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如果黎曼猜想及其推廣形式被證明，所有那些數(shù)學(xué)命題就全都可以榮升為定理；

反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數(shù)學(xué)命題中起碼有一部分恐將成為陪葬。

那個(gè)難題就是“黎曼猜想”(Riemann hypothesis)。

黎曼猜想顧名思義，是由一位名叫黎曼 (Bernhard Riemann) 的數(shù)學(xué)家提出的，那位數(shù)學(xué)家于1826年出生在如今屬于德國(guó)，當(dāng)時(shí)屬于漢諾威王國(guó) (Kingdom of Hanover) 的一座名叫布列斯倫茨 (Breselenz) 的小鎮(zhèn)。1859年，黎曼被選為了柏林科學(xué)院的通信院士。 作為對(duì)這一崇高榮譽(yù)的回報(bào)，他向柏林科學(xué)院提交了一篇題為“論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的論文。 那篇只有短短八頁(yè)的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

黎曼那篇論文所研究的是一個(gè)數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期以來(lái)就很感興趣的問(wèn)題，那就是素?cái)?shù)的分布。素?cái)?shù)是像2、5、19、137 那樣除了1和自身以外不能被其它正整數(shù)整除的數(shù)。這些數(shù)在數(shù)論研究中有著極大的重要性，因?yàn)樗写笥?的正整數(shù)都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們?cè)跀?shù)論中的地位類(lèi)似于構(gòu)筑萬(wàn)物的原子在物理世界中的地位。

素?cái)?shù)的定義簡(jiǎn)單得可以在中學(xué)、甚至小學(xué)課上進(jìn)行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常， 數(shù)學(xué)家們付出了極大的心力，卻迄今未能徹底了解。黎曼那篇論文的一個(gè)重大成果，就是發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)分布的奧秘完全蘊(yùn)藏了在一個(gè)特殊的函數(shù)之中——尤其是，使那個(gè)函數(shù)取值為零的一系列特殊的點(diǎn)對(duì)素?cái)?shù)分布的細(xì)致規(guī)律有著決定性的影響。那個(gè)函數(shù)如今被稱(chēng)為黎曼 ζ 函數(shù)：ζ（s）=1^（-s）+2^（-s）+3^（-s）+......，那一系列特殊的點(diǎn)則被稱(chēng)為黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn) (下文中有時(shí)將簡(jiǎn)稱(chēng)其為零點(diǎn))。

有意思的是，黎曼那篇論文的成果雖然重大，文字卻極為簡(jiǎn)練， 甚至簡(jiǎn)練得有些過(guò)分，因?yàn)樗撕芏唷白C明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是該用來(lái)省略那些顯而易見(jiàn)的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費(fèi)了后世數(shù)學(xué)家們幾十年的努力才得以補(bǔ)全， 有些甚至直到今天仍是空白。

黎曼為什么要把那么多并非顯而易見(jiàn)的證明從略？我們無(wú)法確知，也許是因?yàn)樗鼈儗?duì)于他來(lái)說(shuō)確實(shí)是顯而易見(jiàn)的，也許是因?yàn)椴幌牖ㄌ鄷r(shí)間來(lái)撰寫(xiě)文章。但有一點(diǎn)基本可以確定，那就是他的“證明從略”絕不是類(lèi)似于調(diào)皮學(xué)生蒙混考試的做法，而且很可能也并不是把錯(cuò)誤證明當(dāng)成正確的盲目樂(lè)觀——后者在數(shù)學(xué)史上不乏先例，比如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬 (Pierre de Fermat) 在寫(xiě)下費(fèi)馬猜想時(shí)所表示的“我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)真正出色的證明，可惜頁(yè)邊太窄寫(xiě)不下來(lái)”就基本已被數(shù)學(xué)界認(rèn)定是把錯(cuò)誤證明當(dāng)成正確的盲目樂(lè)觀。因?yàn)槿藗兒髞?lái)從黎曼的手稿中發(fā)現(xiàn)他對(duì)許多論文中從略了的證明是做過(guò)扎實(shí)研究的，而且那些研究的水平之高，甚至在隔了幾十年之后被整理出來(lái)時(shí)，有時(shí)也仍具有極大的領(lǐng)先性。

但黎曼的論文在為數(shù)不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個(gè)他明確承認(rèn)自己無(wú)法證明的命題， 那個(gè)命題就是黎曼猜想。

那么，黎曼猜想究竟是一個(gè)什么猜想呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，是一個(gè)關(guān)于我們前面提到的，對(duì)素?cái)?shù)分布的細(xì)致規(guī)律有著決定性影響的黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的猜想。關(guān)于那些非平凡零點(diǎn)，容易證明的結(jié)果只有一個(gè)，那就是它們都分布在一個(gè)帶狀區(qū)域上，但黎曼認(rèn)為它們的分布要比這個(gè)容易證明的結(jié)果齊整得多，他猜測(cè)它們?nèi)嘉挥谠搸顓^(qū)域正中央的一條直線上， 這就是所謂的黎曼猜想。而這條被猜測(cè)為包含黎曼 ζ 函數(shù)所有非平凡零點(diǎn)的直線則被稱(chēng)為臨界線。

黎曼猜想自1859年“誕生”以來(lái)，已經(jīng)過(guò)了一百五十多個(gè)春秋。在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家前去攀登，卻誰(shuí)也沒(méi)能登頂。當(dāng)然，如果僅從時(shí)間上比較的話，黎曼猜想的這個(gè)紀(jì)錄跟費(fèi)馬猜想時(shí)隔三個(gè)半世紀(jì)以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個(gè)半世紀(jì)以上仍屹立不倒相比，還差得很遠(yuǎn)。 但黎曼猜想在數(shù)學(xué)上的重要性卻要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)這兩個(gè)大眾知名度更高的猜想。

有人統(tǒng)計(jì)過(guò)，在當(dāng)今數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已有超過(guò)一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想 (或其推廣形式) 的成立為前提。這意味著：如果黎曼猜想及其推廣形式被證明，所有那些數(shù)學(xué)命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數(shù)學(xué)命題中起碼有一部分恐將成為陪葬。 一個(gè)數(shù)學(xué)猜想與為數(shù)如此眾多的數(shù)學(xué)命題的命運(yùn)息息相關(guān)，是極為罕有的。

不過(guò)，數(shù)學(xué)家們攀登黎曼猜想這座巍峨山峰的努力雖迄今未能取得完全成功， 在這過(guò)程中卻也取得了一些階段性成果，好比是扎下了幾座營(yíng)寨。

這其中第一個(gè)階段性成果出現(xiàn)在黎曼猜想問(wèn)世 37 年后的 1896 年。 我們?cè)谇懊嫣岬竭^(guò)，關(guān)于黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)，容易證明的結(jié)果只有一個(gè)，那就是它們都分布在一個(gè)帶狀區(qū)域上。那個(gè)階段性成果是什么？就是將那個(gè)帶狀區(qū)域的邊界剔除掉了——也就是說(shuō)，黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)只分布在那個(gè)帶狀區(qū)域的內(nèi)部， 而不包括邊界。這個(gè)成果是由法國(guó)數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪 (Jacques Hadamard) 與比利時(shí)數(shù)學(xué)家普森 (Charles de la Vallée-Poussin) 彼此獨(dú)立地取得的。

粗看起來(lái)，這似乎是很微不足道的成果，一個(gè)帶狀區(qū)域的邊界跟它的內(nèi)部相比，從面積上講比例實(shí)際上是零。 但是別小看了這個(gè)成果， 它對(duì)于研究黎曼猜想來(lái)說(shuō)只是一小步， 對(duì)于研究另一個(gè)數(shù)學(xué)猜想來(lái)說(shuō)卻是巨大的飛躍，因?yàn)樗苯訉?dǎo)致了后者的證明。那個(gè)數(shù)學(xué)猜想如今已被稱(chēng)為素?cái)?shù)定理 (prime number theorem)，它所描述的是素?cái)?shù)的大范圍分布規(guī)律。素?cái)?shù)定理自被提出以來(lái)懸而未決已超過(guò)一百年，在當(dāng)時(shí)乃是一個(gè)比黎曼猜想更令數(shù)學(xué)界期待的東西。

在上述成果之后又隔了18年，1914年，丹麥數(shù)學(xué)家玻爾 (Harald Bohr) 與德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道 (Edmund Landau) 取得了另一個(gè)階段性成果，那就是證明了黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)傾向于 “緊密團(tuán)結(jié)” 在臨界線的周?chē)＿@個(gè)結(jié)果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)， 就是包含臨界線的無(wú)論多么窄的帶狀區(qū)域都包含了黎曼 ζ 函數(shù)的幾乎所有的非平凡零點(diǎn)。不過(guò)“緊密團(tuán)結(jié)”歸“緊密團(tuán)結(jié)”， 這一結(jié)果卻不足以證明任何一個(gè)零點(diǎn)恰好就在臨界線上，因此它距離黎曼猜想的要求仍然相差很遠(yuǎn)。

?ζ函數(shù)的絕對(duì)值

但就在那同一年，另一個(gè)階段性成果出現(xiàn)了：英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代 (Godfrey Hardy) 終于將“紅旗”插上了臨界線——他證明了黎曼 ζ 函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)位于臨界線上。

粗看起來(lái)，這似乎是一個(gè)非同小可的結(jié)果，因?yàn)槔杪?ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)總共就是無(wú)窮多個(gè)，而哈代證明了有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)位于臨界線上，從字面上看，兩者已經(jīng)一模一樣了?？上У氖牵盁o(wú)窮”乃是數(shù)學(xué)中一個(gè)很微妙的概念，同樣是無(wú)窮， 彼此卻未必是一回事，不僅未必是一回事，簡(jiǎn)直可以要差多遠(yuǎn)就差多遠(yuǎn)，甚至差無(wú)窮遠(yuǎn)！因此，為了知道哈代的結(jié)果離黎曼猜想的要求還有多遠(yuǎn)，我們需要更具體的結(jié)果。

那樣的具體結(jié)果出現(xiàn)在7年后的1921年。那一年，哈代與英國(guó)數(shù)學(xué)家李特伍德 (John Littlewood) 合作，對(duì)自己7 年前那個(gè)結(jié)果中的“無(wú)窮”做出了具體估計(jì)。那么，按照他們的具體估計(jì)，那已被證明為位于臨界線上的“無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)”跟全部非平凡零點(diǎn)相比，究竟占多大的百分比呢？答案可能沮喪得出乎讀者們的意料：百分之零！

數(shù)學(xué)家們將這個(gè)百分比推進(jìn)到一個(gè)大于零的數(shù)字是在21年后的1942年。那一年， 挪威數(shù)學(xué)家賽爾伯格 (Atle Selberg) 終于證明了這個(gè)百分比大于零。 賽爾伯格做出這項(xiàng)成果時(shí)正值第二次世界大戰(zhàn)的硝煙在歐洲各地彌漫，他所在的挪威奧斯陸大學(xué)幾乎成了一座孤島，連數(shù)學(xué)期刊都無(wú)法送達(dá)。

但賽爾伯格并不在乎，他表示 “這就像處在一座監(jiān)獄里，你與世隔絕了，但你顯然有機(jī)會(huì)把注意力集中在自己的想法上，而不會(huì)因其他人的所作所為而分心，從這個(gè)意義上講我覺(jué)得那種情形對(duì)于我的研究來(lái)說(shuō)有許多有利的方面”。賽爾伯格很好地利用了那“許多有利的方面”， 孤獨(dú)地進(jìn)行著“一個(gè)人的戰(zhàn)斗”，并最終取得了成果，他的成果是如此顯著，以至于玻爾在戰(zhàn)后曾戲稱(chēng)說(shuō)戰(zhàn)時(shí)整個(gè)歐洲的數(shù)學(xué)新聞可以歸結(jié)為一個(gè)詞，那就是：賽爾伯格。

?賽爾伯格

不過(guò)賽爾伯格雖然證明了那個(gè)百分比大于零， 卻并沒(méi)有在論文中給出具體數(shù)值。在賽爾伯格之后，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始對(duì)這一比例的具體數(shù)值進(jìn)行研究， 其中以美國(guó)數(shù)學(xué)家列文森 (Norman Levinson) 的成果最為顯著，他證明了至少有34%的零點(diǎn)位于臨界線上。 列文森取得這一成果是在1974 年，那時(shí)他已年過(guò)花甲，并且行將走到生命的盡頭 (他第二年就去世了)，卻依然頑強(qiáng)地從事著數(shù)學(xué)研究。

在列文森之后，這方面的推進(jìn)變得十分緩慢，幾位數(shù)學(xué)家費(fèi)盡九牛二虎之力也只能在百分比的第二位數(shù)字上做文章，其中包括中國(guó)數(shù)學(xué)家樓世拓與姚琦 (他們于1980年證明了至少有35% 的零點(diǎn)位于臨界線上)。 直到1989年，才有人撼動(dòng)百分比的第一位數(shù)字：美國(guó)數(shù)學(xué)家康瑞 (Brian Conrey) 證明了至少有40%的零點(diǎn)位于臨界線上。這也是這方面——并且也是整個(gè)黎曼猜想研究中——最強(qiáng)的結(jié)果之一， 這方面的努力仍在繼續(xù)。

另外值得一提的是，“黎曼猜想”這一金字招牌后來(lái)被推而廣之，用來(lái)表示一些“山寨版”和“豪華版”的猜想。那些猜想為什么能跟黎曼猜想共享招牌？因?yàn)樗鼈兏杪孪胗袠O大的相似性，比如都有一個(gè)跟黎曼 ζ 函數(shù)相類(lèi)似的函數(shù)，那個(gè)函數(shù)具有與黎曼 ζ 函數(shù)相類(lèi)似的性質(zhì)，等等。

在那些猜想中，“豪華版”黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更強(qiáng)的猜想 (即上文提到過(guò)的黎曼猜想的推廣形式)， 它們跟黎曼猜想一樣，迄今尚未得到證明 (這是顯然的，否則的話黎曼猜想作為其特例也就被證明了)。

“山寨版”黎曼猜想則是跟黎曼猜想有相似性卻互不包含的猜想，它們已全部得到了證明，而且撇開(kāi)我們所取不中聽(tīng)的綽號(hào)不論，它們的證明乃是數(shù)學(xué)上的重大成果，既催生過(guò)新數(shù)學(xué)方法的誕生，也為證明者摘取過(guò)數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)——菲爾茨獎(jiǎng) (Fields medal)。 而且，“山寨版”黎曼猜想作為唯一掛著黎曼猜想這一金字招牌卻被證明了的猜想，曾使人們對(duì)久攻不下的黎曼猜想也一度樂(lè)觀起來(lái)?？上街⒉豢偸强梢怨ビ竦?。從目前的情況來(lái)看，“山寨版”黎曼猜想就只能在“山寨”里玩玩，它們的證明雖然重要，對(duì)于解決真正的黎曼猜想?yún)s并無(wú)實(shí)質(zhì)性的啟示。

聊了這么多關(guān)于黎曼猜想的研究成果，我們稍稍換換口味，來(lái)聊一些數(shù)學(xué)家的故事吧。也許在很多人眼里，數(shù)學(xué)是一門(mén)很枯燥的學(xué)問(wèn)，數(shù)學(xué)家們則是一群性格乏味的怪人。但實(shí)際上，富有智慧的人往往是不會(huì)真正乏味的，數(shù)學(xué)家們也是如此，他們?cè)诼耦^演算的勤懇之外，也給我們留下了許多獨(dú)特的幽默。

匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞 (George Pólya) 曾經(jīng)講過(guò)一個(gè)跟黎曼猜想有關(guān)的小故事，故事的主角就是我們前面提到過(guò)的英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代與丹麥數(shù)學(xué)家玻爾。這兩位在黎曼猜想研究中作出過(guò)成果的數(shù)學(xué)家當(dāng)然都對(duì)黎曼猜想懷有濃厚的興趣。

有一段時(shí)間，哈代常常利用假期訪問(wèn)玻爾，一起討論黎曼猜想，直到假期將盡才匆匆趕回英國(guó)。結(jié)果有一次，當(dāng)哈代又必須匆匆趕回英國(guó)時(shí)，很不幸地發(fā)現(xiàn)碼頭上只剩下一條小船可以乘坐了。從丹麥到英國(guó)要跨越幾百公里寬的北海 (North Sea)，在汪洋大海中乘坐小船可不是鬧著玩的事情，弄不好就得葬身魚(yú)腹。為了旅途的平安，信奉上帝的乘客們大都忙著祈求上帝的保佑。哈代卻是一個(gè)堅(jiān)決不信上帝的人，非但不信，甚至還蓄意跟上帝作對(duì)：把向大眾證明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之一。

不過(guò)在那生死攸關(guān)的旅程面前哈代也沒(méi)閑著，他給玻爾發(fā)去了一張簡(jiǎn)短的明信片， 上面只寫(xiě)了一句話：“我已經(jīng)證明了黎曼猜想”。 哈代果真證明了黎曼猜想嗎？當(dāng)然不是。他為什么要發(fā)這么一張忽悠同事的明信片呢？當(dāng)他平安抵達(dá)英國(guó)后他向玻爾解釋了原因。他說(shuō)如果那次他所乘坐的小船果真沉沒(méi)了的話，那句話就會(huì)變得死無(wú)對(duì)證，人們就只好相信他確實(shí)證明了黎曼猜想?？墒撬郎系凼墙^不會(huì)甘心讓他這樣一個(gè)堅(jiān)決不信上帝的人獲得如此巨大的榮譽(yù)的，因此它一定不會(huì)讓小船沉沒(méi)的。

哈代憑借自己的幽默成為了故事主角，有些數(shù)學(xué)家則是因?yàn)槠渌麛?shù)學(xué)家的幽默而被動(dòng)地成為了故事主角，我們前面提到過(guò)的法國(guó)數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪與比利時(shí)數(shù)學(xué)家普森就是如此。這兩人成為主角的原因大家恐怕是猜不到的，那是因?yàn)樗麄兊拈L(zhǎng)壽：哈達(dá)瑪享年98歲，普森活到 96歲。這兩個(gè)令人眼紅的歲數(shù)不知從何時(shí)起引發(fā)了一個(gè)傳說(shuō)，那就是：誰(shuí)要是能證明黎曼猜想，他就能不朽——不是抽象意義上的不朽（那是毫無(wú)疑問(wèn)的），而是實(shí)際意義上的不朽 （即長(zhǎng)生不老）！

不過(guò)這個(gè)傳說(shuō)的炮制者看來(lái)是沒(méi)有關(guān)懷到玻爾和蘭道，他們的研究成果可比哈達(dá)瑪和普森的成果強(qiáng)多了，照說(shuō)起碼也該混個(gè)百歲老人當(dāng)當(dāng)吧。結(jié)果呢？蘭道只活了61歲，玻爾稍勝一籌，也只有63歲?？赡苁且庾R(shí)到這個(gè)傳說(shuō)漏洞太大，出生于波蘭的數(shù)學(xué)家歐德里茲科 (Andrew Odlyzko) 把幽默指向了另一個(gè)方向，提出了一個(gè)完全相反的說(shuō)法，那就是：誰(shuí)要是否證了黎曼猜想，他就會(huì)立刻死去！歐德里茲科甚至開(kāi)玩笑說(shuō)其實(shí)黎曼猜想已經(jīng)被否證了，只不過(guò)那個(gè)否證了黎曼猜想的倒霉蛋沒(méi)來(lái)得及發(fā)表論文就死去了。

當(dāng)然，這些都只能作為飯后茶余的談資而不宜較真。不過(guò)，一個(gè)極度艱深的東西對(duì)投入得過(guò)于深入的人產(chǎn)生健康方面的影響，倒并不是毫無(wú)可能的。數(shù)學(xué)界也確實(shí)有人猜測(cè)，黎曼猜想的極度艱深有可能對(duì)個(gè)別數(shù)學(xué)家的健康產(chǎn)生過(guò)影響。比如流行傳記《美麗心靈》的主角、美國(guó)數(shù)學(xué)家納什 (John Nash) 曾在20世紀(jì)50年代后期研究過(guò)黎曼猜想，在那之后不久就患上了精神分裂癥。納什患病的原因一般認(rèn)為是參與軍方工作引致的心理壓力，但也有人認(rèn)為他貿(mào)然去啃黎曼猜想那樣的堅(jiān)果，對(duì)其病癥發(fā)展有可能起到過(guò)推波助瀾的作用。

黎曼猜想可以說(shuō)是當(dāng)今數(shù)學(xué)界最重要、并且是數(shù)學(xué)家們最期待解決的數(shù)學(xué)猜想。美國(guó)數(shù)學(xué)家蒙哥馬利 (Hugh Montgomery) 曾經(jīng)表示，如果有魔鬼答應(yīng)讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來(lái)?yè)Q取一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明，多數(shù)數(shù)學(xué)家想要換取的將會(huì)是黎曼猜想的證明。在探索黎曼猜想的過(guò)程中，很多數(shù)學(xué)家曾經(jīng)滿(mǎn)懷信心，漸漸地卻被它的艱深所震動(dòng)，態(tài)度轉(zhuǎn)為了悲觀。

我們前面提到過(guò)的李特伍德就是一個(gè)例子，當(dāng)他還是學(xué)生的時(shí)候，他的導(dǎo)師就隨手把黎曼 ζ 函數(shù)寫(xiě)給了他，讓他利用暑假時(shí)間研究其零點(diǎn)位置。初出茅廬的李特伍德也不當(dāng)回事地領(lǐng)命而去。后來(lái)他與哈代倒也果真在這方面做出了成果。但漸漸地，他的態(tài)度發(fā)生了變化，甚至表示：“假如我們能夠堅(jiān)定地相信這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的，日子會(huì)過(guò)得更舒適些”。

曾經(jīng)在“山寨版”黎曼猜想研究上做出過(guò)成果的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋伊 (André Weil) 也有過(guò)類(lèi)似的態(tài)度轉(zhuǎn)變。當(dāng)他在 “山寨版” 黎曼猜想研究上做出成果時(shí)，曾經(jīng)與一些其他人一樣對(duì)解決黎曼猜想燃起了信心，還表示如果自己證明了黎曼猜想，會(huì)故意推遲到猜想提出100周年 (即1959年) 時(shí)才公布——言下之意，自己不遲于1959年就有可能解決黎曼猜想。不過(guò)，歲月漸漸磨去了他的樂(lè)觀，他晚年時(shí)曾對(duì)一位友人承認(rèn)，自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解決。

就連本文開(kāi)頭提到的那位德國(guó)數(shù)學(xué)大師希爾伯特，他對(duì)黎曼猜想的看法也經(jīng)歷了從樂(lè)觀到悲觀的轉(zhuǎn)變。在1919年的一次演講中，希爾伯特曾表示自己有望見(jiàn)到黎曼猜想的解決，但后來(lái)他的態(tài)度顯著地轉(zhuǎn)為了悲觀。據(jù)說(shuō)有人曾經(jīng)問(wèn)他：如果他能在500年后重返人間，他最想問(wèn)的問(wèn)題是什么？他回答說(shuō)是：是否已經(jīng)有人解決了黎曼猜想？

?希爾伯特

接下來(lái)，我們將介紹人們從另一個(gè)方向探索黎曼猜想的故事，我們將會(huì)看到，那里不僅也有故事，而且還有一些非常出人意料的東西。

黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名論文除了有許多“證明從略”的地方外，還有一個(gè)很突出的特點(diǎn)，那就是它雖然反復(fù)涉及了黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)，甚至還提出了與零點(diǎn)分布有關(guān)的一系列命題（包括大名鼎鼎的黎曼猜想），卻沒(méi)有舉出哪怕一個(gè)具體的例子——即沒(méi)有給出哪怕一個(gè)零點(diǎn)的數(shù)值。而且與那些“證明從略”的地方并非容易證明同樣要命的是，黎曼不曾給出的那些零點(diǎn)的數(shù)值也并非輕易就能計(jì)算得了的。

事實(shí)上，直到黎曼那篇論文發(fā)表44年后的1903年，才有人填補(bǔ)了這方面的空白：丹麥數(shù)學(xué)家格蘭姆 (G?rgen Gram) 計(jì)算出了15個(gè)零點(diǎn)的數(shù)值。這是人們首次窺視到黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)的具體存在。 當(dāng)然，那15個(gè)零點(diǎn)全都位于黎曼猜想所預(yù)言的臨界線上。

與我們?cè)诘诙?jié)中介紹的理論研究中的層層推進(jìn)基本平行，數(shù)學(xué)家們計(jì)算零點(diǎn)的漫長(zhǎng)征途，也呈現(xiàn)出了層層推進(jìn)的態(tài)勢(shì)。但這推進(jìn)過(guò)程在起初一段時(shí)間里卻顯得極為緩慢，直到1925年，才計(jì)算出了區(qū)區(qū)138個(gè)零點(diǎn)，而且在那之后陷入了停頓。為什么會(huì)陷入停頓？原因很簡(jiǎn)單，就是當(dāng)時(shí)計(jì)算零點(diǎn)的方法比較笨拙，致使計(jì)算量過(guò)于巨大。而當(dāng)時(shí)的計(jì)算又全靠手工，零點(diǎn)數(shù)目一多，計(jì)算量就大到了令人難以應(yīng)付的程度。

既然是計(jì)算方法的笨拙使計(jì)算陷入了停頓，那么很顯然地，計(jì)算的重新啟動(dòng)需要有新的計(jì)算方法。這新的計(jì)算方法在7年后的1932年終于“出土”了——我沒(méi)有寫(xiě)錯(cuò)，確實(shí)是“出土”，因?yàn)樗菑脑缫讶ナ懒说睦杪氖指逯小巴凇背鰜?lái)的！

黎曼那個(gè)時(shí)代的一些著名數(shù)學(xué)家有一個(gè)今天的數(shù)學(xué)家們很少效仿、今天的讀者很難理解的特點(diǎn)，那就是常常不發(fā)表自己的研究成果。由于這個(gè)特點(diǎn)，那些數(shù)學(xué)家的手稿有著比普通名人用品所具有的單純的獵奇價(jià)值重要得多的意義，因?yàn)閺闹杏锌赡馨l(fā)現(xiàn)一些他們未曾發(fā)表過(guò)的研究成果。黎曼的手稿就是如此。

不過(guò)令人惋惜的是，黎曼的手稿在他去世后有很大一部分被他的管家付之了一炬，只有一小部分被他妻子搶救了出來(lái)。在劫后余生的手稿中，又有一部分被他妻子以涉及私人信息為由“克扣”掉了（其中包括許多幾乎通篇都是數(shù)學(xué)，只夾帶了極少量私人信息的手稿），剩下的才是后人真正可以查閱的。那些可供查閱的手稿被收錄于哥廷根大學(xué)的圖書(shū)館。

?黎曼論文手稿

不過(guò)，那部分手稿雖然可供查閱，但只要想想黎曼公開(kāi)發(fā)表的文章尚且如此艱深，動(dòng)輒花費(fèi)后世數(shù)學(xué)家?guī)资甑臅r(shí)間才能填補(bǔ)空白，就不難想象研讀他的手稿會(huì)是什么感覺(jué)了。黎曼的研究領(lǐng)域極為寬廣，手稿中常常諸般論題混雜，而且?guī)缀鯖](méi)有半句說(shuō)明。自黎曼的手稿被存放于哥廷根大學(xué)圖書(shū)館以來(lái)，陸續(xù)有一些數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)史學(xué)家慕名前去研究，但在那極度的艱深晦澀面前，大都滿(mǎn)懷希望而來(lái)，卻兩手空空而去。黎曼的手稿就像一本高明的密碼本，牢牢守護(hù)著這位偉大數(shù)學(xué)家的思維奧秘。

但到了1932年，終于有一位數(shù)學(xué)家從黎曼的手稿中獲得了重大發(fā)現(xiàn)——發(fā)現(xiàn)黎曼不僅親自計(jì)算過(guò)若干個(gè)零點(diǎn)的數(shù)值，而且還有自己獨(dú)特的、直到“出土”之日仍遙遙領(lǐng)先于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的計(jì)算方法。這一發(fā)現(xiàn)為黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)的計(jì)算帶來(lái)了脫胎換骨般的變化，讓停滯在第138個(gè)零點(diǎn)上的計(jì)算重新啟動(dòng)。

當(dāng)然，這一發(fā)現(xiàn)也進(jìn)一步提高了黎曼那原本就已極為崇高的聲望，在很大程度上驅(qū)散了一些數(shù)學(xué)家對(duì)黎曼論文中那些“證明從略”部分的懷疑。因?yàn)樗砻骼杪瞧叨群?jiǎn)練的論文只是冰山的尖頂，在那下面有著大量扎實(shí)的研究。那么， 發(fā)現(xiàn)這一切的人是誰(shuí)？是黎曼的一位同胞：德國(guó)數(shù)學(xué)家西格爾 (Carl Ludwig Siegel)。為了從天書(shū)般的黎曼手稿中“出土”公式，西格爾付出了艱辛的努力。為了表彰他的努力，人們將這一計(jì)算黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)的新方法稱(chēng)為了黎曼-西格爾公式 (Riemann–Siegel formula)。

黎曼-西格爾公式的“出土”大大推進(jìn)了零點(diǎn)計(jì)算。在短短幾年間，數(shù)學(xué)家們就把零點(diǎn)計(jì)算推進(jìn)了一個(gè)數(shù)量級(jí)，達(dá)到了1000個(gè)以上的零點(diǎn)。雖然隨后爆發(fā)的第二次世界大戰(zhàn)中斷了零點(diǎn)計(jì)算，但戰(zhàn)后計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，又使得零點(diǎn)計(jì)算呈現(xiàn)出了井噴勢(shì)頭：從1956年到1969年的十幾年間，被計(jì)算出的零點(diǎn)數(shù)目又推進(jìn)了好幾個(gè)數(shù)量級(jí)，從25,000個(gè)推進(jìn)到了3,500,000 （350萬(wàn)）個(gè)。當(dāng)然，所有這些零點(diǎn)也都無(wú)一例外地位于黎曼猜想所預(yù)言的臨界線上。說(shuō)到這里順便提醒讀者一下，我們這里及下文所說(shuō)的零點(diǎn)計(jì)算除早期那些小規(guī)模的計(jì)算外，大都只是驗(yàn)證零點(diǎn)是否在臨界線上，而并不計(jì)算它們的具體數(shù)值。

驗(yàn)證了350萬(wàn)個(gè)零點(diǎn)全部位于臨界線上，無(wú)疑大大增強(qiáng)了數(shù)學(xué)家們對(duì)黎曼猜想的信心。不過(guò)，不相信的也還是大有人在。比如德國(guó)普朗克數(shù)學(xué)研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的一位名叫查基爾 (Don Zagier) 的數(shù)學(xué)家對(duì)這種驗(yàn)證就不以為然。

在他看來(lái)，區(qū)區(qū) 350萬(wàn)個(gè)零點(diǎn)根本不說(shuō)明問(wèn)題。他的這種不以為然很快遇到了對(duì)手：一位對(duì)黎曼猜想深信不疑的鐵桿“粉絲”。這位“粉絲”名叫蓬皮埃利 (Enrico Bombieri)，是著名的意大利數(shù)學(xué)家。兩人一個(gè)疑心重重、一個(gè)深信不疑，誰(shuí)也不服誰(shuí)。怎么辦？查基爾提議打賭。

說(shuō)起來(lái)，其實(shí)查基爾對(duì)黎曼猜想倒也并非全然不信，而且也并非一味輕視對(duì)零點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算，他只是覺(jué)得350萬(wàn)個(gè)零點(diǎn)實(shí)在太少了，不足以讓他信服。那么， 要計(jì)算多少個(gè)零點(diǎn)才能讓他信服呢？他開(kāi)出的數(shù)目是3億。于是兩人就以這個(gè)數(shù)目為限訂下了賭約：如果黎曼猜想在前3億個(gè)零點(diǎn)中出現(xiàn)反例，就算查基爾獲勝；反之，如果黎曼猜想被證明，或者雖然沒(méi)被證明，但在前3億個(gè)零點(diǎn)中沒(méi)有出現(xiàn)反例，則算蓬皮埃利獲勝。賭注為兩瓶葡萄酒。

初看起來(lái)，相對(duì)于已經(jīng)計(jì)算出的350萬(wàn)個(gè)零點(diǎn)來(lái)說(shuō)，查基爾的3億個(gè)零點(diǎn)簡(jiǎn)直就是“獅子大開(kāi)口”，查基爾自己也估計(jì)這個(gè)賭局也許要花上30 年的時(shí)間才能分出勝負(fù)?？墒撬@然跟那個(gè)時(shí)代的多數(shù)其他人一樣，大大低估了計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展速度。事實(shí)上，離賭局的設(shè)立還不到10年，1979年，零點(diǎn)計(jì)算就被推進(jìn)到了8,100萬(wàn)個(gè)。不久之后，又被推進(jìn)到了兩億個(gè)，距離賭局的終結(jié)只剩下了一步之遙，而形勢(shì)則對(duì)查基爾極為不利——因?yàn)槟莾蓛|個(gè)零點(diǎn)全都位于臨界線上。

不過(guò)，計(jì)算出那兩億個(gè)零點(diǎn)的數(shù)學(xué)家對(duì)查基爾的賭局一無(wú)所知，在計(jì)算完兩億個(gè)零點(diǎn)后就停了下來(lái)，這一點(diǎn)讓查基爾大大地松了一口氣。可惜，他這口氣沒(méi)能松太久，因?yàn)樗囊晃慌笥亚『迷L問(wèn)了那位數(shù)學(xué)家，不僅將賭局之事告訴了后者，還進(jìn)行了一番鼓動(dòng)。后者一聽(tīng)零點(diǎn)計(jì)算還有這么重大的意義，就立刻展開(kāi)了新的計(jì)算，一鼓作氣推進(jìn)到了3億個(gè)零點(diǎn)——當(dāng)然，黎曼猜想巋然不動(dòng)。

查基爾輸了，他兌現(xiàn)諾言買(mǎi)來(lái)了兩瓶葡萄酒。蓬皮埃利當(dāng)場(chǎng)打開(kāi)其中一瓶與他共飲。他們喝掉的這瓶葡萄酒用查基爾的話說(shuō)，是世界上被喝掉的最昂貴的葡萄酒，因?yàn)檎菫榱艘运鼮橘€注的那個(gè)賭局，數(shù)學(xué)家們特意多計(jì)算了一億個(gè)零點(diǎn)，為此花費(fèi)了約70萬(wàn)美元的計(jì)算經(jīng)費(fèi)。也就是說(shuō)，被他們喝掉的這瓶葡萄酒是用35萬(wàn)美元的經(jīng)費(fèi)換來(lái)的！喝完了這瓶葡萄酒，查基爾從此也對(duì)黎曼猜想深信不疑了。

?黎曼墓碑

在查基爾和蓬皮埃利的賭局之后，像查基爾那樣看重零點(diǎn)計(jì)算、以此決定自己對(duì)黎曼猜想信任度的數(shù)學(xué)家越來(lái)越少了；像驗(yàn)證3 億個(gè)零點(diǎn)那樣愿意把巨額經(jīng)費(fèi)投入到零點(diǎn)計(jì)算中的人也越來(lái)越少了。不過(guò)對(duì)零點(diǎn)的計(jì)算并沒(méi)有就此終止。

2001年，一位名叫魏德涅夫斯基 (Sebastian Wedeniwski) 的德國(guó)研究者創(chuàng)立了一種嶄新的計(jì)算模式：分布式計(jì)算，即利用彼此聯(lián)網(wǎng)的許多臺(tái)計(jì)算機(jī)來(lái)共同計(jì)算零點(diǎn)。這個(gè)分布式計(jì)算系統(tǒng)建成之后，不久就被推向了互聯(lián)網(wǎng)，吸引了世界各地大量數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)愛(ài)好者的參與，聯(lián)網(wǎng)計(jì)算機(jī)的數(shù)目很快就穩(wěn)定在了10,000 臺(tái)以上，每天計(jì)算出的零點(diǎn)數(shù)目在10億以上。至于經(jīng)費(fèi)，則基本可以忽略不計(jì)，因?yàn)閰⑴c者都是自愿而無(wú)償?shù)刎暙I(xiàn)出自己的計(jì)算資源的。

到了2004年末時(shí)，魏德涅夫斯基的分布式計(jì)算系統(tǒng)所計(jì)算出的零點(diǎn)總數(shù)逼近了一個(gè)激動(dòng)人心的數(shù)目：一萬(wàn)億。眼看著一次輝煌慶典已指日可待，不料卻從法國(guó)傳來(lái)了一個(gè)令人吃驚的消息：兩位法國(guó)人完成了對(duì)10萬(wàn)億個(gè)零點(diǎn)的計(jì)算，比他們翹首期待的一萬(wàn)億高出了整整一個(gè)數(shù)量級(jí)！更令人吃驚的是，這兩位法國(guó)人完成這一工作所用的計(jì)算資源居然只是幾臺(tái)普通的計(jì)算機(jī)，所花費(fèi)的時(shí)間也只有一年多。

此時(shí)此刻，這樣的一則消息對(duì)于魏德涅夫斯基來(lái)說(shuō)無(wú)疑是當(dāng)頭一棒，結(jié)果慶典變成了謝幕，魏德涅夫斯基在不久之后關(guān)閉了整個(gè)系統(tǒng)。此情此景，猶如九十多年前英國(guó)探險(xiǎn)家斯科特 (Robert Falcon Scott) 挺進(jìn)南極的經(jīng)歷：當(dāng)他們歷經(jīng)艱辛、即將抵達(dá)南極點(diǎn)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)挪威探險(xiǎn)家阿蒙森 (Roald Amundsen) 已經(jīng)捷足先登 （斯科特及同伴后來(lái)在黯然返回的途中全部遇難）。

兩位法國(guó)人憑借幾臺(tái)普通計(jì)算機(jī)一年多的工作，居然超過(guò)了全世界上萬(wàn)臺(tái)聯(lián)網(wǎng)計(jì)算機(jī)幾年的工作，而且超過(guò)了整整一個(gè)數(shù)量級(jí)，這是什么緣故？因?yàn)樗麄儾捎昧艘环N比黎曼-西格爾公式更高明的計(jì)算方法。這一計(jì)算方法是出生于波蘭的數(shù)學(xué)家歐德里茲科 (Andrew Odlyzko) 與合作者肖恩哈格 (Arnold Sch?nhage) 于1988年提出來(lái)的。

歐德里茲科為什么會(huì)研究零點(diǎn)計(jì)算的算法？這也牽扯到一段故事，而且是很有意思的故事。當(dāng)然，表面上的原因是跟所有其它從事零點(diǎn)計(jì)算的人一樣的，那就是因?yàn)樗麑?duì)零點(diǎn)計(jì)算很感興趣。不過(guò)，他那興趣的由來(lái)跟其他人有所不同，其他人的興趣大都來(lái)自于對(duì)黎曼猜想本身的興趣，他卻是因?yàn)槁?tīng)了美國(guó)數(shù)學(xué)家蒙哥馬利 (Hugh Montgomery) 的一個(gè)并非直接針對(duì)黎曼猜想的研究報(bào)告，才從事零點(diǎn)計(jì)算，并研究零點(diǎn)計(jì)算的算法的。

蒙哥馬利那個(gè)報(bào)告所介紹的是一項(xiàng)很獨(dú)特的研究，即研究黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律。他的研究表明，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)——其中包括假設(shè)黎曼猜想成立——下，可以證明黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)在臨界線上的分布呈現(xiàn)出一種相互排斥的趨勢(shì)（即傾向于彼此遠(yuǎn)離），這個(gè)趨勢(shì)可以用一個(gè)不太復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式來(lái)描述。

蒙哥馬利自20世紀(jì)70年代初就開(kāi)始研究黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律了。他發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，并且因?yàn)槟且?guī)律不太復(fù)雜而直覺(jué)地感到在其背后應(yīng)該蘊(yùn)含著某種玄機(jī)。為了揭開(kāi)那玄機(jī)，他特意訪問(wèn)了普林斯頓高等研究院。在那里，他“覲見(jiàn)”了黎曼猜想研究的元老賽爾伯格?？上Ь瓦B賽爾伯格也看不透那規(guī)律背后的玄機(jī)。

不過(guò)，在高等研究院那樣一個(gè)名家云集的地方，隨時(shí)都有可能出現(xiàn)意想不到的學(xué)術(shù)交流。 蒙哥馬利在最有希望得到信息的賽爾伯格那里不曾得到有價(jià)值的信息，卻在高等研究院的茶室里偶遇了一位物理學(xué)家。那位物理學(xué)家名叫戴森 (Freeman Dyson)，是一位研究領(lǐng)域很寬廣的人物，當(dāng)他在和蒙哥馬利的攀談中獲知后者所發(fā)現(xiàn)的這個(gè)零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律時(shí)，登時(shí)就吃了一驚。因?yàn)樗肫鹆俗约菏嗄昵暗囊幌盗醒芯?。那些研究跟黎?ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)沒(méi)有半點(diǎn)關(guān)系，但在那些研究中，他卻得到過(guò)同樣的分布規(guī)律！

戴森十多年前所研究的是什么？是從一些極為復(fù)雜的物理體系——比如復(fù)雜原子核——中抽象出來(lái)的問(wèn)題。處理那種問(wèn)題所用的是一類(lèi)特殊的統(tǒng)計(jì)物理手段，而其中一個(gè)典型的課題則是研究復(fù)雜體系中能量的分布——物理學(xué)家們稱(chēng)之為能級(jí)分布。戴森曾經(jīng)得到過(guò)那種分布的具體形式，它除了可以描述能級(jí)外，還出現(xiàn)在了許多其它復(fù)雜的物理現(xiàn)象中。而現(xiàn)在，從蒙哥馬利所從事的純數(shù)學(xué)研究中，他居然再次見(jiàn)到了同樣的分布，這實(shí)在是大大出乎他意料的事情。

幾年之后，蒙哥馬利再次來(lái)到普林斯頓，并作了一次研究報(bào)告——即歐德里茲科所聽(tīng)到的報(bào)告。在報(bào)告中，他除了介紹自己的研究外，還提到了他和戴森所發(fā)現(xiàn)的這種數(shù)學(xué)與物理之間的奇怪聯(lián)系。

這一切引起了歐德里茲科的濃厚興趣，使他決定通過(guò)大規(guī)模零點(diǎn)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證蒙哥馬利所發(fā)現(xiàn)的零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律。從20世紀(jì)80年代末到90年代初，歐德里茲科利用他和合作者肖恩哈格所提出的新算法，完成了幾批大規(guī)模的零點(diǎn)計(jì)算，結(jié)果非常漂亮地證實(shí)了蒙哥馬利所提出的零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律。考慮到蒙哥馬利的結(jié)果是在假設(shè)黎曼猜想成立的基礎(chǔ)上得到的，因此這種證實(shí)也可以在一定程度上被視為是對(duì)黎曼猜想的間接支持。

不過(guò)，所有這些都沒(méi)有解決一個(gè)最根本的問(wèn)題，那就是像黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)在臨界線上的分布這樣最純粹的數(shù)學(xué)性質(zhì)，為什么會(huì)跟像復(fù)雜原子核的能級(jí)分布那樣最現(xiàn)實(shí)的物理現(xiàn)象扯上關(guān)系？這種神奇的關(guān)聯(lián)本身又預(yù)示著什么呢？這兩個(gè)問(wèn)題直到今天也沒(méi)有完全的答案。

但有意思的是，在半個(gè)多世紀(jì)前，卻有兩位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)提出過(guò)一個(gè)猜想——一個(gè)與蒙哥馬利、戴森、歐德里茲科所發(fā)現(xiàn)并證實(shí)的這種數(shù)學(xué)與物理間近乎離奇的聯(lián)系遙相呼應(yīng)的猜想。那兩位數(shù)學(xué)家的名字我們?cè)谇拔闹性?jīng)提到過(guò)，一位是希爾伯特，一位是波利亞，那個(gè)猜想則被稱(chēng)為希爾伯特-波利亞猜想，它是對(duì)黎曼 ζ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)分布的猜測(cè)，其中赫然包括了猜測(cè)它們與某個(gè)物理體系的能級(jí)相對(duì)應(yīng)的可能性！

不過(guò)這個(gè)希爾伯特-波利亞猜想本身也頗有一些離奇的地方，因?yàn)楫?dāng)人們因蒙哥馬利、戴森、歐德里茲科的研究而對(duì)它發(fā)生興趣，試圖追溯它的起源時(shí)，卻驚訝地發(fā)現(xiàn)無(wú)論希爾伯特還是波利亞，居然都不曾在任何文字之中述及過(guò)這個(gè)猜想。難道這個(gè)猜想根本就是子虛烏有的傳說(shuō)？幸運(yùn)的是，94 歲高齡的當(dāng)事人波利亞那時(shí)仍健在，他在一封信件中以個(gè)人回憶的方式肯定了這一猜想的存在性。 但早已去世的希爾伯特在什么場(chǎng)合下提出過(guò)這一猜想，卻很可能將成為數(shù)學(xué)史上一個(gè)永久的謎團(tuán)了。

介紹了這許多有關(guān)黎曼猜想的研究，有一個(gè)問(wèn)題想必很多讀者都會(huì)關(guān)心，那就是黎曼猜想的終極命運(yùn)將會(huì)如何？它是會(huì)被證明呢？還是會(huì)被推翻 （否證） ？對(duì)于這個(gè)有關(guān)黎曼猜想“前途命運(yùn)”的大懸念，數(shù)學(xué)家們各有各的看法。

有些數(shù)學(xué)家相信黎曼猜想是對(duì)的，比如那位輸?shù)袅似咸丫频牟榛鶢栕再€局告負(fù)之后就對(duì)黎曼猜想深信不疑。他相信黎曼猜想的理由很“純樸”，那就是數(shù)值證據(jù)已經(jīng)夠強(qiáng)了。讀者們想必還記得，他當(dāng)時(shí)要求的數(shù)值證據(jù)是3億個(gè)零點(diǎn)，現(xiàn)在的證據(jù)已經(jīng)超過(guò)了10萬(wàn)億，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他的要求。因此，他的相信是有理由的。

不過(guò)，由于零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，實(shí)際上再多的數(shù)值證據(jù)也是微不足道的。而且在數(shù)學(xué)上有過(guò)這樣的例子，一個(gè)被否證了的數(shù)學(xué)命題的數(shù)值反例出現(xiàn)在極遙遠(yuǎn)的地方，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)值證據(jù)所能觸及的范圍。黎曼猜想會(huì)不會(huì)也是如此呢？誰(shuí)也說(shuō)不準(zhǔn)。當(dāng)然，支持黎曼猜想的證據(jù)不僅僅來(lái)自數(shù)值計(jì)算，還有我們介紹過(guò)的大量其它研究，其中包括至少有40%的非平凡零點(diǎn)位于臨界線上那樣頗為可觀的結(jié)果。相信黎曼猜想的數(shù)學(xué)家們也可以從那些方面獲得信心。

有些數(shù)學(xué)家則認(rèn)為黎曼猜想是錯(cuò)的。面對(duì)黎曼猜想所得到的如此海量的支持，選擇那樣的立場(chǎng)當(dāng)然是要理由的。這其中一條打不倒的理由就是：所有支持都不是證明。確實(shí)，對(duì)于像黎曼猜想這樣的數(shù)學(xué)命題來(lái)說(shuō)，要想證明它成立，必須“一個(gè)都不能少”地涵蓋所有的零點(diǎn)，缺一丁點(diǎn)兒都不行。但反過(guò)來(lái)，要想推翻它，卻只要找到一個(gè)反例——即一個(gè)不在臨界線上的非平凡零點(diǎn)——就足夠了，這種繁簡(jiǎn)程度上的不對(duì)稱(chēng)對(duì)于懷疑黎曼猜想的數(shù)學(xué)家們是十分有利的。

除上述兩種截然相對(duì)的態(tài)度外，黎曼猜想的長(zhǎng)期懸而未決還使一些人聯(lián)想到了所謂的哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?/span> (G?del's incompleteness theorem)，認(rèn)為黎曼猜想有可能是一個(gè)不能被判定——即既不能被證明，也不能被否證——的命題。據(jù)說(shuō)哥德?tīng)?span style="color: rgb(136, 136, 136);"> (Kurt G?del) 本人就有過(guò)這樣的看法。不過(guò)，黎曼猜想假如不成立，在原則上是可以用明確的步驟，通過(guò)數(shù)值計(jì)算找到它的反例，從而證明其不成立的。從這個(gè)意義上講，黎曼猜想假如不成立，它是可以被判定為不成立的，而它如果不能被判定，實(shí)際上是表明它成立。

好了，以上就是對(duì)黎曼猜想的簡(jiǎn)單介紹。這一介紹因?yàn)槁匀チ藬?shù)學(xué)細(xì)節(jié)而看上去更像是一串故事。但實(shí)際上，黎曼猜想是一個(gè)極為艱深的課題，如果哪位讀者想要啃一啃這個(gè)猜想，首先要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，否則非但啃不動(dòng)，還很可能會(huì)崩掉牙齒——可別怪我沒(méi)提醒哦。 

本文獲清華大學(xué)出版社授權(quán)發(fā)表，已收錄于《小樓與大師：科學(xué)殿堂的人和事》（清華大學(xué)出版社，2014年）一書(shū)中。欲讀作者更多文章，可關(guān)注作者新浪微博@盧昌海。

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