物理學大廈建立在微積分的基礎上，牛頓把經(jīng)典力學問題完全化成了微分方程的問題，電動力學和廣義相對論也都建立在微分方程的基礎上，所以分析的方法在經(jīng)典的數(shù)學物理里面占有舉足輕重的地位，大多數(shù)物理學家因此相信，方程是表達宇宙的永恒規(guī)律的唯一語言，寫下以自己名字來命名的方程式大概是幾乎所有物理學家的夢想。量子力學的誕生以后，雖然方程仍然是主流語言，比如：薛定諤方程，狄拉克方程，但是代數(shù)的方法也越來越重要，特別是表示論的重要性變的顯而易見，群論和群表示論也已經(jīng)從最初的一個純數(shù)學分支變成了所有物理學家的通用語言。而且從量子力學的起源上看，海森堡從可觀測代數(shù)的角度給出的量子力學描述可能更加基本。量子場論興起以后，分析的方法在半經(jīng)典的近似下仍然有很大的作為，但是對完全量子化的場論顯得有些力不從心，其跟本原因是量子物理和牛頓的經(jīng)典時空觀念是格格不入的，而從描述量子世界的數(shù)學語言上看，微積分在本質(zhì)上就是不夠的，我們需要一個新的量子化的微積分[8]。 這里的“量子化”有兩個不同又彼此相融的意思[9]，
一是在量子物理中，可觀測量構(gòu)成一個非交換的代數(shù)（海森堡圖像）。如果和量子力學的建立一樣，我們把可觀測量看做是構(gòu)建新的微積分的出發(fā)點的話，那么代數(shù)方法將是這個新的微積分核心，法國數(shù)學家阿蘭·孔涅（Alain Connes）發(fā)展的非交換幾何是這一個思路的代表[8]；
另一個是路徑積分的，從這個角度看需要無窮維，因為路徑空間是無窮維的。從無窮維的角度看，實數(shù)就不是一把測量無窮維數(shù)學世界的好尺子。所以很多無窮維空間就沒有傳統(tǒng)意義上的取實數(shù)值的測度。這時候我們需要用無窮維的尺子來測量無窮維的世界。 在我們尋找適當?shù)臏y量無窮維的尺子的時候，尺子內(nèi)蘊的結(jié)構(gòu)變得更為重要。也許我們最終還是要建立完備的分析的方法和理論，但是這個理論必須建立在我們對無窮維相關數(shù)學的基本代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解之上，就好像實數(shù)是由有理數(shù)完備化而來，但是這個完備化依賴于有理數(shù)上面的代數(shù)結(jié)構(gòu)。所以對無窮維上面的數(shù)學結(jié)構(gòu)的理解，應該放在完備化之前[10]。
阿蘭·孔涅（照片來源：MFO）
70年代以前，物理中的代數(shù)方法主要是指群論，現(xiàn)在越來越多的代數(shù)結(jié)構(gòu)開始在量子場論的研究中大展身手，比如：無窮維李代數(shù)，A-infinity (C-，L-infinity，etc)代數(shù)，Hopf 代數(shù)，頂點算子代數(shù)，張量范疇，factorization algebra，等等。
格羅騰迪克（照片來源：wiki）
范疇學的興起：范疇學起源于代數(shù)拓撲，60年代格羅騰迪克（A. Grothendieck）將其變成了代數(shù)幾何的基礎語言，隨后其影響逐漸輻射到很多其他領域，因而成就了一股范疇論替代集合論的潮流。到了90年代這個潮流非但沒有衰減，反而有了新的強大動力：量子場論或無窮維的數(shù)學結(jié)構(gòu)。為什么無窮維的數(shù)學要用到范疇學？ 從代數(shù)上看，如果我們的尺子是實數(shù)（或復數(shù)），很多場論的問題就可以化成無窮維的線性代數(shù)問題，但是用有限維的尺子去測量無窮維是沒有效率的，而特別有效的尺子本身往往就是無窮維的，用了這樣的尺子， 很多場論的問題都可以轉(zhuǎn)化成在不平凡的張量范疇里面的代數(shù)問題。更多的時候，無窮維豐富的數(shù)學結(jié)構(gòu)會讓研究者非常迷惑，而范疇學對數(shù)學做一個巨大的統(tǒng)一，很多不同領域看似不同的數(shù)學概念，在范疇學的視角里不過是不同范疇里的同一概念。所以研究無窮維的問題的時候，范疇學變成了非常有用的語言和導向性工具。不但如此，在物理里面，沒有結(jié)構(gòu)的“存在”是不存在的，即使是“點粒子”也不是數(shù)學意義上的點而是有很多結(jié)構(gòu)，很多時候我們希望能夠在每一個“點”都帶有豐富結(jié)構(gòu)的“數(shù)域”上積分，而范疇學其實就提供了一個結(jié)構(gòu)化的微積分。另外值得一提的是量子物理在很多基本方面都暗合范疇學的基本精神。比如，量子理論把可測量提到一個最本質(zhì)的層次，可測的不是基本粒子，而是他們之間的相互作用，沒有相互作用，測量也是不可能的；而范疇學的基本精神就是認為對象之間的相互關系比對象更重要，甚至對象本身就是所有相互關系的反映[11]。
物理圖像對無窮維數(shù)學的研究有不可思議的有效性：我們熟知的一個著名問題是：為什么數(shù)學對物理有不可思議的有效性（unreasonable effectiveness）[12]？而物理圖像對無窮維數(shù)學的研究有不可思議的有效性， 這是一個全新的現(xiàn)象。 要仔細解讀這個現(xiàn)象很難，超出了本文的范疇，我們這里只想點出，本文的核心，無窮維上的新數(shù)學，給出了一個明顯的暗示。一個無窮維的數(shù)學結(jié)構(gòu)，如果單從他的生成元和她們之間的關系的角度看，非常復雜，很難有什么數(shù)學直覺。但是如果這個無窮維的數(shù)學結(jié)構(gòu)描述的是一個有無窮自由度的物理系統(tǒng)，比如一塊固體材料。我們的物理直覺，甚至就是一塊固體材料在普通視覺下效果，也已經(jīng)是做了很復雜的重整化計算的結(jié)果，即把所有微觀自由度積分積出來的結(jié)果。這一個過程從數(shù)學上看是非常不平凡的，也就是說有時候物理直覺本身就是一個不平凡的對無窮自由度的計算結(jié)果。也許這就是物理圖像對無窮維數(shù)學的研究有不可思議的有效性的一個重要原因。
另外借助這個語境，我們順便提一下，無窮維的數(shù)學世界展現(xiàn)了很多神奇的對偶現(xiàn)象，這些對偶并不是局限在數(shù)學結(jié)構(gòu)之間的同構(gòu)，可以是更弱意義下的對應，比如一些多體系統(tǒng)和場論里面的 boundary-bulk duality。這些看上去低維度的多體系統(tǒng)能夠和高維度的多體系統(tǒng)之間有對偶，其根本原因是二者本質(zhì)上都是無窮維的。甚至在無窮維的數(shù)學世界里面，一個“點”也都是無窮維的。這可能是藏在很多物理全息現(xiàn)象背后的原因。我們希望以后能回到這個話題上來。
在這篇文章里，我們簡略地分析了過去30年物理對數(shù)學產(chǎn)生了深刻影響的原因。我們希望讀者已經(jīng)從我們的分析中了解了，為什么這是一場革命性的洪流，而非曇花一現(xiàn)的時尚。我們相信探索無窮維的數(shù)學新大陸正是這個時代賦予我們的機遇和使命。
在文章的進程中我們有意地忽略了很多重要的問題，比如：我們既沒有對數(shù)學物理發(fā)展的歷史進程做任何說明，在每一個年代里面到底發(fā)生了什么？ 在不同的年代有什么特別重要的特點？ 也沒有對數(shù)學物理新進展的具體內(nèi)容做任何介紹，也沒有給出任何具體的實例來展現(xiàn)由數(shù)學物理帶來的和傳統(tǒng)數(shù)學不同的思考方式。我們認為對這些問題做細致的分析和廣泛深入的討論是非常有意義的，不過這不可避免地讓我們走入學科的細節(jié)。從數(shù)學方面介紹數(shù)學物理的中文文章不多，我們希望拋磚引玉，期待以后能夠看到很多這方面的討論。在這里我們推薦阿蒂亞（M. Atiyah）先生的《數(shù)學的統(tǒng)一性》[13]和丘成桐先生的《丘成桐談空間的內(nèi)在形狀》（簡體中文版為《大宇之形》）[14]。其實這方面的英文文章也不多，特別是和本文類似性質(zhì)的文章幾乎沒有，一個比較深入的討論見 Moore 的綜述性文章[15]。
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