阿蒂亞的思路與方法到底有沒有可取之處？
「這條路如果最終能夠走通，Atiyah的文章就是具有歷史意義的了?！?/span>
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撰文 | 葉揚波
這幾天大家都非常關(guān)心Atiyah證明黎曼猜想的事情。作為一名數(shù)論工作者，我自然也非常關(guān)心，而且反復閱讀了Atiyah的兩篇論文?，F(xiàn)在所有的人都在說他的證明不對，我想要進一步弄清楚（1）他是用什么思路什么方法來研究黎曼猜想的，（2）他的所謂證明是否嚴格，（3）即使他的證明是錯的，他的思路方法是否有可取之處?，F(xiàn)在談?wù)勎业目捶?，以補充大家的熱議。
首先給大家科普一下黎曼猜想。微積分里咱們學過，1/1，1/2，1/3，... 這些分數(shù)無窮地加下去是無窮大。但是當s>1的時候，如果給每一個這樣的分數(shù)取s次方，(1/1)^s, (1/2)^s, (1/3)^s, ... 無窮地加下去會得到一個有限的和。這個和叫做黎曼ζ-函數(shù)，記作ζ(s)。
如果你還學過復變函數(shù)論，就知道ζ(s)里的s不一定非取s>1不可，取實部Re(s)>1也可以，而且ζ(s)還可以解析延拓到整個復平面C上。可以證明這個函數(shù)在帶形區(qū)域0<Re(s)<1中有無窮多個零點，它們叫做非平凡零點。黎曼猜想是說所有非平凡零點的實部Re(s)=1/2。
黎曼ζ-函數(shù)（圖源：youtube）
要是上面提到的這兩門課你都沒有學過，說明你的數(shù)學學的太少了。那好，現(xiàn)在咱們回到前面提到的三個問題。
問題（2）最容易回答，老先生的文章的確有許多漏洞。比如最關(guān)鍵的Todd函數(shù)T(s)他說在任意凸區(qū)域內(nèi)是多項式，我覺得他應該說T(s)在凸區(qū)域內(nèi)是局部多項式。他又說T(s)把直線Re(s)=1/2映射到自己，可是又說T(s)在這條直線上的極限為137.035999... 他說T(s)在這條直線上是單調(diào)增，可是他明明剛說過T(s)在凸區(qū)域1/4<Re(s)<3/4, |Im(s)|<a上是（局部）多項式。這樣的邏輯混亂使得這個Todd函數(shù)是否存在都令人懷疑，尤其是T(s)的定義也是給的不明不白的。
更加致命的錯誤可能是用T(s)來證明黎曼猜想。老先生用T(s)和黎曼ζ-函數(shù)作了一個復合函數(shù)，宣稱該復合函數(shù)恒等于零，用這個矛盾推出黎曼猜想成立?？墒沁@個證明過程中沒有用到ζ(s)的任何性質(zhì)與定義，也就是說你可以把ζ(s)換成任何其他函數(shù)也能證明出來類似的定理。這就有點天方夜譚了。
Atiyah的證明是建立在實數(shù)域R上的von Neumann代數(shù)A和有理數(shù)域Q上的Hirzebruch代數(shù)A(Q)上的。這兩個代數(shù)超級巨大，比如A是2x2復矩陣代數(shù)與自身的無窮張量積的弱閉包。2x2復矩陣有兩個映射到復數(shù)域C，為矩陣映到其兩個特征值。老爺子把這兩個映射擴充到A的中心C(A)上，用這兩個映射一來一回定義T(s)?？墒蔷仃嚧鷶?shù)的中心不是都由相同對角元素的對角矩陣組成的嗎？這兩個特征值是一樣的對不對？就算兩個特征值不一樣，你憑什么說哪個是第一個哪個是第二個？尤其是還要來一個無窮張量積，全裹和到一塊兒去了，這樣定義出來的T(s)實在令人費解。
回到問題（1），大家已經(jīng)看出來了，Atiyah的理論是建立在巨大無比的兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)上的。這兩個巨大的代數(shù)一個在R上，一個在Q上，它們之間的關(guān)系包含了所有的數(shù)論信息。而以這兩個代數(shù)中的元素作為線性算子，它們的特征值為所謂的證明提供了核心的基礎(chǔ)框架。不管證明對不對，上面這幾句話概括了Atiyah的思路與方法。
那么問題（3）來了，到底Atiyah的思路與方法有沒有可取之處？
近年來數(shù)論界對黎曼猜想的研究，公認的一個進展是發(fā)現(xiàn)了黎曼ζ-函數(shù)的非平凡零點與重原子能級有同樣的統(tǒng)計分布。重原子能級是量子力學中Hamiltonian算子的特征值。這個發(fā)現(xiàn)一度被認為是自黎曼猜想之后人類對黎曼ζ-函數(shù)的第二個重大發(fā)現(xiàn)。但是幾年之后一位學者在德國的一家圖書館翻閱黎曼數(shù)學手稿，赫然發(fā)現(xiàn)黎曼在計算黎曼ζ-函數(shù)零點的手稿的紙背，寫有大量關(guān)于原子能級的計算。這一下真相大白，原來黎曼早就意識到了非平凡零點與重原子能級之間的可能聯(lián)系。
從此數(shù)論學家們的目標就是要找到這樣一個算子，使得它的特征值是黎曼ζ-函數(shù)的非平凡零點。然后通過研究這個算子，就像對稱算子特征值均為實數(shù)一樣，證明所有非平凡零點的實部均為1/2，從而證明黎曼猜想。而這個思路在有限域上的函數(shù)域上已經(jīng)被證明了。
在這個意義下來說，Atiyah的思路是對的。算子有了，特征值也出現(xiàn)了。是不是他用的von Neumann算子代數(shù)和Hirzebruch算子代數(shù)真的包含了大家夢寐以求可以用來證明黎曼猜想的那個算子，或者可以在其之上構(gòu)建出這樣一個算子，我想在這未來的幾年里一定會研究輩出。大家翹首以待吧，或者最好親身加入這個研究的行列。這條路如果最終能夠走通，Atiyah的文章就是具有歷史意義的了。
作者簡介 葉揚波博士于清華大學本科畢業(yè)，后來在美國哥倫比亞大學取得博士學位，專業(yè)方向為數(shù)論與醫(yī)學成像。葉教授現(xiàn)在任職美國愛荷華大學數(shù)學系教授，并兼職山東大學長江講座教授，山東大學齊魯醫(yī)學院高等醫(yī)學研究院研究員。
