雞蛋方程——麥克斯韋的非凡一念｜周末讀書
麥克斯韋（James Clerk Maxwell, 1831-1879）, 蘇格蘭數(shù)學物理學家。他第一個給出了卵形線的方程，時年僅14歲。麥克斯韋系統(tǒng)地研究過他那個時代的所有物理學分支，他的關(guān)于電磁學和氣體運動的著作至今依然被奉為經(jīng)典。麥克斯韋研究電磁現(xiàn)象，得出了著名的麥克斯韋方程組；研究光學與視覺，不僅給出了顏色的理論，還拍出了第一張彩色照片；研究氣體的運動，得出了麥克斯韋分布。
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撰文
曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
數(shù)學界有個玩笑，說把一個人從睡夢中叫醒，問他什么是龐加萊引理，回答不上來的，肯定不是微分幾何學家。類似的嚴肅玩笑也適用于物理學家。把一個人從睡夢中叫醒，讓他寫出麥克斯韋方程組。寫不出來的，算不得物理學家。一個還算像樣點的物理學家，不僅要能寫得出麥克斯韋方程組，其實也要懂得什么是龐加萊引理，因為龐加萊引理對物理學家來說可能要比對數(shù)學家意味著更多的東西。
圖1. 大學時期的麥克斯韋
麥克斯韋（James Clerk Maxwell, 1831-1879）, 蘇格蘭數(shù)學物理學家。麥克斯韋天資聰穎，少年時即英氣逼人（圖1）。他最大的成就就是把當時的關(guān)于電磁理論的結(jié)果融合進一套方程組里面，這就是著名的麥克斯韋方程組：
這套方程組到底包含多少了不起的物理內(nèi)容，物理學博士們一定要努力去了解。
首先，可把這個方程組寫成波動方式。難道電磁現(xiàn)象意味著存在電磁波？后來赫茲的實現(xiàn)證實確實可以用電路產(chǎn)生電磁波。其二，這個波動方程中給出的波速的值，和當時測量到的光的速度差不多。人們自然要問：光是電磁波？答案結(jié)果是肯定的。現(xiàn)在我們已經(jīng)確切地把光的理論建立在電磁學理論之上了。其三，這個波動方程中的波速是由電磁現(xiàn)象導出的，從來沒有提及運動參照系的問題。難道光速在所有的運動參照系里都是一樣的？ 今天我們知道，愛因斯坦相對論的一個主要論點就是光速是一個不依賴于參照系的常數(shù)。當然了，光速不僅僅是一個常數(shù)，我們還規(guī)定它是一個整數(shù)！第四點，有人把麥克斯韋方程組改寫成薛定諤方程那樣的本征值問題，這導致了光子晶體概念的產(chǎn)生。光子晶體理論讓我們理解了蝴蝶翅膀和孔雀羽毛為什么會在不同的角度看來具有不同的色彩。從麥克斯韋方程組還能挖掘出什么內(nèi)容？不知道。我要知道的話我早告訴全世界了。
喜歡爭論的讀者可能會說，麥克斯韋方程組是麥克斯韋把前人研究電磁現(xiàn)象得到的結(jié)果糅合到一起得到的，算不得什么本事。如果真是這樣的話，那還真算不得什么本事。問題是，你仔細看看方程組，前三個方程的右側(cè)都是只有一項，實際上如果只考慮電磁感應定律的話，第四個方程右側(cè)也只有前面一項。第四個方程右側(cè)的第二項，就是我們高中時學到的位移電流，是麥克斯韋純粹從數(shù)學角度考慮給加上去的。如果第四個方程右側(cè)只有前面一項的話，則對自某點發(fā)出放射狀電流的情形，這個方程數(shù)學上是無法成立的。麥克斯韋引入了位移電流這一項，這樣整個方程組在數(shù)學的意義上就變得完美了。當然，最重要的是，位移電流這個概念確實是正確的。順便說一句，麥克斯韋方程組可以寫成單一方程的形式。
麥克斯韋在構(gòu)造麥克斯韋方程組時表現(xiàn)出了非凡的數(shù)學天分。其實，麥克斯韋的數(shù)學天分在他還是一個少年時就淋漓盡致地表現(xiàn)出來了。據(jù)說，麥克斯韋小時候也被要求去學畫畫，好像學畫畫的基本功練習就是畫蛋。有一天，麥克斯韋想到：要是能給出蛋的方程的話，畫蛋可能就容易了。1845年，麥克斯韋在他十四歲時終于想明白了雞蛋方程該是什么樣子的。
圖2. 從橢圓看如何畫卵形線
麥克斯韋從橢圓出發(fā)。橢圓可以定義為到兩個點（焦點）距離之和為常數(shù)的點的集合，這個條件寫成方程就是 
。我們還可以寫得更仔細一點，
。到兩點的距離，都有同樣的倍數(shù)，為1，因此橢圓關(guān)于這兩個焦點是對稱的。如果到兩點的距離有不同的倍數(shù)，也即把方程變成
的樣子，所得的圖形是否就一頭大一頭小像個雞蛋了呢？讀者很容易看出，確實是這樣（圖2）。麥克斯韋仔細研究了到兩點距離取不同倍數(shù)所得到的卵形線的性質(zhì)。麥克斯韋的父親非常為兒子感到自豪，他把麥克斯韋的研究結(jié)果呈送給愛丁堡大學的教授Forbes，得到了高度評價。1846年，麥克斯韋關(guān)于卵形線的研究成果發(fā)表在蘇格蘭皇家科學院的院刊上，那一年他15歲。
麥克斯韋為我們留下了許多寶貴的科學遺產(chǎn)，這包括關(guān)于氣體運動的理論和關(guān)于視覺與光學的理論。前者具體地指大學物理中常提到的關(guān)于氣體分子速度的麥克斯韋-玻爾茲曼分布，后者包括他的紅綠藍三原色理論。圖3所示的照片就是根據(jù)麥克斯韋三原色理論得到的人類第一張彩色照片。此外，他還是第一個注意到物理學中量綱分析的人。
圖3. 人類的第一張彩色照片，攝于1861年。照片中的物體為一條花格子絲帶。
1879年，麥克斯韋在其創(chuàng)造的高峰期被疾病奪去了生命，年僅48歲。他用不長的一生，為后世的物理學家樹立了一座仰之彌高的豐碑。
1. James Clerk Maxwell, A treatise on electricity and magnetism, Clarendon Press (1998).
2. Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampere to Einstein, Oxford University Press (2000).
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