對話數(shù)學家劉毅：如何構(gòu)建屬于自己的知識樹
國際數(shù)學家大會（International Congress of Mathematicians，ICM）是由國際數(shù)學聯(lián)盟（IMU）主辦的國際數(shù)學界規(guī)模最大也是最重要的學術會議，每四年舉行一次。開幕式上將頒發(fā)“菲爾茲獎”等世界著名的數(shù)學大獎。大會上，將有來自世界各地的著名數(shù)學家受邀作學術報告，分享他們在各自領域中取得的重大科研成果與進展。ICM報告人身份是極高的學術榮譽，是一個數(shù)學家的工作獲得國際學術界認可和關注的重要標志。
2022年7月，第29屆國際數(shù)學家大會將在俄羅斯圣彼得堡舉行。北京大學數(shù)學學科鄂維南院士受邀作1小時報告；朱小華、章志飛、董彬、劉毅四位教師受邀作45分鐘報告。另有8位北大數(shù)學校友將作45分鐘報告，他們分別是：丁劍、李馳、劉鋼、汪璐、王國禎、徐宙利、周鑫、朱歆文。北大數(shù)院特別策劃“北大數(shù)學ICM2022報告人專訪”，分享他們的數(shù)學研究經(jīng)歷與感悟。《賽先生》經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載。
劉毅老師在北大課堂上
撰文 | 彭永力
拓撲故事
Q：您主要的工作集中于低維拓撲領域，更確切地說是三維流形和雙曲幾何這方面，您能比較通俗地說一下這個領域的概況以及它的起源嗎？
A：如果將基礎數(shù)學各領域大致分一下的話，幾何和拓撲在一塊兒，代數(shù)和數(shù)論在一塊兒，分析和方程在一塊兒。申請國外學校，大方向一般就這么分。幾何和拓撲里面，偏幾何的有辛幾何、復幾何、黎曼幾何等。偏拓撲的，有的人在做代數(shù)拓撲，比如同倫論，另外有所謂的低維拓撲。
低維拓撲出現(xiàn)的時間已經(jīng)比較長。龐加萊在給拓撲學奠基的時候就提出過龐加萊猜想。他當時提出的問題、概念——你隨便翻一本拓撲學的基本教材都可以看到——發(fā)展到現(xiàn)在也有一兩百年的歷史了。而我所做的這一塊（三維流形和雙曲幾何），大概在二十世紀七八十年代有一道分界線。
之前用的方法更加經(jīng)典一些。之后的話，在那個時期出現(xiàn)了William P. Thurston，他用今天所謂幾何化的觀點來考慮三維流形的拓撲。沿著他的這套傳統(tǒng)下來，會比較強調(diào)用八種三維幾何去研究三維流形。
這八種幾何里面七種都比較容易處理，剩下比較不容易處理的、流形最多的就是雙曲幾何。這也是為什么，從那時候到現(xiàn)在，大家經(jīng)常能在三維拓撲的論文和報告中看到雙曲幾何的身影。
荷蘭畫家M.C. Escher創(chuàng)作的《圓極限》之三（Circle Limit III，1959）。作品藝術化地展現(xiàn)了雙曲平面（Poincaré圓盤模型）的一種多邊形鑲嵌。離散群的雙曲幾何是今天低維拓撲的重要研究視角。圖片來源于維基百科（https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_Limit_III）。
Q：那么高維的拓撲和低維的拓撲哪個更難？或者說低維和高維的差別是什么？
A：這是個非常好的問題（笑），而且我覺得它特別能反映非專業(yè)和專業(yè)看法有時很不一樣。假如我沒有做拓撲，我也會很自然地把拓撲分為低維和高維，但其實這不完全符合實際。低維有各種幾何、代數(shù)和分析的結(jié)構(gòu)。它交匯得比較多，就像河流交匯處經(jīng)常有大城市一樣，位置決定了它的內(nèi)容豐富。而說到高維，我們并不是研究完三維研究四維，然后五維、六維，一層一層上去，而是更強調(diào)某種規(guī)律性的結(jié)構(gòu)。
比如你會經(jīng)常看到研究4n加幾維、8n加幾維的流形；不是特定的哪個流形怎樣，而是在這些維數(shù)上面，有什么樣的拓撲不變量。因此低維與高維的對立，主要不在于數(shù)量上的增長，而在于我們看問題方式的改變，包括討論的細致程度，以及整個思考框架的不同。
事實上我自己的經(jīng)驗是，跟一些做拓撲的聊，做低維的會很高興地說“我是做低維拓撲的”，但是好像很少碰到誰說“我是做高維拓撲的”（笑）。有人會說“我是做代數(shù)拓撲的”，或者“做同倫論的”。你確實能看見差別。
其實很多數(shù)學分支也有類似，我們外圍地去看和專門地做問題的時候，思考的模式會很不一樣。比如平常地去想，我們可能感覺費馬大定理陳述比較簡潔，說不定比較容易處理，但顯然不是這樣。它真正的證明，也沒有三四五六那樣一路證明下去，它是以另外的一種組織方式被完成的。
這個圖形叫做Alexander角球，和球面同胚但放在三維空間的方式不同，由此似乎也能想見高維球面的某些性質(zhì)可以很不直觀。圖片來源于維基百科（https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere）。
Q：在這個領域，大家目前想解決的是什么樣的問題？核心問題是什么？
A：我的理解，現(xiàn)在低維拓撲領域想找出一個核心的問題來可能不太容易。當然也有光滑龐加萊猜想這種。龐加萊猜想的拓撲版本是所有維數(shù)都已經(jīng)證出來了的，但四維光滑情形還沒有解決：四維的光滑的同倫球是否光滑同胚于標準的四維球？
另外有一些問題，屬于那種“它有朝一日被證出來了就會成為核心的問題”（笑），但要是沒有方法奔著它去做的話，也可能放個五年十年沒有太多的進展，大概就不算通常意義上的核心。
這類問題在三維里面，有扭結(jié)的體積猜想，其實它最近有一些類比的情形還挺活躍。四維里面，八分之十一猜想（英文：11/8 Conjecture）是與微分拓撲有關的。還有的問題，跟多個方向的聯(lián)系有關，更像一種目標或者期待，比方說想把規(guī)范理論和雙曲群論之類的東西聯(lián)系起來。
這部分現(xiàn)在只有些初步的猜想，比如，是不是所有雙曲四維流形的Seiberg-Witten不變量都是零？像這樣大大小小的猜想，哪一個做出來都能使得幾年內(nèi)的幾個細分領域進步一大步。
Q：所以其他領域的研究可以為您的科研帶來幫助嗎？我也曾在一些代數(shù)的報告和短期課程上看到您。
A：特別是三維雙曲幾何會如此。它和很多數(shù)學分支都有聯(lián)系。比如和有限體積的雙曲流形有關系的，直接的就有單李群的調(diào)和分析、表示論；然后，因為基本群是雙曲群，所以雙曲流形和幾何群論有關；因為很多三維雙曲流形能做成圓圈上的曲面叢，于是它們可以和曲面動力系統(tǒng)產(chǎn)生聯(lián)系，同調(diào)群上還可以和矩陣的動力系統(tǒng)產(chǎn)生聯(lián)系；還有算術雙曲流形，它們是通過某個數(shù)域的整數(shù)環(huán)構(gòu)造出來的，所以可以和算術產(chǎn)生聯(lián)系。
所以說這個領域確實和很多數(shù)學相關。這種感覺在你寫論文的時候或許還不強烈，但是你去讀論文，或者去開稍微大一點兒的會，坐在會場里面，臺上作報告的人提到的背景知識常常就涉及前面的各個領域。我想這應該是低維拓撲領域共同的特點，尤其在今天，它就是和不同分支相互勾連。甚至有的工作需要你真讀過其它領域的論文才能明白。
數(shù)學中心學術活動現(xiàn)場
Q：所以三維流形這個領域還是和其他分支聯(lián)系得非常緊密的。但現(xiàn)在有一部分人認為現(xiàn)在的數(shù)學分支之間愈發(fā)展離得愈遠，可能做分析的聽不懂做代數(shù)的在干什么。但是像您之前說的，在有些問題上可能確實要用到不同分支的知識才能解決。像這樣一種有些對立的情況您是怎么看的？
A：首先，我覺得你說的兩種感覺無疑都是存在的, 而且都是真實的（笑）。但分支間的隔閡其實沒有傳言地那么大。學數(shù)學的都有些共同的背景，比如本科、研究生時代打下的基礎。那么跨界的交談更可能是這樣：如果我們在過道碰上，你飛快一說，我聽不懂；但如果我們在辦公室聊一個鐘頭，我大概也能有一點懂。
人與人交談的時候，能夠最有效傳遞的信息，往往不是證明的底層實現(xiàn)，像“我這個反證法怎么著推出矛盾”，而是在整體框架上的，比如我告訴別人，我在用某種分層的樹狀的歸納法處理手上的問題，那即使別人不是做拓撲的，也多少能夠理解。
又比如，經(jīng)常有一些數(shù)學話題，盡管沒有統(tǒng)一的理論，但在兩套系統(tǒng)中的行為非常像。我們討論的時候就會說“我說的這個就相當于你說的那個”，也很有用，甚至還有啟發(fā)?？傊制绮⒉粯?gòu)成一種絕對的阻礙，至少今天的數(shù)學還是如此。
當前工作
Q：因為老師明年要在國際數(shù)學家大會上做45分鐘的報告，所以想請您簡要介紹一下您最近的工作?；蛘呦雴栂履髂隃蕚渲v什么樣的內(nèi)容？
A：明年我要講的應該主要是以前做的McMullen猜想。這是曲面自映射里邊出來的問題。在可定向閉曲面的自同胚里，我們有比較經(jīng)典的Nielsen-Thurston分類，即一個結(jié)構(gòu)性的分類：它把曲面分成若干不變的部分，每一部分的作用有特定的形式，就像幾何化一樣。
其中有兩種關鍵的形式，一種周期的，一種叫偽Anosov的（英文：pseudo-Anosov）。周期的比較簡單，它迭代幾次就回來了。偽Anosov的比較復雜，因此做動力系統(tǒng)的數(shù)學家引進一個叫熵的概念去描寫它。熵這個詞原來就是用來描寫復雜性的。
猜想的雛形是問：只要這個自同胚的對應分解里邊有偽Anosov的部分，是不是它誘導在同調(diào)群上的作用，就有一個模長大于1的特征值？不過，只看同調(diào)（基本群的交換化）誘導的作用會丟失很多信息，很有可能這就是個平凡的作用。所以，問得更高明一點兒是：如果有偽Anosov的部分，是否存在一個有限覆疊，使得提升上去的同胚在同調(diào)上可以看見一個模長大于1的特征值？
這就是McMullen的猜想，我之前有篇文章證明了它。其實初看起來，這不是三維流形的問題，它只涉及二維、曲面的自同胚。但對于偽Anosov的自同胚，如果把它乘以一個區(qū)間，再把乘積空間兩端（通過自同胚）粘起來，就得到一個三維流形。幾何化定理告訴我們這是個雙曲流形，從而雙曲群的一些技巧是可以使用的。
更進一步，你還可以分析它的周期軌道，就是它上面的所謂懸掛流（英文：suspension flow）的周期軌道。于是這樣一個看起來不太像三維的問題卻可以用它們的方法去解決。像這樣把三維雙曲流形最近的發(fā)展和原來Nielsen-Thurston分類產(chǎn)生的曲面動力系統(tǒng)理論聯(lián)系起來，這是我主要想講的部分。
由D. Sullivan和W.P. Thurston在1971年繪制的壁畫。原圖畫在美國加利福尼亞大學伯克利分校的數(shù)學系走廊墻上（今已抹去），內(nèi)容為平面上的標記三點和一條簡單閉曲線。與之相關的辮群的數(shù)學啟發(fā)Thurston思考了偽Anosov自同胚理論。照片摘自L. Mosher的簡介短文“What is a train track?”（Notices AMS, Vol. 50, No. 3.）
Q：那么您是怎么會想要去做現(xiàn)在這個問題？他跟您之前的工作有沒有什么聯(lián)系，是怎么樣從一個起點一步一步走到這兒的？
A：其實我到目前做過的幾個問題都是互相聯(lián)系著的。比較早的時候——大概2012年前后我博士畢業(yè)那會兒——有人曾經(jīng)提出過一個有關同調(diào)撓率增長率（英文：homological torsion growth）的猜想。
那個猜想考慮的是三維雙曲流形整系數(shù)同調(diào)群的撓元素部分。它的數(shù)量在有限覆疊上的增長指數(shù)，猜測可能和雙曲流形的體積有聯(lián)系。這不是一個表述確信無疑的猜想，還需要方方面面的嘗試。某個時候，我感覺它可能和L2-Alexander 撓率有關系，就去學這方面的內(nèi)容，再考慮原來的問題。我之前有個結(jié)果就是這個過程里證出來的。
當然還會有一種情況：你奔著某個方向努力，最后也不一定能證出來。但在這期間讀到別人的工作，你可能更容易領會其中的精神，產(chǎn)生想法，從而解決一些其他的問題，像我在McMullen猜想上那種經(jīng)歷。通常來講，許多數(shù)學家平時心里都有若干不同的問題，不同的方向。考慮的時候它們互相都能有啟發(fā)。
輪胎面到自身的Anosov自同胚的一例，把單位正方形對邊粘合起來看作輪胎面，上方左下角的貓頭通過線性變換的兩次迭代變成下方斜向拉伸的復雜圖案。這幅著名的插圖摘自V.I. Arnol’d和A. Avez合著的《經(jīng)典力學的遍歷問題》（Ergodic Problems of Classical Mechanics），稱為Arnol’d的貓映射（cat map）。
數(shù)學家是怎樣煉成的
Q：那么對于您的數(shù)學生涯來說，誰是對您影響比較大的人？他是怎樣影響您的？
A：數(shù)學上對我影響最大的人……這個問題的標準答案當然是“我的導師”，對吧？（笑）他確實對我影響很大，而且就我觀察，很多學生都多少從導師身上學到一些東西。比如想問題、看問題的方法。
我現(xiàn)在想起來，我導師拿到一個定理，（這個定理）可能是用很fancy（花哨）的語言寫出來的，但他會慢慢地看，然后用一種特別基礎的語言翻譯出來，比如說“這個定理實際上就是證明了矩陣的秩小于等于它的行數(shù)和列數(shù)”。
他就是用這種所謂“down-to-earth（落實）”的方式去理解數(shù)學，哪怕它原本呈現(xiàn)出來的是一種很fancy的形式。我和他接觸，在這些點滴細節(jié)方面，我想他對我的潛移默化的影響是非常大的。
Q：我也曾經(jīng)上過您的課，感覺您課講得挺好的。想問下有一些這方面關于上課、給報告的經(jīng)驗或建議嗎？
A：最簡單的建議就是要多講吧。講的時候聽眾會提問，我們自己會想著怎么安排。當我沒有經(jīng)驗的時候，有的細節(jié)可能會拿捏不好。
比如，我在筆記本上引理1、引理2，邏輯順序?qū)懙梅浅Ｇ宄恢钡阶詈?，證畢，方框。但實際講的時候，第一，我可能就寫不完……意識到寫不完，我可能就寫得很快。聽眾沒有習慣我的這種風格，可能就會失去耐心。
但多講幾次過后，你會知道哪里應該講個例子，或者在什么地方可以把前面打廣告說的話再說一遍，甚至在什么時候應該停一下，帶著大家一起回顧一下。有時候并不是說你在黑板上寫下一個完整的證明就是最好的，而是應該挑出關鍵的部分。比如你可以講一個證明，它的困難在哪里，然后啟發(fā)式地去說，解決這個困難可以走哪些途徑。
經(jīng)常作報告、跟同行交流以及講課，有了一些經(jīng)驗后，你對自己的講解能力會有一些把握，對于聽眾平均的理解能力也有一定把握。再加上一些處理突發(fā)狀況的經(jīng)驗，你的課堂、學術報告之類就有希望控制得比較好。
劉毅老師在數(shù)學中心做學術報告
Q：您之前是在（美國加州大學）伯克利分校攻讀博士，在加州理工做博士后，并且之后也在國內(nèi)外多個機構(gòu)訪問過。所以想問下您，國內(nèi)和國外現(xiàn)在這種研究的環(huán)境有什么不同嗎？
A：研究環(huán)境上，我感覺比較明顯的是和聽報告、作報告有關的部分。在美國的知名大學，基本上每個星期都有各個方向的討論班。微分幾何有一個，拓撲也有一個，等等。
并且很方便就能從（美國）國內(nèi)各個學校請來博士生、博士后，講他們正在進行的工作，或是之前的工作。我們這種機會就不太多，博士生來給報告的就更少。相對多的是國際訪問學者給報告，或者國內(nèi)學者互相給報告。
由此帶來的區(qū)別是，比如在一個像我這樣的留學生看來，每個星期布告欄上的討論班都是滿的，經(jīng)常去聽就比較容易聽到現(xiàn)在大家正在做的、并且可能是對于年輕學者來說更容易上手的問題。
在這種良性循環(huán)的環(huán)境下，你比較容易聽到新鮮的課題，并且聽多了你自然就會找來看，就像現(xiàn)在網(wǎng)絡某個推送到了你手上，你大概率會點開（笑）。我感覺國內(nèi)在這種交流的頻率上，以及它的層次上，還是有改進的空間的。
北京國際數(shù)學研究中心辦公院落外景
Q：剛才我們聊到對學生方面的期望，那么想問一下您對學生有什么樣的要求或者建議？
A：我想建議是要試著去了解、去想象你所在的領域或者更大范圍的數(shù)學，它到底是什么樣子的？具體比如說，跟你最切近的這些問題或者方向，它最近幾年的來龍去脈，最近十幾年、二三十年或者再長時段的來龍去脈，你應該要能說出來。世界上現(xiàn)在有哪些人、哪些機構(gòu)在這個方向？你做的或是你關心的東西，它們邏輯上可能和數(shù)學的哪些分支有聯(lián)系？它們之間的橋是怎么搭起來的？
這樣的知識很難說會有人提溜著耳朵告訴你，很多時候要通過自己給自己提問（來獲得）。你自己想辦法從網(wǎng)上、從文獻里挖也好，跟人交流也好，或者你通過聽報告，甚至是讀一些什么名著、傳記之類的來得到答案?？傊阋ㄟ^自己的方法把它構(gòu)建起來。
你現(xiàn)在構(gòu)建的這么一個圖景，它可以是錯的。它應該是動態(tài)的，經(jīng)過時間，它是可以不斷地被修改、被完善的。最終它將會長成你的知識樹、技能樹的一部分。總之，我覺得同學們除了在課程布置的任務之外，還要試著自己去建立這樣一種認知體系，以及培養(yǎng)建立它的那種素質(zhì)。
Q：您在做問題的時候肯定會遇到做不來的或是做不下去的時候，這時候您會做些什么事情呢？
A：其實我問過我導師這個問題！他當時說：“Then you do something else.（那你就干點兒別的事情。）”然后他又想了一下：“Well, something math.（好吧，數(shù)學的事情。）”（笑）
我想，也不光是說目前一個問題做不下去了，才再看些其他的數(shù)學。有時候你可以暫停手上的活兒，去刻意地看些離你比較遠的數(shù)學：它可以是你十幾年前學的時候就沒學明白的，現(xiàn)在抓起來再看一看。也可以是今天聽的報告，誰誰誰提到扭結(jié)和素數(shù)之間的類比，我之前完全不知道這方面的內(nèi)容，去找一找相關的講述。
無論如何，我想做不出什么東西的時候，一個比較好的應對確實是去做些其他的事情，多多少少跟數(shù)學有些關系的事情，保持和數(shù)學的接觸。你的接觸面總是能夠產(chǎn)生學習，像晶體生長一樣的。
其實，作為做數(shù)學的人，在經(jīng)過了充分長的時間后，你應該會想到：本科生讀數(shù)學，這只是他的學業(yè)；而研究員或者大學教授，數(shù)學就是他的職業(yè)生涯里最主要的一部分。這個時候，數(shù)學在你面前就會感覺不太一樣。
你的目標會分得更散一些，你看到的數(shù)學不再是那么的整套。更多的時候，你是在讀某幾篇有所圍繞的文章，去梳理某個問題的發(fā)展，“我想把它看清楚”；或者是在學習某個名詞、某個概念，“我想把這個東西搞明白”。
數(shù)學呈現(xiàn)為更分散的目標，并且當這種目標達成得足夠多了過后，數(shù)學在你面前就不再是像平時所說的代數(shù)、分析、幾何，這么三塊兒分出來。它更像是一種互相之間原本就聯(lián)系著的什么，是那種枝葉交通的感覺。
Q：您論文里要用到“virtual” （如“virtual homological spectral radius”）這個詞，您在中文里把它翻譯成“庶幾”。感覺這個翻譯挺有趣的，您當時是怎么想到的？
A：其實我一般給報告的時候，能避開說它的中文我都會盡量避開。不過中文的材料里有時你得抓一個翻譯。英文的“virtual”這個詞是從“almost”過去的, 但是“almost”當時已經(jīng)被用掉了，所以（群論里面）開始用“virtual”。
在中文里，你需要找一個跟“幾乎”同義的、形容詞和副詞都能用的、代入能造句的、放在文章里長得不太突兀的、最好看上去還知道是術語的詞。這樣好像也就剩不下幾個詞了……目前這個詞沒有標準翻譯。
“
人物簡介
劉毅
1983年出生。2006年本科畢業(yè)于北京大學，2012年獲美國加州大學伯克利分校數(shù)學博士學位，2012年9月至2015年6月在美國加州理工大學從事博士后研究工作，2015年7月入職北京大學北京國際數(shù)學研究中心，現(xiàn)任北京大學博雅特聘教授、博士生導師、國家杰出青年基金獲得者。曾獲“求是”杰出青年學者獎。劉毅老師是年輕一代幾何與拓撲領域優(yōu)秀的青年數(shù)學家，其主要研究方向為三維拓撲和雙曲幾何。
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制版編輯 | Morgan
