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本文是陳省身教授1999年在復(fù)旦大學(xué)的演講，經(jīng)整理發(fā)表

演講 | 陳省身

我的演講題目是《什么是幾何學(xué)》。我雖然搞了幾十年的幾何工作，但是很抱歉的一點(diǎn)是，當(dāng)你們聽完演講后，不會(huì)得到很簡(jiǎn)單的答案，因?yàn)檫@是一門廣泛而偉大的學(xué)問。最近幾十年來，幾何學(xué)有非常重要的發(fā)展，跟許多其它的科學(xué)不但有關(guān)系、有作用，而且是基本的因素。

講到幾何學(xué)，我們第一個(gè)想到的是歐幾里得。在世界出版物中，除了基督教的《圣經(jīng)》之外，歐幾里德的《幾何原本》大概是銷售最多的一本書了。這本書在中國有翻譯，譯者是徐光啟與利瑪竇。

利瑪竇與徐光啟

徐光啟（1562-1633）是中國了不得的學(xué)問家，利瑪竇（M. Ricci）是到中國來的意大利傳教士。他們只翻譯了六章，中文本是在1607年出版的。我們現(xiàn)在通用的許多名詞——例如平行線、三角形、圓周等這類名詞，我想都是徐光啟翻譯的。當(dāng)時(shí)沒有把全書翻譯完，差不多只翻譯了半本，另外還有半本是李善蘭和偉烈亞力翻譯的。偉烈亞力（A.Wylie）是英國傳教士。很高興的是，李善蘭是浙江海寧人。

海寧是嘉興府的一縣，我是嘉興人，所以我們是同鄉(xiāng)。對(duì)了，查濟(jì)民（注：香港求是科技基金會(huì)1994年由著名實(shí)業(yè)家査濟(jì)民先生創(chuàng)立）先生也是海寧人。

推動(dòng)幾何學(xué)第二個(gè)重要的、歷史性發(fā)展的人是Descarte（1596-1650），中國人翻譯成為笛卡兒。他是法國哲學(xué)家，不是專門研究數(shù)學(xué)的。他用坐標(biāo)的方法，把幾何變成了代數(shù)。當(dāng)時(shí)沒有分析或者無窮的觀念。所以他就變成代數(shù)。我想笛卡兒當(dāng)時(shí)不見得覺得他這貢獻(xiàn)是很偉大的，所以他的幾何論文是他的哲學(xué)引里面最后的一個(gè)附錄，附屬于他的哲學(xué)的。

這個(gè)思想當(dāng)然在幾何上是革命性的，因?yàn)楫?dāng)把幾何的現(xiàn)象用坐標(biāo)表示出來時(shí)，就變成了代數(shù)現(xiàn)象。所以你要證明說一條直線是不是經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，你只要證明某個(gè)數(shù)是不是等于零就行了。這樣就變成了一個(gè)簡(jiǎn)單一點(diǎn)的代數(shù)問題。當(dāng)然并不是所有的幾何問題都要變成代數(shù)問題，有時(shí)候變?yōu)榇鷶?shù)問題后，反而比原來的問題更加復(fù)雜了。但這個(gè)關(guān)系是基本性的。

笛卡爾 （他的一句名言是：我思，故我在）

笛卡兒發(fā)現(xiàn)的坐標(biāo)系，我們大慨在中學(xué)念解析幾何都學(xué)到。有一點(diǎn)是這樣的（我的圖可惜現(xiàn)在沒法投影出來）給定一條直線，直線上有一個(gè)原點(diǎn)，其它的點(diǎn)由它的距離x來確定，然后經(jīng)過x沿一定的方向畫一條直線，那么y坐標(biāo)就是在那條在線從x軸上這個(gè)點(diǎn)所經(jīng)的距離，這就是笛卡兒的坐標(biāo)，英文叫Cartesian坐標(biāo)。它的兩條線不一定垂直。

不知道哪位先生寫教科書時(shí)把兩條線寫成垂直了，因此x坐標(biāo)與y坐標(biāo)對(duì)稱了。笛卡兒的兩個(gè)坐標(biāo)不是對(duì)稱的，這是他非常重要的觀念，我們現(xiàn)在就叫纖維叢。

這些跟y軸平行的直線都是1纖維，是另外的一個(gè)空間。原因是這樣的：你把它這樣改了之后，那條直線就不一定要直線，可以是任何另外一個(gè)空間了。這樣可以確定空間里點(diǎn)用另外一組坐標(biāo)來表示。所以有時(shí)候科學(xué)或數(shù)學(xué)不一定完全進(jìn)步了，有時(shí)候反而退步了。

笛卡兒用了這個(gè)坐標(biāo)，就發(fā)現(xiàn)，我們不一定要用Cartesian坐標(biāo)，可以用其它坐標(biāo)，比如極坐標(biāo)。平面上確定一個(gè)點(diǎn)，稱為原點(diǎn)，過這點(diǎn)畫一條射線，稱為極軸。這樣平面上的點(diǎn)，一個(gè)坐標(biāo)是這點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，另外一個(gè)是角度，是這點(diǎn)與原點(diǎn)的聯(lián)線與極軸的相交的角度，這就是極坐標(biāo)。因此極坐標(biāo)的兩個(gè)坐標(biāo)，一個(gè)是正數(shù)或零，另外一個(gè)是從零到360度的角度。當(dāng)然我們都知道，還可以有許多其它的坐標(biāo)，只要用數(shù)就可以確定坐標(biāo)。

因此，后來大家弄多了的話，就對(duì)幾何作出了另外一個(gè)革命性的貢獻(xiàn)，就是說，坐標(biāo)不一定要有意義。只要每組數(shù)能定義一個(gè)點(diǎn)，我們就把它叫坐標(biāo)（例如，在地球上每一點(diǎn)有經(jīng)度和緯度）。從而幾何性質(zhì)就變成坐標(biāo)的一個(gè)代數(shù)性質(zhì)，或者說分析的性質(zhì)。這樣就把幾何代數(shù)化了，幾何就變成形式化的東西了。

這個(gè)影響非常之大，當(dāng)然這個(gè)影響也不大容易被接受，比如愛因斯坦。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)他的相對(duì)論，特殊相對(duì)論是在1908年，而廣義相對(duì)論是在1915年，前后差了7年。愛因斯坦說，為什么需要7年之久我才能從特殊相對(duì)論過渡到廣義相對(duì)論呢？他說：“因?yàn)槲矣X得坐標(biāo)都應(yīng)該有幾何或物理意義。”愛因斯坦是一個(gè)對(duì)學(xué)問非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜?，他覺得沒有意義的坐標(biāo)不大容易被接受，所以耽誤了很多年以后，他才不得不接受，就是因?yàn)榭臻g的概念被推廣了。

抱歉，我忘掉了一段。我現(xiàn)在是講書（編者注：陳先生在開玩笑，他的意思是自己在“說書”），講書忘掉了補(bǔ)充一下是無所謂的，講錯(cuò)了也不要緊（笑聲）。同樣我回頭再講一點(diǎn)歐幾里得。

那時(shí)的歐幾里得的《幾何原本》并不僅僅是幾何，而是整個(gè)數(shù)學(xué)。因?yàn)槟菚r(shí)候的數(shù)學(xué)還沒有發(fā)現(xiàn)微積分，無窮的觀念雖然已經(jīng)有了，不過不怎么普遍。我再說一點(diǎn)，就很可惜的是，歐幾里得的身世我們知道得很少，只知道他大概生活在紀(jì)元前三百年左右。他是亞歷山大學(xué)校的幾何教授，他的《幾何原本》大概是當(dāng)時(shí)的一個(gè)課本。

亞歷山大大學(xué)是希臘文化最后集中的一個(gè)地方。因?yàn)閬啔v山大自己到過亞歷山大，因此就建立了當(dāng)時(shí)北非的大城，靠在地中海。但是他遠(yuǎn)在到亞洲之后，我們知道他很快就死了。之后，他的大將托勒密管理當(dāng)時(shí)的埃及區(qū)域。托勒密很重視學(xué)問，就成立了一個(gè)大學(xué)。這個(gè)大學(xué)就在他的王宮旁邊，是當(dāng)時(shí)全世界偉大的大學(xué)，設(shè)備非常好，有許多書。很可惜，由于宗教的原因，由于眾多的原因，現(xiàn)在這個(gè)學(xué)校被完全毀掉了。當(dāng)時(shí)的基督教就不喜歡這個(gè)學(xué)校，已經(jīng)開始?xì)牧?，然后回教人占領(lǐng)了北非之后，就大規(guī)地破壞，把圖書館的書都拿出來燒掉。所以現(xiàn)在這個(gè)學(xué)校完全不存在了。

幾何是很重要的，因?yàn)榇蠹矣X得幾何就是數(shù)學(xué)。比方說，現(xiàn)在還有這一印象，法國的科學(xué)院，它的數(shù)學(xué)組叫做幾何組。對(duì)于法國來講，搞數(shù)學(xué)的不稱數(shù)學(xué)家，而叫幾何學(xué)家，這都是受當(dāng)時(shí)幾何的影響。當(dāng)時(shí)的幾何比現(xiàn)在的幾何的范圍來得廣。不過從另一方面講，現(xiàn)在的范圍更廣了，就是我剛才講到的，坐標(biāo)不一定有意義。一個(gè)空間可以有好幾種坐標(biāo)，那么怎樣描述空間呢？這就顯得很困難，因?yàn)榭臻g到底有什么樣的幾何性質(zhì)，這也是一個(gè)大問題。高斯與黎曼建立和發(fā)展了這方面的理論。

高斯

高斯是德國人，我想他是近代數(shù)學(xué)最偉大的一個(gè)數(shù)學(xué)家。黎曼實(shí)際上是他的繼承人，也是德國數(shù)學(xué)家。他們都是哥廷根大學(xué)的教授?？上У氖?，黎曼活著時(shí)身體不好，有肺結(jié)核病，四十歲就死了。他們的發(fā)展有一個(gè)主要目的，就是要發(fā)展一個(gè)空間，它的坐標(biāo)是局部的?？臻g里只有坐標(biāo)，反正你不能講坐標(biāo)是什么，只知道坐標(biāo)代表一個(gè)點(diǎn)，所以只是一小塊里的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示。因此雖然點(diǎn)的性質(zhì)可以用解析關(guān)系來表示，但是如何研究空間這就成了大問題。

在這個(gè)之前，我剛才又忘了一個(gè)，就是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)是歐幾里得的書，但是歐幾里得的書出了一個(gè)毛病。因?yàn)闅W幾里得用公理經(jīng)過邏輯的手段得到結(jié)論。例如說，三角形三角之和一定等于180度，這是了不得的結(jié)果。歐幾里得可以用公理幾步就把它證明了，是一個(gè)結(jié)論。這個(gè)比現(xiàn)代的科學(xué)簡(jiǎn)單得多了。

我們剛才聽了很多話，科學(xué)家做科學(xué)研究，第一樣就是跟政府要錢，跟社會(huì)要錢，說你給了我錢，我才能做實(shí)驗(yàn)。當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)是科學(xué)的基礎(chǔ)。但是這樣一來就會(huì)有許多的社會(huì)問題和政治問題。歐幾里得說，你給我一張紙，我只要寫幾下，就證明了這個(gè)結(jié)果。不但如此，我是搞數(shù)學(xué)的，我說數(shù)學(xué)理論還有優(yōu)點(diǎn)，數(shù)學(xué)的理論可以預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。不用實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)可以得到結(jié)論，然后用實(shí)驗(yàn)去證明。當(dāng)然實(shí)驗(yàn)有時(shí)的證明不對(duì)，也許你的理論就不對(duì)了，那當(dāng)然也有這個(gè)毛病。

歐幾里得的公理是非常明顯的，但是他有一個(gè)叫第五公設(shè)的有名公理出了問題。這個(gè)第五公設(shè)講起來比較長(zhǎng)，但是簡(jiǎn)單地說，就是有一條直線與線外一點(diǎn)，經(jīng)過這點(diǎn)只有一條直線與這條已給的直線平行。這個(gè)你要隨便畫圖的話，覺得相當(dāng)可信?？墒悄阋獓?yán)格追問的話，這個(gè)公理不大明顯，至少不如其它公理這樣明顯。所以，對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界喜歡思考的人來說，這個(gè)第五公設(shè)是個(gè)大問題。當(dāng)時(shí)最理想的情形是：第五公設(shè)可以用其它的公理推出來，這就變成一個(gè)定理。那就簡(jiǎn)單化了，并且可做這個(gè)實(shí)驗(yàn)。我們搞數(shù)學(xué)的人有一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，即反證法，就是我要證明這個(gè)定理，我先假定這個(gè)定理不對(duì)，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就證明它是對(duì)的了。有人就想用這個(gè)方法證明第五公設(shè)，但是都失敗了。我們現(xiàn)在知道，這個(gè)第五公設(shè)并不一定對(duì)，經(jīng)過一點(diǎn)的并行線可以有無數(shù)條，這就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。

非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，它的社會(huì)意義很大，因?yàn)樗硎究臻g不一定只有一個(gè)。西洋的社會(huì)相信上帝只有一個(gè)，怎么會(huì)有兩個(gè)空間，或者很多個(gè)空間呢？當(dāng)時(shí)這是個(gè)很嚴(yán)重的社會(huì)問題。不止是社會(huì)問題，同時(shí)也是哲學(xué)問題。像德國大哲學(xué)家康德，他就覺得只能有歐氏幾何，不能有非歐幾何。所以當(dāng)時(shí)這是一個(gè)很大的爭(zhēng)論。

非歐幾何的發(fā)現(xiàn)者，一個(gè)是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一個(gè)是Lobachevski，俄國人，在1847年。不過我剛才講到大數(shù)學(xué)家高斯，我們從他的種種著作中知道，他完全清楚，但他沒有把它發(fā)表成一個(gè)結(jié)論，因?yàn)榘l(fā)表這樣一個(gè)結(jié)論，是會(huì)遭到別人反對(duì)的。因此就有這么一個(gè)爭(zhēng)論。后來到了1868年，意大利的幾何學(xué)家Beltrami，他在歐幾里得的三維空間里造了一個(gè)曲面（稱為偽球面，pseudosphere），這個(gè)曲面上的幾何就是非歐幾何，這對(duì)于消除大家的懷疑是一很有利的工具。因?yàn)樯鲜鼋Y(jié)果是說，假定有一個(gè)三維的歐幾里得空間，就可以造出一個(gè)非歐幾何的空間來，所以在歐幾里得的幾何中亦有非歐幾何。你假定歐幾里得幾何，你就得接受非歐幾何，因此大家對(duì)非歐幾何的懷疑有種種的方法慢慢給予解除。

偽球面，它是由一條無限長(zhǎng)的曲線旋轉(zhuǎn)生成，惠更斯曾表明，它具有有限的面積和體積（參見 https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudosphere）。

我剛才講到高斯與黎曼把坐標(biāo)一般化，使坐標(biāo)不一定有意義，這對(duì)幾何學(xué)產(chǎn)生的問題可大了。因?yàn)榭臻g就變成一塊一塊拼起來的東西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空間有不同的性質(zhì)呢？甚至怎么區(qū)別不同的空間？我這里有幾張圖，畫了幾個(gè)不同的空間，可惜我沒法把它投影出來（編者注：以下我們選取了幾個(gè)有代表性的曲面）。不過，總而言之，空間的個(gè)數(shù)是無窮的，有很多很多不同的空間。

托里拆利小號(hào)（由雙曲線 y=1/x 的一支沿著坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成）

由 x = 2 + cos z 旋轉(zhuǎn)生成的曲面

歐拉1744年發(fā)現(xiàn)的懸鏈面

馬鞍面，又稱為雙曲拋物面

現(xiàn)在對(duì)于研究幾何的人就產(chǎn)生一個(gè)基本問題：你怎樣去研究它。這樣一個(gè)基本的學(xué)問現(xiàn)在就叫topology，拓樸學(xué)。它是研究整個(gè)空間的性質(zhì)，如什么叫空間的連續(xù)性，怎樣的兩個(gè)空間在某個(gè)意義上是相同的，等等。這樣就發(fā)展了許多許多的工具。這個(gè)問題（等價(jià)問題）黎曼也討論了。

黎曼生活在1826-1866年。德國的教學(xué)制度在博士畢業(yè)之后，為了有資格在大學(xué)教書，一定要做一個(gè)公開演講，這個(gè)公開的演講就是所謂Habilitationschrift。

黎曼在1854年到哥廷根大學(xué)去做教授，做了一個(gè)演講，這個(gè)在幾何上是非?；镜奈墨I(xiàn)，就討論了這些問題。如何研究這種空間呢？要研究這種空間，如果你只知道空間是隨便追磨一塊塊拼起來的話，就沒有什么可以研究的了。于是你往往需要一個(gè)度量，至少你知道什么叫兩點(diǎn)之間的距離，你怎應(yīng)去處理它呢？就需要解析的工具。往往你把距離表為一個(gè)積分，用積分代表距離。黎曼1854年的這篇論文，是非常重要的，也是幾何里的一個(gè)基本文獻(xiàn)，相當(dāng)一個(gè)國家的憲法似的。愛因斯坦不知道這篇論文，花了七年的時(shí)間想方設(shè)法也要發(fā)展同樣的觀念，所以愛因斯坦浪費(fèi)了許多時(shí)間。黎曼這篇論文引進(jìn)的距離這個(gè)觀念，是一個(gè)積分，在數(shù)學(xué)界一百多年來有了很大的發(fā)展。

第一個(gè)重要的發(fā)展，是黎曼幾何應(yīng)用到廣義相對(duì)論，是相對(duì)論的一個(gè)基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。現(xiàn)在大家要念數(shù)學(xué)，尤其要念幾何學(xué)的話，黎曼幾何是一個(gè)最主要的部分，這個(gè)也是從黎曼的演講開始的。現(xiàn)在黎曼幾何的結(jié)果多得不得了，不但是幾何的基礎(chǔ)，可能也是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。

我剛才提到一百多年來的發(fā)展。所謂的黎曼幾何，實(shí)際上是黎曼的論文的一個(gè)簡(jiǎn)單的情形，是某個(gè)特殊情形。黎曼原來的意思，廣義下的意思，有個(gè)人做了重要的工作，是一個(gè)德國人，名叫芬斯勒（Finsler）。所以這部分的幾何就叫芬斯勒幾何。他在1918年在哥廷根大學(xué)寫了一篇博士論文，就講這個(gè)幾何。

這個(gè)幾何后來發(fā)展不大多，因?yàn)榇蠹也恢涝趺崔k。如果這個(gè)度量的積分廣了一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)就變復(fù)雜了，不像黎曼的特殊情形這樣簡(jiǎn)單。黎曼這情形也不簡(jiǎn)單。黎曼普通地就寫了一個(gè)ds的平方等于一個(gè)兩次微式，這個(gè)ds積分一下就代表弧的長(zhǎng)度。怎樣研究這樣的幾何，這是需要一個(gè)像黎曼這種天才，才有辦法。黎曼就發(fā)展了所謂的黎曼曲率張量。你若要搞這類幾何的話，就要有張量的觀念。而空間的彎曲性，這個(gè)彎曲性解析表示出來也比較復(fù)雜了，就是黎曼的曲率張量。

我們現(xiàn)在大家喜歡講得獎(jiǎng)。我們今天發(fā)獎(jiǎng)，有獎(jiǎng)金，要社會(huì)與政府對(duì)你的工作尊重。當(dāng)年的時(shí)候你要搞數(shù)學(xué)的話，如果沒有數(shù)學(xué)教授的位置，就沒有人付你工資。一個(gè)主要的辦法就是得獎(jiǎng)金。有幾個(gè)科學(xué)院它給獎(jiǎng)金，得了獎(jiǎng)金后你當(dāng)然可以維持一段時(shí)間，因此就很高興。不過很有意思的是，我想Riemann-Christoffel曲率張量是一個(gè)很偉大的發(fā)現(xiàn)，黎曼就到法蘭西科學(xué)院申請(qǐng)獎(jiǎng)金。科學(xué)院的人看不懂，就沒有給他。所以諸位，今天坐在前排幾位你們都是得獎(jiǎng)人，都是得到光榮的人，我們對(duì)于你們寄予很大的期望；后面幾排的大多數(shù)人沒有得過獎(jiǎng)，不過我安慰大家，沒得過獎(jiǎng)不要緊，沒得過獎(jiǎng)也可以做工作。我想我在得到學(xué)位之前，也沒有得過獎(jiǎng)。得不得到獎(jiǎng)不是一個(gè)很重要的因素，黎曼就沒有得到獎(jiǎng)。他的Riemann-Christoffel張量在法蘭西的科學(xué)院申請(qǐng)獎(jiǎng)沒有得到。

最近雖然在黎曼幾何上有很多發(fā)展，非常了不得的發(fā)展，但是大家對(duì)于一般的情形，黎曼論文的一般情形，即芬斯勒幾何，沒有做很多貢獻(xiàn)。很巧的是，我在1942年曾寫了一篇芬斯勒幾何的論文，就是找能把黎曼幾何的結(jié)果做到芬斯勒幾何的情形。最近，有兩位年輕的中國人，一個(gè)叫鮑大維，一個(gè)叫沈忠民，我們合寫了一本關(guān)于芬斯勒幾何的書。這本書就要在Springer Verlag出版，屬于它的研究生數(shù)學(xué)教材（GTM）叢書。編輯對(duì)于我們的書也很喜歡，給了我們一個(gè)很有意思的書號(hào)：200。

書就在這里，我想這本書等會(huì)我會(huì)交給谷超豪教授，就把它放在復(fù)旦大學(xué)的某個(gè)圖書館里。我們這本書有一個(gè)小小的成就，就是把近一百年來最近在黎曼幾何上的發(fā)現(xiàn)，我們把它推廣到一般的情形，即黎曼-芬斯勒情形。這是黎曼當(dāng)年的目的。黎曼當(dāng)然非常偉大，不過他對(duì)于一般的情形不是很重視，他甚至在他的文章里講這里沒有新的東西，我們就把他說的沒有的新東西做了一些出來。

我知道我旁邊坐了兩位偉大的物理學(xué)家（編者按：可能指楊振寧先生與復(fù)旦大學(xué)校長(zhǎng)楊福家教授）。接下去我想班門弄斧一下，談一下物理與幾何的關(guān)系。

我覺得物理學(xué)里有很多重要的工作，是物理學(xué)家要證明說物理就是幾何。比方說，你從牛頓的第二運(yùn)動(dòng)定律開始。牛頓的第二定律說，F(xiàn)=ma，F(xiàn)是力，m是質(zhì)量，a是加速度，加速度我們現(xiàn)在叫曲率。所以右邊這一項(xiàng)是幾何量，而力得當(dāng)然是物理量。所以牛頓費(fèi)了半天勁，他只是說物理就是幾何。

不但如此，愛因斯坦的廣義相對(duì)論也是這樣。愛因斯坦的廣義相對(duì)論的方程說

你仔細(xì)想想，他的左邊是幾何量，是從黎曼度量得出來的一些曲率。所以愛因斯坦的重要方程式也就是說，幾何量等于物理量。

不止是這些，我們可以一直講下去。我們現(xiàn)在研究的空間叫流形，是一塊塊空間拼起來的。這個(gè)流形不好研究。流形上的度量，你如果要把它能夠用方程寫下來的話，你一定要把流形線性化，一定要有一個(gè)所謂的矢量空間，叫切空間。矢量空間有一個(gè)好處，它的矢量可以相加，可以相減，它還有種種不同的乘法。所以你就可以用解析的方法處理幾何的情形。那么一般的流形怎么處理呢？數(shù)學(xué)家的辦法很簡(jiǎn)單，就是在流形的每一點(diǎn)弄一個(gè)切平面。每一點(diǎn)都有個(gè)矢量空間，叫切空間，跟它相切，歐幾里得空間只有一個(gè)切空間。

現(xiàn)在的空間情況復(fù)雜了一些，每點(diǎn)都有一個(gè)切空間，但都是平坦空間。這個(gè)現(xiàn)象在幾何上有一個(gè)重大的發(fā)展，就是把切空間豎起來。反正是一把矢量空間，給流形的每點(diǎn)一個(gè)矢量空間，不一定要是流形的切平面或切空間。我們就叫它為纖維叢，或叫矢量叢，矢量空間叢。這個(gè)我想比愛因斯坦的（相對(duì)論）還要重要。

麥克斯韋方程就是建立在一個(gè)矢量叢上。你不是要一把矢量空間嗎？最好的是一把筷子，這里一維最好是復(fù)一維。這把筷子每個(gè)都是復(fù)空間，它是騙人的一維，其實(shí)是二維，是復(fù)數(shù)空間。有復(fù)數(shù)就好玩了?，F(xiàn)在是一把復(fù)線，你如果能有法子從這個(gè)纖維到另外一個(gè)纖維有一個(gè)我們所謂的平行性的話，你就立刻得到麥克斯韋方程。

現(xiàn)代文明都靠電，控制電的方程的是麥克斯韋方程。現(xiàn)在纖維叢上有一個(gè)平行性，這個(gè)平行性的微分，等于電磁場(chǎng)的強(qiáng)度F，然后你把這個(gè)F再求它的另外一種微分（余微分）的話，就得到流矢量J。用兩個(gè)簡(jiǎn)單的式子，就把麥克斯韋方程寫出來了。普通你要念電磁學(xué)的書的話，當(dāng)然需要了解電磁的意義，對(duì)此我不了解。但是要了解電磁學(xué)的意義，把方程全部寫出來的話，書上往往是一整頁，種種的微分呀什么的，講了一大堆。其實(shí)簡(jiǎn)單地說，也就是平行性的微分是場(chǎng)的強(qiáng)度，而場(chǎng)的強(qiáng)度經(jīng)過某個(gè)運(yùn)算就得到它的流矢量。這就是麥克斯韋方程，與原來的完全一樣。所以麥克斯韋方程就是建立在一維的纖維叢上，不過是一個(gè)復(fù)一維的纖維叢。你怎樣把每個(gè)纖維拼起來呢？我們需要群的觀念。

有一個(gè)群，群里有一個(gè)運(yùn)算，把一個(gè)纖維可以挪到另一個(gè)纖維。纖維如果是一維的，即使是復(fù)一維的話，我們需要的群仍舊是可交換的群。楊振寧先生了不得。他可以用到一個(gè)不必交換的群，也很簡(jiǎn)單，我們叫做SU(2)群。用SU(2)聯(lián)絡(luò)，把同樣的方程式寫出來，就是楊振寧-米爾斯方程：

這有不得了的重要性。

我們搞幾何學(xué)的人覺得有這樣的關(guān)系，物理學(xué)家說你這個(gè)關(guān)系跟物理有關(guān)系，并且有基本的重要性，這是非常困難的。比方說像去年獲諾貝爾獎(jiǎng)的，我想大家都知道崔琦的名字，做理論方面的所謂霍爾效應(yīng)，也用到我們這些工作。我們說我們專搞曲率。你要開一個(gè)車，路如果彎得多了的話你就要慢下來，直的話你就沖，這就是曲率。曲率要是在高維就比較復(fù)雜了，不過也是一些代數(shù)，并且可以做得很巧妙。我的一個(gè)朋友，也是學(xué)生，叫賽蒙斯。我們所做的工作就是曲率，就對(duì)崔琦跟他們一群得諾貝爾獎(jiǎng)的有好處。所以一般講來，在房子里我們只管掃地，想把房子弄弄干凈，弄弄清楚，然后有偉大的物理學(xué)家來說，你們這個(gè)還有道理，這個(gè)我們也很高興。

陳省身的學(xué)生與合作者賽蒙斯

現(xiàn)在幾何不僅應(yīng)用到物理，也應(yīng)用到生物學(xué)中。講到DNA的構(gòu)造，是一個(gè)雙螺線，雙螺線有很多幾何，許多幾何學(xué)家都在研究這個(gè)問題?，F(xiàn)在許多主要的大學(xué)，念生物的人一定要念幾何?，F(xiàn)在有很多人研究大一點(diǎn)的復(fù)合物，這是分子，是由原子配起來的。原子怎么個(gè)配法就是幾何了。這些幾何的觀念不再是空虛的，有實(shí)際上的化學(xué)的意義。

數(shù)學(xué)比其它科學(xué)有利的地方，是它基本上還是個(gè)人的工作。即使在僻遠(yuǎn)的地方，進(jìn)步也是可能的。當(dāng)然搞數(shù)學(xué)需要幾個(gè)朋友，得切磋之益。

注：本文整理自“好玩的數(shù)學(xué)”。

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