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“獨(dú)孤信印”上了高考數(shù)學(xué)試卷

2019/06/20
導(dǎo)讀
高考結(jié)束后,終于開(kāi)始討論數(shù)學(xué)題了

pixabay.com


撰文 | 劉   鈍

 

  

 

今年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)II卷有一道填空題,涉及到一個(gè)叫做 “獨(dú)孤信印” 的多面體。筆者曾在《數(shù)學(xué)文化》2018年第1期發(fā)表一篇小文,詳細(xì)描繪了獨(dú)孤信印的由來(lái)、幾何構(gòu)造及求棱長(zhǎng)的算法。不知命題人是否看過(guò)那一期的《數(shù)學(xué)文化》或推送過(guò)該文的《科學(xué)春秋》微信公眾號(hào)獨(dú)孤信印與秦漢酒骰的幾何學(xué),但可以肯定的是,中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)不含半正多面體的內(nèi)容,此前從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的角度來(lái)討論這一出土文物的似乎也僅見(jiàn)筆者一家。難怪連日來(lái)網(wǎng)上關(guān)于這道題的討論熱鬧非凡,有人留言說(shuō) “果然是獨(dú)孤天下了”,大概是說(shuō)題目出得有些偏。

 

以下為原題:


2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)II試卷第16題

 

依筆者看,這個(gè)題目還是蠻好的,除了前述拙文介紹的解析幾何解法外,還可以借助普通的平面幾何、立體幾何或三角知識(shí)來(lái)解,難度不算太大,分?jǐn)?shù)比例也不高(兩小問(wèn)共5分),但有利于拉開(kāi)善于靈活解題考生與啃書(shū)族的差距,特別是有助于考察優(yōu)秀學(xué)生的幾何直觀。


現(xiàn)在網(wǎng)上已經(jīng)公布了所有解答題的標(biāo)準(zhǔn)解法,唯選擇與填空題只給出正確答案而不及解法。這里筆者再提供一個(gè)利用平面幾何求此半正多面體棱長(zhǎng)的解法,關(guān)鍵是要根據(jù)提示的“所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上”畫(huà)出這個(gè)正方體來(lái),如下圖:

 

48等邊半正多面體棱長(zhǎng)與其外切正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系

 

根據(jù)形體對(duì)稱(chēng)與頂點(diǎn)在正方體面上這兩個(gè)條件,可知上圖中三角形ABC是個(gè)等腰直角三角形,


至于這個(gè)半正多面體的面數(shù),根據(jù)圖示并考慮形體的對(duì)稱(chēng)性,不難看出共有26個(gè)面:其中18個(gè)為正方形,8個(gè)為正三角形。

 

媒體上有個(gè)留言頗合吾意,說(shuō) “終于有媒體在高考結(jié)束之后討論數(shù)學(xué)題了,算是全民數(shù)學(xué)啟蒙的開(kāi)始吧,數(shù)十年來(lái),每次高考結(jié)束,所有媒體都在討論語(yǔ)文試卷,討論語(yǔ)文作文,高考只考語(yǔ)文嗎?不是的,因?yàn)槊襟w記者們只看得懂語(yǔ)文,數(shù)學(xué)物理化學(xué)生物,理科類(lèi)的高考內(nèi)容是在媒體人們的理解外的。全民科普,普及理科知識(shí)也是重中之重啊!” 至于 “沒(méi)事就應(yīng)該多帶孩子逛逛博物館”,乃至這兩天陜西省博物館里這個(gè)小物件前擠滿了學(xué)生和家長(zhǎng);還有對(duì) “最牛老丈人” “最美大將軍” 的關(guān)注,那都超出筆者的預(yù)期了。

 

附. 立體解析幾何求棱長(zhǎng)法


 

將48等邊半正多面(獨(dú)孤信印的幾何體)及其外切立方體置于三維直角坐標(biāo)系內(nèi),如上圖。設(shè)半正多面體棱長(zhǎng)為a,已知立方體棱長(zhǎng)為1,則有: 



參考文獻(xiàn)

劉鈍.2018.獨(dú)孤信印與秦漢酒骰的幾何學(xué).數(shù)學(xué)文化.第9卷第1期.62-69.(互見(jiàn)《科學(xué)春秋》公眾號(hào))

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)II試卷.

 

制版編輯 | 皮皮魚(yú)

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