數學戰(zhàn)爭警示錄：我們需要什么樣的數學教育？
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撰文 | 李珊珊
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所謂“數學戰(zhàn)爭”，是指在美國持續(xù)數十年的一場教育路線之爭——數學究竟該如何教？數學，究竟是篩選精英的門檻，還是讓普通學生都能從中受益的基礎技能？
不久前，蓋茨基金會捐贈了一筆資助給美國國家科學、工程和醫(yī)學院（NASEM），并幫助對方成立一個名為“數學科學教育委員會”（MSEB）的新部門，以促進美國學生從幼兒園到研究生期間的數學教育水平。
乍看起來，這只是教育領域的一次慈善投入，但在長期關注美國數學教育的人看來，這或許意味著一場沉寂已久的“數學戰(zhàn)爭”正在重新集結兵力。
關于數學教育的爭論不僅貫穿了學校、家庭與政策層面，還卷入了數學家、教育學家、政客乃至公眾，背后交織著理念之爭、資源分配與對國家競爭力的焦慮。
作為全球科技最發(fā)達、創(chuàng)新能力最活躍的國家之一，美國卻長期被批評數學水平低下：成人計算能力在國際調查中常年墊底，學生數學成績在PISA等國際排名中落后，甚至在《華爾街日報》的漫畫中被調侃——老師站在一臉茫然的學生面前，黑板上寫著：“2 + 2 可能等于 4，也可能不等于 4”。這種尷尬的現實背后，正是理念沖突、課程設計與社會觀念長期拉扯的結果。
冷戰(zhàn)時期，當美蘇爭霸讓美國感到科技領先地位受到威脅時，數學教育改革被推到國家戰(zhàn)略高度；而在今天，生成式人工智能正在重塑全球創(chuàng)新版圖，數學基礎的強弱再一次成為科技競爭的核心變量。此時，美國再次啟動高層次的數學教育改革，其理由不言而喻。
對中國而言，美國這場綿延數十年的數學戰(zhàn)爭并不是一出與己無關的鬧劇。一個國家在科技與產業(yè)競爭中的長期優(yōu)勢，歸根結底，依賴的是廣大受過扎實訓練的工程師、科研人員和技術工人的穩(wěn)固支撐。中國在推進STEM教育改革時，該如何關注不同層次學生的學習路徑和心理感受？如何既防止過分精英主義、犧牲掉大量普通孩子，又防止過分平庸、給天才孩子們足夠的空間？
吸取美國的教訓，就是要找到那條兼顧深度與廣度、兼顧公平與卓越的平衡之路。
01
就在今年的國家級數學教育提升計劃之前，2022年，蓋茨基金會曾經有過一個4年，投入11億美元促進美國中小學數學教育的計劃；再往前翻，上世紀90年代，美國國家科學基金會（NSF）作為最大的資金來源，為推廣數學中小學教育標準投入的大量經費……這場歷時半個多世紀，投入幾十億，多位諾獎得主、菲爾茲獎得主參戰(zhàn)的關于美國數學教育的“數學戰(zhàn)爭”究竟在爭些什么？作為一個身處這場戰(zhàn)爭之外的人，也許我們需要先大概了解一下。
媒體上，這場戰(zhàn)爭常被描述為機械灌輸的傳統派與鼓勵學生自己探索的教育革新派的對立。
一批數學教育的改革者說，不該讓數學淪為“死記硬背”（計算規(guī)則和乘法表），不應該讓一堆奇怪的四則運算、因式分解解方程、復雜的三角公式，打擊孩子們學習數學的信心，把孩子們分成三六九等，然后，過了高中，他們就不再用得上這些東西了。
這些改革者批評過往以標準答案為準則的數學教育是一種權威主義，他們要在數學中引入自由的思想，引入批判性思維，他們高喊：孩子們要學習如何解決問題，學習那些生活中會用的到的數學，比如：測量、統計，用計算器……與前述這些能力相比，算術、數學公式和解題套路都不重要。
數學究竟是“道”還是“術”？這是早期辯論的主題。盡管各種數學大家站出來解釋數學中，既有概念，也不能缺乏技巧，相關的爭論卻在幾十年中一步步走向了愈加的兩極化。
這其間，一個令人尷尬的事實在于：當革新派一直強調他們在培養(yǎng)數學思維而非數學機器的同時，本應該對自由思維最為歡迎的高等教育系統、尤其是藤校們卻更喜歡那些有著扎實的數學基本功的學生。而后者，大多是被改革派批判的傳統的、僵化的數學教育的產物。
而另一個尷尬在于：數學教育的難度把握極其微妙。內容太簡單，學生學不到東西；內容太難，學生同樣學不到東西。美國數學教育的困境在于，在種種教育思潮、政治理念的影響下，他們幾乎無法判斷自己的課程到底是過難還是過易。于是，所有的爭論只能浮于表面，從要不要背乘法表，到2+2是不是只能等于4……
02
這場戰(zhàn)爭的另一種表述是：精英篩選式的數學教育與走下神壇的大眾數學教育的對立。
上世紀，高中和大學教育經歷著從精英教育到普世教育的轉變，而數學教育是否該從服務于少數精英，轉為利好更廣泛的民眾，就成了最為重要的問題。這個問題關系著，小學與中學的數學要不要為下一階段的微積分數學備戰(zhàn)？中小學數學究竟只需教會孩子們解決生活中的記賬、統計的實用性數學，還是需要教會他們更多的復雜的四則運算、代數方程與三角函數。
精英與大眾之爭往前走，便是公平與卓越之爭。其最初的出發(fā)點是讓所有來自弱勢背景（貧困家庭、移民家庭）的學生，都能獲得應有的數學教育，從而促進社會正義和平等的發(fā)展機會。然而，之后不久，這種對公平的追求變成了“旨在縮小成就差距，確保所有學生達到最低熟練水平 ”，這便是小布什當年提出的曾褒譽參半的“不讓一個孩子掉隊(No Child Left Behind,NCLB)”提案。
這場轟轟烈烈的教育公平運動的結果，卻是使得老師們更關注那些徘徊在及格線上下的后進學生，以后進學生的水平作為基準進行教學計劃。最終，優(yōu)秀的學生們被“犧牲”，而失去了領頭羊的美國公立學校的數學教學質量也遭遇了大規(guī)模的滑坡。
形而上的爭論之外，更具體的技術問題來了：是否需要每一個學生的中小學數學都為進一步的微積分學習作準備？支持者認為，微積分是整個科學、工程、醫(yī)學教育的核心，而反對者則認為，太多的人除了在學校時，一輩子根本用不到微積分。
隨著科技的發(fā)展，數學應用的格局不斷發(fā)生了巨大變化，前一個問題還沒有解決，又一個新問題出現了。最新的美國數學戰(zhàn)爭，核心議題已經進化到了：“數據科學”是否應該被接受為頂尖大學入學考試中“代數II”等傳統科目的替代科目。
至此，以代數方程為重點，為微積分作準備的中小學數學教學受到了越來越大的沖擊，沒人知道結果會如何。
03
20世紀80年代，美國卓越教育委員會發(fā)表了一份著名的報告：《處于危險中的國家》（A Nation At Risk），報告中警告：“我們的國家正處于危險之中。
我們在商業(yè)、工業(yè)、科學和技術創(chuàng)新方面曾經無可匹敵的領先地位，正被世界各地的競爭對手超越…… 我們社會的基礎教育正被日益高漲的平庸主義所侵蝕，這威脅著我們作為一個國家和一個民族的未來……”
在《處于危險中的國家》中，作者們列舉了美國學生學術成績不佳的事實：只有三分之一的學生能夠解決需要幾個步驟的數學問題，在70年代的19次學術測試中，與其他工業(yè)化國家相比，美國學生從未獲得第一名或第二名，并有7次墊底。
這份報告對于學生們的“成績膨脹”提出警告，并建議使用標準化成績測試，以及，在“從高中到大學或工作”階段提高錄取標準。
根據《處于危險中的國家》等等各種關于美國教育的報告，要提升美國學生的數學水平，首先，要對教什么和需要達到一個什么樣的水平有一個明確的規(guī)范和標準，成立于上世紀20年代的美國數學教師協會（NCTM）接下了這項艱巨的任務。
1989年，NCTM發(fā)布了從幼兒園到高中的通用標準。
1991年和1995年，與NCTM配套的教學法和測試的相關文件分別發(fā)布，至此，美國有了自己的全國化的數學教育規(guī)范。
這是一份充滿了“功利主義”的數學教育標準，它倡導以學生為中心的探索式學習，而且非常強調學以致用，以至于基本技能和一般數學原理幾乎總是通過“現實世界”的問題來學習。不鼓勵為數學而學習。
支持這份標準的論點主要有兩大主題：一方面是通過統一標準來消弭社會的階層差距以實現社會公平，就如在艾倫·申菲爾德（Alan Schoenfeld）的其著作《數學戰(zhàn)爭》中寫道：
“……缺乏數學學習機會是一道障礙，正是這道障礙使得一些人在社會和經濟上被剝奪了權利……全國城鄉(xiāng)社區(qū)數學素養(yǎng)的缺失，其緊迫程度堪比1961年密西西比州缺乏登記黑人選民的問題?！?/span>
另一方面，科技發(fā)展使得人們需要提升全民的數學能力以滿足商業(yè)和工業(yè)的需求。如NCTM標準的文件中曾描述的：“人們對員工技能和知識的期望越來越高，超越了傳統的基本數學能力……員工必須具備理解溝通的復雜性和技術性、提出問題、吸收陌生信息以及團隊合作的能力。企業(yè)不再需要那些擁有強健體魄、靈巧雙手和‘店主式’算術技能的員工……”
社會公正主題、對商業(yè)需求的關注以及讓所有學生都能理解數學概念的承諾，為NCTM的議程提供了所需的動力。商界、政府和工會都對這項提案感到滿意。在20世紀最后的十年，NCTM對數學教育的愿景勢不可擋。
標準制定完畢，美國科學基金會（NSF）負責了這項標準的推廣工作。很快，NSF的教育與人力資源部制定了一系列的系統性倡議撥款，鼓勵州教育機構將各州的教學標準與NCTM的標準保持一致，又通過各種與獎金掛鉤的城市倡議計劃，（即：改革達到一定程度便給予相關撥款）。除了來自國家和各州、城市的經費，NSF還發(fā)動私人基金會利用資助課程的方式為教師們提供與新標準配套的培訓，從而推進新標準的實施。
從兩黨，到苦于員工們數學水平不夠的企業(yè)雇主，所有的人對著提升美國人數學水平都有著迫切的需求，而讓美國人的數學在10年內騰飛的樂觀承諾又如此誘人。
新標準在美國的教育系統中的推行，（至少從形式上看），進行得罕見得高效，到上世紀90年代中期，新標準已經在美國各州得到了廣泛的采用，然而，沒人想到的是，一場強烈的反彈，以及其后延續(xù)30年的極限拉扯正在后面等著。
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盡管后來大量的批評指出NCTM標準制定時，未能充分聽取數學家們的意見等等諸多早已注定的因素，但在最初，不論是家長還是老師們對這個新標準都曾經是滿懷信心的，直到一些家長發(fā)現，新標準對計算能力的忽視幾乎到了一種令人發(fā)指的程度。
在NCTM的課程中，計算器被鼓勵使用，被納入幼兒園課程，在90年代加州基于新標準發(fā)布的數學框架中甚至指出：“計算器是當今世界的‘電子鉛筆’……每年都應該像發(fā)放教科書一樣向學生發(fā)放計算器。一個合理的目標是讓學生在課堂活動、家庭作業(yè)和考試中隨時都能使用計算器” 。有了計算器，小學課程中，“復雜的紙筆計算”、“長除法”、“分數計算”、“四舍五入估算”、乘法表的“死記硬背”和使用，都被認為是不重要的技能。
根據這套新標準，一些小學的孩子們甚至沒有教科書，因為書籍“可能會干擾學生們探索”，小學課程要求學生使用自己發(fā)明的算術算法來代替標準的算術算法，在各個年級，小組作業(yè)都是首選的教學法，然而，大多數情況下，這種數學類的小組項目漫無目的、效率低下，且非常適合掌握差的學生用來渾水摸魚。
對于新標準，有人批評：“（ NCTM標準）的制定者肯定是體育老師。”
在美國的一本期刊《教師之聲》上的文章指出，因為高中生對百分比之類數學知識的欠缺，學生在心理學、營養(yǎng)學等專業(yè)都遭遇了數學知識不足的情況，一位天普大學的心理學教授則指出：從前只需要一個學期的心理統計學課程，變成了需要用兩個學期才能完成。
一時間，新標準成了一場關于數學教育的大戰(zhàn)的導火索，上世紀90年代末，從普林斯頓市開始，家長們開始反擊了。
在那座城市，很多孩子的父母都是普林斯頓大學的教職員工，這些受過高等教育的家長們發(fā)現了上述的問題，向學校建議無果后，家長們開始專注于奪權——贏得學校董事會席位。從一位普林斯頓高等研究院的理論物理學家開始，對新標準持反對意見的家長占據了一所學校董事會的多數席位，他們決定拋棄新標準，成立一所側重于基礎學科，并肯定學生學術成就的新學校。上世紀90年代末，這所獨立于新標準的普林斯頓特許學校成立了，這也成為了當時一種可行的替代方案。
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而在美洲大陸的另一邊，加州，擔憂孩子們數學課程家長們不再滿足于一兩所特許學校，他們希望來一場顛覆性的改革，徹底地擺脫NCTM新標準。
加州的第一次重大家長反抗發(fā)生在帕洛阿爾托（Palo Alto），那是全美居民受教育程度最高的社區(qū)之一，其中不乏斯坦福大學的教職員工和商界領袖。1994年5月，在該學區(qū)即將采用符合新框架的課程代替?zhèn)鹘y課程之前，600多名家長簽署了一份請愿書，要求在整個學區(qū)的一所中學保留傳統的代數預備課程。然而，要求被駁回了，因此，簽署過請愿書的25名家長于成立了一個網站HOLD（Honest and Open Logical Debate），用來辯論數學究竟該怎么教？
首批參與HOLD的一位家長曾在網站上說：因為對于數學成績非常不滿，大量家長開始尋求外部數學輔導。48%的家長表示，他們?yōu)楹⒆訉で筮^外部數學幫助（在中學，這一比例上升到63%）。而根據HOLD對一些知名商業(yè)數學課程進行的非正式調查顯示，帕洛阿爾托學區(qū)的家長們每年至少花費100萬美元用于數學輔導，這些都為了彌補新標準帶來的損失。
至此，擁有巨量中小學學生的加州，一躍成為了這場“數學戰(zhàn)爭”的主戰(zhàn)場，這場數學教育之爭在這里進入了快車道。
1997年，加州的一個數學教育組織重新起草了一份新的加州標準，在這份標準中，計算得到了強調，孩子們不再被鼓勵使用計算器了，基本技能得到了強調，而所謂的創(chuàng)造性解決問題的能力、程序性技能和批判性思維的優(yōu)先級，在低年級數學課程中被降低了。
這項新標準在NCTM的簇擁者中遭到了劇烈的反對，反對者質疑這項標準是在“死記硬背”數學，會破壞加州兒童的數學思維。連NSF都下場譴責加州的新標準，認為他們“放棄了任何提升解決問題和批判性思維能力的認真承諾……”
之后，來自加州各大高校的100多名數學教授在一封公開信上簽名支持加州新標準。
爭議越來越激烈，雙方劍拔弩張，到1999年底，美國教育部親自出馬發(fā)布了一份調查報告，將10個數學課程評為“示范性”課程，其中有8個課程是依照NCTM開發(fā)的，這些課程旨在推動一種新的數學教學模式，強調概念理解、解決問題和應用數學，而非傳統教學中側重于死記硬背和機械性計算。
國家下場引發(fā)了加州派的進一步反擊，教育部的示范性課程公布后的幾周內，200名數學家和科學家，其中包括4位諾獎得主和兩位享菲爾茲獎得主，在《華盛頓郵報》上發(fā)表了一封公開信，批評新課程“弱化了（數學）基礎技能”、“內容嚴謹性不足”，以及“教學方法具有誤導性”。
時間的車輪駛入了新世紀，數學戰(zhàn)爭仍在繼續(xù)，而情況變得愈加復雜……2006年，NCTM 在他們的標準中寫入了對計算的要求，到2023年，多次改進后的加州數學框架出臺，這是90年代末加州數學新標準之后的集大成之作……
參戰(zhàn)的雙方都在極力完善己方，甚至每個人都知道，僅有一方是不足以當起將美國年輕人的數學能力提升到國家期許水平的，然而，長久以來，兩派的對立卻始終無法解決。
在那座城市，很多孩子的父母都是普林斯頓大學的教職員工，這些受過高等教育的家長們發(fā)現了上述的問題，向學校建議無果后，家長們開始專注于奪權——贏得學校董事會席位。從一位普林斯頓高等研究院的理論物理學家開始，對新標準持反對意見的家長占據了一所學校董事會的多數席位，他們決定拋棄新標準，成立一所側重于基礎學科，并肯定學生學術成就的新學校。上世紀90年代末，這所獨立于新標準的普林斯頓特許學校成立了，這也成為了當時一種可行的替代方案。
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吸引了越來越多不同人群參與的這場大辯論最終演變成了一場具有政治色彩的教育運動，成了美國文化政治的一部分。
這場沒有和解的戰(zhàn)爭持續(xù)了幾十年，以NSF和蓋茨金會為代表的聯邦或是私人基金，在此之上投入幾十上百億，最終，卻仍只是留下了一個爛攤子。
耗費了如此多的金錢、時間、人力的美國數學教育究竟問題出在哪里？
一篇由已故的美國科學院院士，威斯康星大學麥迪遜分校數學教授理查德·阿斯基（Richard Askey，1933-2019）所著的“僅有良好的意愿是不夠的”一文指出了這場爭論中一個最為關鍵，卻常常在決策時被忽視的問題——教師的能力。
阿斯基寫道：NCTM所給出的新標準，倡導使用間接性的教學方法并沒有問題，但當教師的知識不足時，麻煩就出現了，因為“當學生得出一個教師無法明顯判斷對錯的答案時，教師往往會不知所措”。
阿斯基舉例，在傳統的數學課堂中，如果一個學生給出了一個答案，但表述方式與書中不同，老師會說這個答案是錯的，這是過去的情景，也是大家不希望發(fā)生的情況。然而，在NCTM所推崇的間接教學方式的情況下，學生給出了和書中不同的答案時（而且發(fā)生得會更頻繁），往往會超出一個連傳統教學方法都只能險險應對的教師的能力范圍。
目前看來，在幾十年來一次次的交鋒與碰壁之后，越來越多的美國人也開始贊同阿斯基的看法了。2021年，《華爾街日報》的一副美國數學課的漫畫插圖將美國數學教育的困境描繪的淋漓盡致，在那副漫畫中，一位系著領結的老師站在一臉茫然的學生面前，旁邊的黑板上寫著：“2 + 2 可能等于 4，也可能不等于 4?！?nbsp;
2022年，蓋茨基金會宣布將在4年內投入11億美元改善數學教育，其首要目標也是：培養(yǎng)更多、訓練有素的數學教師。
而我們在旁觀大洋彼岸這場延續(xù)了幾十年的關于數學教育的大辯論時，作為一個同樣希望利用數學教育實現科技強國之夢的大國，同樣可以吸取到諸多的教訓與經驗，數學究竟是“術”還是“道”？數學究竟該是精英教育，還是大眾教育？而最為重要的是，在實現理想數學教育的路上，最重要的，不是教材體系夠不夠新潮，不是內容夠不夠緊跟當年的科技發(fā)展，而是是否有足夠的，真正掌握了教材思想并能夠將想法付諸實踐的教師，將想法真正傳遞下去。
教育，從來不是件容易的事情。
參考文獻：
