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走向融合：牛奶、咖啡與2020年阿貝爾獎(jiǎng)

2020/04/29
導(dǎo)讀
因?yàn)椤叭诤稀绷烁鱾€(gè)分離已久的數(shù)學(xué)分支，出生在德國(guó)和出生在蘇聯(lián)的兩位數(shù)學(xué)家分享了2020年的阿貝爾獎(jiǎng)。

截至北京時(shí)間4月29日16時(shí)，全球新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)超310萬(wàn)，其中，死亡病例數(shù)超21萬(wàn)。
制圖：賽先生（數(shù)據(jù)來(lái)源：Worldometer）

“所謂數(shù)學(xué)家，就是能夠發(fā)現(xiàn)定理之間相似之處的人。好的數(shù)學(xué)家能夠看到證明之間的相似。最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家則能夠看到理論之間的相似。可以想象，終極的數(shù)學(xué)家應(yīng)該能夠看到相似之間的相似?！?/span>
 
              ——斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach，1892–1945）

撰文 | 方 弦
責(zé)編 | 李珊珊

圖源：abelprize.no

取來(lái)一杯黑咖啡，在電腦前坐下來(lái)，你將準(zhǔn)備好的牛奶倒進(jìn)咖啡，然后用勺子慢慢攪拌，咖啡很快就從黑白分明變成了棕色，散發(fā)出溫和的香味。然后你在電腦上看到這樣的文字：
 
假設(shè)X是一個(gè)上密度為正的自然數(shù)集合，那么對(duì)于所有的正整數(shù)k，在X中都存在一個(gè)長(zhǎng)度為k的等差數(shù)列。
 
這似乎跟你和你的咖啡毫不相干，但阿貝爾獎(jiǎng)，也可以說(shuō)是數(shù)學(xué)界的終身成就獎(jiǎng)，今年的兩位得主希勒爾·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）和格里戈里·馬爾古利斯（Grigory Margulis）獲獎(jiǎng)的原因，正是他們看到了攪拌咖啡和代數(shù)、數(shù)論以及組合的某些問(wèn)題之間的相似性，并由此解決了許多問(wèn)題，發(fā)展出了新的數(shù)學(xué)分支。
 
但在具體解釋兩位獲獎(jiǎng)?wù)叩墓ぷ髦埃覀兿葋?lái)考慮一個(gè)問(wèn)題：為什么將加了牛奶的咖啡攪拌之后，它就會(huì)慢慢變得均勻？

—1—

結(jié)局與路線(xiàn)

圖源：pixabay.com

這個(gè)問(wèn)題似乎太簡(jiǎn)單了，本來(lái)分開(kāi)的東西，攪拌一下就會(huì)混合起來(lái)，咖啡是這樣，顏料也是這樣，這都是天經(jīng)地義的事情，還用問(wèn)嗎？
 
問(wèn)題在于，這并不是天經(jīng)地義。比如說(shuō)水和油，如果隨便攪拌一下的話(huà)，只消靜置幾分鐘，水和油就又分離開(kāi)來(lái)了。雖然在特定的條件下，油可以分為極其細(xì)小的油滴懸浮在水中，與水均勻混合，比如說(shuō)牛奶就是這樣，但這種狀態(tài)并不是絕對(duì)穩(wěn)定的。比如說(shuō)，拿起半瓶牛奶用力搖晃十幾分鐘后，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)牛奶分成了固體和液體兩部分，固體部分就是奶油，也就是原來(lái)懸浮著的油滴。
 
那么，為什么牛奶和咖啡可以輕易混合，但水和油卻不行呢？物理中的熱力學(xué)給出了答案：水分子和油脂分子非常不喜歡靠近對(duì)方，硬要混合它們就需要很大的能量，而如果順其自然的話(huà)，假以時(shí)日它們會(huì)逐步到達(dá)能量最低的地方，也就是水油分離。牛奶和咖啡的分子沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題，所以能夠均勻混合。
 
這是個(gè)很好的解釋?zhuān)](méi)有回答我們一開(kāi)始的問(wèn)題。熱力學(xué)告訴我們咖啡和牛奶能夠混合均勻，但卻沒(méi)有告訴我們攪拌在其中扮演了什么角色。熱力學(xué)能告訴我們結(jié)局，但對(duì)于如何到達(dá)這個(gè)終點(diǎn)卻是無(wú)可奉告。就像人終有一死，這是熱力學(xué)的答案，但我們更關(guān)心的是這個(gè)人經(jīng)歷了什么，是重于泰山還是輕于鴻毛。能告訴我們這些的，是物理的另一門(mén)分支，也就是動(dòng)力學(xué)。
 
太陽(yáng)系，圖源：pixabay.com
 
動(dòng)力學(xué)研究脫胎于龐加萊對(duì)天體力學(xué)的研究。自從牛頓發(fā)現(xiàn)天體流轉(zhuǎn)和蘋(píng)果落地同樣遵循萬(wàn)有引力的同一套微分方程之后，人們就開(kāi)始利用微積分的語(yǔ)言來(lái)描述和研究行星的運(yùn)動(dòng)，也依此發(fā)現(xiàn)了海王星。自此之后，數(shù)學(xué)家將同樣的一套方法論應(yīng)用到不同的物理體系甚至數(shù)學(xué)體系中，也就形成了一門(mén)新的學(xué)科。
 
動(dòng)力學(xué)研究的，就是物理系統(tǒng)怎么樣從一種狀態(tài)演變?yōu)榱硪环N狀態(tài)。被攪拌著的咖啡和牛奶構(gòu)成了一個(gè)所謂的“動(dòng)力系統(tǒng)”，而動(dòng)力學(xué)研究的，則是各種各樣的動(dòng)力系統(tǒng)如何隨時(shí)間而演變。無(wú)論是鐘擺來(lái)回?fù)u動(dòng)，還是氣象風(fēng)起云涌，甚至連太陽(yáng)系的運(yùn)轉(zhuǎn)，都可以看成某種動(dòng)力系統(tǒng)。而對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的研究，隨著研究對(duì)象越來(lái)越多，也逐漸變得越來(lái)越抽象，最后演變?yōu)橐婚T(mén)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。

—2—

飄搖的軌跡


為了研究不同的動(dòng)力系統(tǒng)，數(shù)學(xué)家引入了狀態(tài)空間的概念，在物理學(xué)中也叫相空間，它是一個(gè)抽象的幾何空間，其中每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于動(dòng)力系統(tǒng)的某個(gè)特定的狀態(tài)。
 
比如說(shuō)，如果考慮太陽(yáng)系行星這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的話(huà)，可以固定太陽(yáng)的位置為原點(diǎn)，而八大行星各自的位置和速度就組成了動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)。每個(gè)行星的位置和速度都分別需要3個(gè)數(shù)來(lái)描述，合起來(lái)的話(huà)，要描述太陽(yáng)系行星這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)就需要48個(gè)變量，而它對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間也就是一個(gè)48維的空間。動(dòng)力系統(tǒng)隨時(shí)間的演變就相當(dāng)于狀態(tài)空間中點(diǎn)的軌跡，而動(dòng)力系統(tǒng)理論研究的就是這些軌跡的行為。
 
不同的動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間中也有著各種各樣的軌跡。比如說(shuō)太陽(yáng)系對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間，有的軌跡經(jīng)過(guò)一段時(shí)間就會(huì)一去不復(fù)返，這就意味著某個(gè)行星永遠(yuǎn)地離開(kāi)了我們；有的軌跡是閉合的，一次又一次地重復(fù)自身，形成動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的體系；有的軌跡雖然不會(huì)完全重復(fù)自身，但卻會(huì)無(wú)限靠近某條閉合的軌道；有的軌跡卻更加任性妄為，行為捉摸不定，但卻像被某種奇異的力量吸引著，永遠(yuǎn)不會(huì)遠(yuǎn)走高飛?？梢哉f(shuō)，這些軌跡就決定了動(dòng)力系統(tǒng)的性質(zhì)，所以動(dòng)力系統(tǒng)理論的研究目的之一，就是刻畫(huà)這些軌跡的性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系，還有確定某個(gè)特定的狀態(tài)會(huì)遵循什么樣的軌跡等等。
 

范德波爾振蕩器


因?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)發(fā)源于物理學(xué)，所以人們最初研究的那些動(dòng)力系統(tǒng)，比如星體和天氣，都遵循著刻畫(huà)物理規(guī)律的微分方程，對(duì)其的研究也緊緊遵循著數(shù)學(xué)分析的傳統(tǒng)，其中的重鎮(zhèn)就是俄國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·李雅普諾夫，他對(duì)于連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)中軌跡穩(wěn)定性的判定有著極為重要的貢獻(xiàn)。此外，數(shù)學(xué)家也意識(shí)到，有時(shí)候我們并不需要知道整個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)間的行為，而只需要知道在某些特定的時(shí)間間隔中系統(tǒng)的行為。由此得到的就是離散動(dòng)力系統(tǒng)的概念，其中連續(xù)的時(shí)間變成了離散的時(shí)刻，而動(dòng)力系統(tǒng)本身就決定了這個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)會(huì)如何變換成下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)。
 

 洛倫茲吸引子
（圖片截自數(shù)學(xué)電影《混沌》）

但隨著對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)了那些捉摸不定但卻永不遠(yuǎn)離的軌跡，只要它們的初始狀態(tài)有一絲一毫的偏離，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化，它們就會(huì)踏上完全不同的道路。這就是混沌現(xiàn)象，而對(duì)這種現(xiàn)象的研究也已經(jīng)發(fā)展成混沌理論這一獨(dú)立的學(xué)科，它與概率論、分形都有密切的關(guān)系。同時(shí)，隨著數(shù)學(xué)家研究的動(dòng)力系統(tǒng)越來(lái)越復(fù)雜，他們發(fā)現(xiàn)確定性的微分方程似乎已經(jīng)落后于時(shí)代，反而是描述隨機(jī)性的概率論和描述一般空間的拓?fù)鋵W(xué)更加符合他們的需要。
 
動(dòng)力系統(tǒng)的研究方法就慢慢轉(zhuǎn)向概率以及拓?fù)洌簿痛巳〉昧烁蟮某晒?，也由此擴(kuò)展到了更為廣泛的對(duì)象，不一定是連續(xù)的空間，也可以是離散的對(duì)象。這就給弗斯滕伯格和馬爾古利斯的工作埋下了伏筆。
 

—3—

走遍每個(gè)角落


讓我們回到咖啡的例子。之前說(shuō)到，熱力學(xué)說(shuō)明咖啡和牛奶組成的體系最終會(huì)到達(dá)能量最低的狀態(tài)，但其實(shí)牛奶剛剛倒進(jìn)咖啡之后，它們的能量就已經(jīng)是最低的了！也就是說(shuō)，熱力學(xué)并沒(méi)有說(shuō)明為什么在攪拌之后兩者會(huì)混合起來(lái)而不是仍然分離。
 
如果你熟悉熱力學(xué)，你可能會(huì)說(shuō)這就是熱力學(xué)第二定律的結(jié)論，因?yàn)轶w系會(huì)停留在熵最大的宏觀(guān)狀態(tài)，也就是對(duì)應(yīng)微觀(guān)狀態(tài)數(shù)最多的宏觀(guān)狀態(tài)。對(duì)于咖啡和牛奶來(lái)說(shuō)，就是完全混合的狀態(tài)。此話(huà)不假，但實(shí)際上正是熱力學(xué)第二定律包含了一個(gè)隱含的假設(shè)：體系處于能量相同的任意微觀(guān)狀態(tài)的可能性都是相同的。這個(gè)假設(shè)被稱(chēng)為遍歷假設(shè)，“遍歷”的意思就是體系可以經(jīng)歷所有狀態(tài)，而且這些狀態(tài)對(duì)它來(lái)說(shuō)都是平等的。
 
遍歷假設(shè)自然可以推出熱力學(xué)第二定律，但在動(dòng)力學(xué)上卻并非顯然正確，因?yàn)橥耆锌赡艽嬖谀硞€(gè)狀態(tài)永遠(yuǎn)不能達(dá)到。于是，想辦法證明某種類(lèi)似的結(jié)論就成了數(shù)學(xué)家心頭的一大問(wèn)題。
 
把牛奶加入咖啡中，攪拌之后牛奶還是那么多，只不過(guò)分散在了整杯咖啡之中，攪拌的操作不會(huì)改變牛奶的多寡。許多動(dòng)力系統(tǒng)也是如此：我們可以在狀態(tài)空間中定義某種“容積”的概念，用術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)就是測(cè)度，使得一組占據(jù)一定容積的系統(tǒng)狀態(tài)，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，仍會(huì)占據(jù)著相同的容積。這種動(dòng)力系統(tǒng)被稱(chēng)為“保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)”，“保測(cè)”的意思就是“保持測(cè)度”。
 
龐加萊在研究天體力學(xué)時(shí)就已經(jīng)注意到任何由常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)都滿(mǎn)足這一條件，也就是說(shuō)，所有通過(guò)經(jīng)典力學(xué)構(gòu)建的動(dòng)力系統(tǒng)都是保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)。同時(shí)，它們因此有著特殊的性質(zhì)：如果系統(tǒng)中沒(méi)有任何軌跡會(huì)無(wú)限遠(yuǎn)離的話(huà)，那么從任何初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡，假以時(shí)日，即使不能回到初始狀態(tài)，也可以到達(dá)離它要多近有多近的某個(gè)狀態(tài)。這就是龐加萊復(fù)現(xiàn)定理。
 
龐加萊復(fù)現(xiàn)定理也被另一位數(shù)學(xué)家策梅洛用于質(zhì)疑熱力學(xué)第二定律：如果系統(tǒng)總是能返回初始狀態(tài)的話(huà)，那么混合好的咖啡和牛奶也終有一天會(huì)重新涇渭分明，這似乎正是熱力學(xué)第二定律所禁止的。
 
幸而，正如熱力學(xué)只告訴我們最終結(jié)局，龐加萊復(fù)現(xiàn)定理也只告訴我們最終會(huì)回到某個(gè)非?？拷跏紶顟B(tài)的地方，但沒(méi)有說(shuō)清楚需要多少時(shí)間。通過(guò)仔細(xì)計(jì)算，我們能夠得到大概所需的時(shí)間，也就是所謂的龐加萊復(fù)現(xiàn)時(shí)間。對(duì)于一杯加了牛奶的咖啡來(lái)說(shuō)，這個(gè)時(shí)間比宇宙的年齡還要長(zhǎng)得多，這就保住了熱力學(xué)第二定律作為經(jīng)驗(yàn)法則的地位。但這也意味著，如果我們希望考慮系統(tǒng)長(zhǎng)期的變化，也許不應(yīng)該著眼于單個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，而更應(yīng)該考慮長(zhǎng)期變化的平均值。
 
在二十世紀(jì)30年代，馮諾依曼和伯克霍夫等人各自在這個(gè)方向上的努力最終結(jié)出了成果。他們證明了所謂的“遍歷定理”：
 
假設(shè)由常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)滿(mǎn)足某些假設(shè)，那么給定狀態(tài)空間中的某個(gè)領(lǐng)域，從任意狀態(tài)出發(fā)的演化過(guò)程通過(guò)這個(gè)領(lǐng)域的時(shí)間比例幾乎必然會(huì)趨近于領(lǐng)域在整個(gè)狀態(tài)空間中所占據(jù)的空間比例。比如說(shuō)，如果攪拌的方法滿(mǎn)足某些假設(shè)，那么即使我們不去追蹤咖啡杯里牛奶的某個(gè)液滴劃過(guò)的軌跡，也可以確定它大概有一半時(shí)間會(huì)呆在咖啡杯左半邊。這就相當(dāng)于證明了遍歷假設(shè)在平均意義上是正確的，于是熱力學(xué)第二定律也是如此。
 
那么，遍歷定理中的“某些假設(shè)”到底是什么呢？
 
說(shuō)起來(lái)也簡(jiǎn)單。在狀態(tài)空間中，我們考慮某個(gè)容積不為零，但嚴(yán)格小于整個(gè)空間的區(qū)域。直覺(jué)上來(lái)說(shuō)，如果所有能夠到達(dá)這個(gè)區(qū)域的狀態(tài)恰好就是這個(gè)區(qū)域內(nèi)的所有狀態(tài)的話(huà)，那么遍歷假設(shè)顯然就不成立，因?yàn)閰^(qū)域以外的大量狀態(tài)無(wú)法進(jìn)入這一區(qū)域。神奇的是，只要假定這種區(qū)域不存在，遍歷定理就必然成立。滿(mǎn)足這個(gè)條件的保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)就是所謂的遍歷系統(tǒng)，而遍歷理論就是對(duì)遍歷系統(tǒng)的研究。
 
伯克霍夫也意識(shí)到，他的遍歷定理實(shí)際上并沒(méi)有局限于常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)，而是應(yīng)該對(duì)于其他遍歷系統(tǒng)也成立。后來(lái)的研究者沿著這個(gè)方向，將遍歷定理進(jìn)行了大量的推廣。隨著研究的逐漸深入，人們意識(shí)到，雖然保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)脫胎于微分方程描述的物理系統(tǒng)，但它的定義只牽涉到狀態(tài)空間上的測(cè)度。也就是說(shuō)，保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)系統(tǒng)實(shí)際上相當(dāng)于某個(gè)測(cè)度空間上的保測(cè)變換，正是這個(gè)保測(cè)變換讓我們能從一個(gè)狀態(tài)達(dá)到下一個(gè)狀態(tài)，而遍歷系統(tǒng)所需的條件也能完全用測(cè)度的語(yǔ)言來(lái)描述。
 
所以說(shuō)，遍歷系統(tǒng)的本質(zhì)在于測(cè)度，而具體的狀態(tài)空間到底表示什么，是整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)還是牛奶液滴的位置，這都只是表象，可以忽略的表象。正因?yàn)楸闅v系統(tǒng)的本質(zhì)在于測(cè)度和保測(cè)變換，所以即使遍歷系統(tǒng)本身沒(méi)有包含任何不確定性，但遍歷理論與同樣建基于測(cè)度的概率論仍然有著許多共通之處。這兩個(gè)領(lǐng)域中的研究互相滲透，已經(jīng)得到了豐碩的成果。
 
但遍歷理論和概率論畢竟仍然屬于廣義上的分析，它們與廣義上的代數(shù)似乎相差甚遠(yuǎn)。想必任何學(xué)過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的人都會(huì)感覺(jué)微積分與線(xiàn)性代數(shù)就像兩個(gè)完全不同的世界。弗斯滕伯格和馬爾古利斯的貢獻(xiàn)，就在于他們借助遍歷系統(tǒng)本身的抽象性，成功跨越了分析和代數(shù)之間的鴻溝，將遍歷理論的方法應(yīng)用到了代數(shù)和組合的廣泛領(lǐng)域中，得到了大量的成果，開(kāi)創(chuàng)了全新的領(lǐng)域。
 
一如莊子所言：凡物無(wú)成與毀，復(fù)通為一。唯達(dá)者知通為一。
 

—4—

弗斯滕伯格：

整數(shù)中的遍歷系統(tǒng)

 
Furstenberg，圖源：abelprize.no
 
弗斯滕伯格出生在1935年的德國(guó)柏林。對(duì)于一名猶太人來(lái)說(shuō)，這個(gè)時(shí)機(jī)實(shí)在太壞。他可能也不太記得在德國(guó)的生活，因?yàn)樵?939年的水晶之夜之后，為了活命，他父母就帶著一家人逃到了美國(guó)。顛沛流離之后接下來(lái)的并不是好日子，弗斯滕伯格的父親去世之后，他們一家的生活過(guò)得更為拮據(jù)。但這并沒(méi)有阻礙弗斯滕伯格求學(xué)的腳步。他就讀了專(zhuān)門(mén)為猶太人開(kāi)設(shè)的宗教學(xué)校，然后升入了當(dāng)?shù)氐拇髮W(xué)。就在那里他接觸到了數(shù)學(xué)的美，并就此走上了數(shù)學(xué)的道路。
 
在大學(xué)的期間，他就已經(jīng)在數(shù)學(xué)方面嶄露頭角，因?yàn)槔猛負(fù)涞恼Z(yǔ)言證明了素?cái)?shù)有無(wú)限個(gè)而小有名氣。這也許也預(yù)示了他能在不同數(shù)學(xué)分支之間看到相似性的能力。之后他到了普林斯頓大學(xué)就讀博士，博士導(dǎo)師是同樣由德國(guó)逃出來(lái)的博赫納（Salomon Bochner）。當(dāng)時(shí)博赫納正在深入研究概率，而弗斯滕伯格的博士論文，題為《預(yù)測(cè)理論》（Prediction Theory），自然也是有關(guān)概率的。這篇博士論文講述了對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)的理論，其中也牽涉到遍歷理論。對(duì)于這篇論文的水平，某位評(píng)委的評(píng)語(yǔ)是“這是一篇具有高度原創(chuàng)性的第一流博士論文，涉及的課題也相當(dāng)困難”。
 
博士畢業(yè)之后，弗斯滕伯格開(kāi)始嘗試將概率論的方法應(yīng)用到別的數(shù)學(xué)對(duì)象之中。他通過(guò)對(duì)于隨機(jī)矩陣乘積的研究，開(kāi)始探索所謂“半單李群”這一類(lèi)代數(shù)對(duì)象的結(jié)構(gòu)，并且在一系列論文中逐步明晰定義了所謂的“弗斯滕伯格邊界”，用以刻畫(huà)半單李群上的調(diào)和函數(shù)。他的這項(xiàng)工作利用概率論的工具剖析了某些群的結(jié)構(gòu)，即使這些結(jié)構(gòu)與隨機(jī)性毫無(wú)瓜葛。這一跨界的工作也對(duì)相關(guān)的代數(shù)研究產(chǎn)生了巨大的影響。
 
這一系列論文之后，弗斯滕伯格名聲大噪，很快就得到了美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)的教授職位。但此后不久，他就離開(kāi)美國(guó)移居以色列，并在這個(gè)猶太人魂?duì)繅?mèng)縈的“應(yīng)許之地”扎下了根。在那里，他開(kāi)始嘗試?yán)^續(xù)鉆研遍歷理論，提出了不少重要的概念與猜想。比如說(shuō)，通過(guò)類(lèi)比整數(shù)之間互質(zhì)的關(guān)系，弗斯滕伯格提出了遍歷系統(tǒng)之間的“不相交性”（disjointness）。這個(gè)概念相當(dāng)自然，但人們發(fā)現(xiàn)其實(shí)它也極為深刻，在分形幾何、信號(hào)處理等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。
 
但弗斯滕伯格最激動(dòng)人心，大概也是最容易解釋的工作還在后頭。在他就職的耶路撒冷希伯來(lái)大學(xué)，經(jīng)常有不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家來(lái)做講座。有一次，一位訪(fǎng)客做了一個(gè)關(guān)于組合數(shù)論的報(bào)告，其中提到了當(dāng)時(shí)剛剛被塞邁雷迪（Szemerédi Endre）證明的一個(gè)精彩定理。假設(shè)有一個(gè)整數(shù)的集合A，如果無(wú)論取多大的正整數(shù)n，都有一個(gè)比它更大的正整數(shù)N，使得在-N到N之間的整數(shù)至少有某個(gè)固定的比例包含在集合A中，那么A就必定包含任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是擁有正上密度的整數(shù)集合A必然包含任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列。

 
這是個(gè)奇妙的結(jié)果。我們對(duì)集合A的要求相當(dāng)弱，只要不算太稀疏，滿(mǎn)足這個(gè)條件的集合A可以隨意包含任何元素，自然也可能混亂得毫無(wú)章法。但無(wú)論集合A多么混亂，只要它的上密度為正，那么我們必定可以在這種混亂中找到某種結(jié)構(gòu)，在這里就是要多長(zhǎng)有多長(zhǎng)的等差數(shù)列！這種斷言我們必定能在混亂中找到結(jié)構(gòu)的定理，屬于所謂“拉姆齊理論”的范疇，它的研究牽涉到組合數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯，其中有著許多困難的問(wèn)題，而這個(gè)后來(lái)被命名為塞邁雷迪定理的結(jié)論也是其中之一。
 
當(dāng)時(shí)塞邁雷迪對(duì)塞邁雷迪定理的證明驚動(dòng)一時(shí)，不僅是因?yàn)槎ɡ肀旧淼碾y度，還因?yàn)槿~雷迪在證明中提出了一個(gè)重要的引理，后來(lái)又將其推廣，成為了今天所說(shuō)的塞邁雷迪正則性引理。這個(gè)引理在圖論中有著非常廣泛的應(yīng)用，甚至可以說(shuō)，這個(gè)引理比塞邁雷迪定理本身更為重要。
 
但弗斯滕伯格在這個(gè)定理中卻看到了別的東西。在講座結(jié)束之后不久，他就給講者發(fā)了一封電子郵件：“我可能找到了這個(gè)定理的另一種證明?！彼谌~雷迪定理中看到的，自然是動(dòng)力系統(tǒng)。
 
我們考慮所有由整數(shù)組成的集合，這些集合組成了一個(gè)狀態(tài)空間。對(duì)于某個(gè)集合A，如果將其中的每個(gè)整數(shù)都加上1，我們就得到了另一個(gè)集合，這種變換又叫平移變換。
 
弗斯滕伯格利用平移變換，定義了有關(guān)整數(shù)集合的一些保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)，而塞邁雷迪定理就相當(dāng)于斷言這些保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)假以時(shí)日必定會(huì)以特定的方式多次“回歸”初始狀態(tài)，就像龐加萊復(fù)現(xiàn)定理所證明的那樣。接下來(lái)，弗斯滕伯格洞察到，這個(gè)結(jié)論不僅對(duì)于這些有關(guān)整數(shù)集合的保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)成立，而且對(duì)更廣泛的雙射保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)也成立。于是他將龐加萊復(fù)現(xiàn)定理推廣到多次回歸的情況，證明了所謂的“弗斯滕伯格多次復(fù)現(xiàn)定理”，由此也就推出了塞邁雷迪定理。
 
弗斯滕伯格對(duì)于他的多次復(fù)現(xiàn)定理的證明也很耐人尋味。首先，定理中的動(dòng)力系統(tǒng)可以分解為遍歷系統(tǒng)，所以我們可以利用遍歷理論的工具來(lái)研究這一點(diǎn)。雖然遍歷系統(tǒng)數(shù)不勝數(shù)，但它們之所以擁有遍歷這一性質(zhì)，基本上出于兩種原因：要么系統(tǒng)本身幾乎是周期性的，也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間之后，系統(tǒng)中的狀態(tài)會(huì)幾乎回到原始狀態(tài)，但卻有一點(diǎn)點(diǎn)偏差，日積月累的話(huà)，靠這種偏差就能逼近所有狀態(tài)；要么系統(tǒng)本身就處于混沌之中，不同部分的狀態(tài)在經(jīng)過(guò)一些時(shí)間之后就會(huì)均勻地混合在一起無(wú)法區(qū)分，而每個(gè)狀態(tài)也會(huì)很快“忘記”自己的起點(diǎn)，和光同塵。雖然本質(zhì)并不相同，但這兩類(lèi)遍歷系統(tǒng)中都存在多次復(fù)現(xiàn)的現(xiàn)象。然后弗斯滕伯格證明了，他考慮的動(dòng)力系統(tǒng)中必定包含前面其中一種遍歷系統(tǒng)，從而也會(huì)有多次復(fù)現(xiàn)的現(xiàn)象。這個(gè)證明就很有拉姆齊理論的風(fēng)格：無(wú)論動(dòng)力系統(tǒng)如何復(fù)雜混亂，都能從中找出擁有特定規(guī)律的一部分。
 
弗斯滕伯格的證明的意義在于，它打開(kāi)了利用動(dòng)力系統(tǒng)的工具來(lái)研究困難組合問(wèn)題的大門(mén)。塞邁雷迪原本的證明雖然很有意義，但卻非常艱深，用到了復(fù)雜的技術(shù)，不容易推廣到更普遍的情況。但弗斯滕伯格的證明，雖然用到了看似復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)，但總體而言更直觀(guān)更容易理解，也容易推廣。之后不久，弗斯滕伯格和他的合作者就將這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)證明進(jìn)行了各種各樣的推廣，獲得了與塞邁雷迪定理類(lèi)似的數(shù)個(gè)更為強(qiáng)大的結(jié)論。在弗斯滕伯格等人的開(kāi)拓下，利用遍歷理論對(duì)類(lèi)似問(wèn)題的研究已經(jīng)成為了一門(mén)名為“遍歷拉姆齊理論”的分支，也結(jié)出了相當(dāng)?shù)某晒?/span>
 
雖然弗斯滕伯格除此以外還有不少其他方向的研究，但他在整數(shù)中看到動(dòng)力系統(tǒng)的這一洞察，將原本屬于連續(xù)的方法延伸到了離散，用全新的視角得出了出人意料而又困難的結(jié)論，并且他開(kāi)辟的這條道路仍然有著大量的問(wèn)題等待探索?？梢哉f(shuō)，弗斯滕伯格的這項(xiàng)成果，屬于數(shù)學(xué)中第一流的貢獻(xiàn)。
 

—5—

馬爾古利斯：

代數(shù)中的遍歷系統(tǒng)


Margulis，圖源：abelprize.no


另一位獲獎(jiǎng)?wù)吒窭锔昀铩ゑR爾古利斯的運(yùn)氣相對(duì)來(lái)說(shuō)稍微好一些。他也是猶太人，然而他出生于1946年蘇聯(lián)的莫斯科，雖然也被歧視，但起碼性命無(wú)虞。馬爾古利斯很早就展露出了數(shù)學(xué)天賦，16歲時(shí)參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克就獲得了銀獎(jiǎng)，之后也進(jìn)入了在數(shù)學(xué)方面最負(fù)盛名的莫斯科國(guó)立大學(xué)就讀。因?yàn)槭仟q太人，所以馬爾古利斯想必也攻破了在入學(xué)口試中專(zhuān)門(mén)用于防止猶太人入學(xué)的“棺材問(wèn)題”，也就是有著初等解答但卻極端困難的問(wèn)題。他居然能夠作為一名猶太人入讀莫斯科國(guó)立大學(xué)，只能說(shuō)明他的數(shù)學(xué)天賦實(shí)在是出類(lèi)拔萃。
 
在博士期間，馬爾古利斯師從動(dòng)力系統(tǒng)專(zhuān)家雅科夫·西奈（Yakov Sinai，2014年獲阿貝爾獎(jiǎng)），動(dòng)力系統(tǒng)也就成了他研究的主線(xiàn)。但他研究的并不算是傳統(tǒng)的動(dòng)力系統(tǒng)理論，而是動(dòng)力系統(tǒng)理論在代數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。
 
我們身邊的許多東西都有著令人驚異的對(duì)稱(chēng)性。五瓣的梅花旋轉(zhuǎn)72度后，與原來(lái)絲毫不差；六芒的雪花，如果將它旋轉(zhuǎn)60度，或者沿著某根主軸翻到另一面，也保持與原來(lái)幾乎相同的形態(tài)；光盤(pán)更是無(wú)論如何旋轉(zhuǎn)，幾乎都無(wú)法與原本的狀態(tài)區(qū)分開(kāi)來(lái)。所有這些東西，如果對(duì)它們執(zhí)行某些特定的動(dòng)作，那么得到的結(jié)果與原來(lái)的狀態(tài)沒(méi)有區(qū)別，這就是它們對(duì)稱(chēng)性的一種體現(xiàn)。對(duì)稱(chēng)性越高，符合這種條件的動(dòng)作也越多。我們會(huì)覺(jué)得輪胎比梅花更對(duì)稱(chēng)，因?yàn)樾D(zhuǎn)梅花時(shí)，如果角度不是72的倍數(shù)，那么花瓣就會(huì)錯(cuò)位，但光盤(pán)無(wú)論旋轉(zhuǎn)什么角度都幾乎不變。從這種對(duì)稱(chēng)性抽象而來(lái)的數(shù)學(xué)對(duì)象就是群，那些動(dòng)作就是群的元素，而群論就是通過(guò)群這種抽象結(jié)構(gòu)來(lái)研究種種對(duì)稱(chēng)性的數(shù)學(xué)分支。
 
數(shù)學(xué)中有著各種各樣的群，而數(shù)學(xué)家花了大量的精力來(lái)對(duì)這些群進(jìn)行分類(lèi)。最簡(jiǎn)單的分類(lèi)之一就是連續(xù)群和離散群。光盤(pán)的對(duì)稱(chēng)群就是連續(xù)的，因?yàn)槲覀兛梢孕D(zhuǎn)任何角度，稍微多轉(zhuǎn)一點(diǎn)少轉(zhuǎn)一點(diǎn)，對(duì)于光盤(pán)來(lái)說(shuō)無(wú)關(guān)緊要。也就是說(shuō)，光盤(pán)的對(duì)稱(chēng)群中的元素是可以連續(xù)變化的。另一方面，梅花的對(duì)稱(chēng)群就是離散的，要保持形狀完全不變，旋轉(zhuǎn)角度就必須是72的倍數(shù)，多一點(diǎn)少一點(diǎn)都不行。所以，梅花的對(duì)稱(chēng)群中每個(gè)元素之間都被遠(yuǎn)遠(yuǎn)地分隔開(kāi)來(lái)，這就是它被稱(chēng)為“離散群”的原因。
 
不同的群之間可以有各種各樣的關(guān)系，最直白的就是一個(gè)群可以包含另一個(gè)群，這時(shí)我們也說(shuō)后者是前者的子群。比如說(shuō)光盤(pán)的對(duì)稱(chēng)群就包含了梅花的對(duì)稱(chēng)群，因?yàn)槊坊ǖ膶?duì)稱(chēng)群中的元素都是角度各異的旋轉(zhuǎn)，而光盤(pán)的對(duì)稱(chēng)群包含了所有角度的旋轉(zhuǎn)，自然也包含了梅花的對(duì)稱(chēng)群中的所有元素。容易發(fā)現(xiàn)，連續(xù)群中可以包含離散群，但離散群卻無(wú)法包含連續(xù)群。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某些連續(xù)群來(lái)說(shuō)，只需要研究它包含的離散群，就能得出許多關(guān)于連續(xù)群本身的重要性質(zhì)。馬爾古利斯的研究就處于這個(gè)方向，而他研究的群，專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)里被稱(chēng)為“半單李群”，而其中包含的離散群被稱(chēng)為“格子群”。
 
但這些群跟動(dòng)力系統(tǒng)又有什么關(guān)系呢？
 
之前提到，群可以看成保持某些結(jié)構(gòu)不變的操作組成的集合，但這個(gè)結(jié)構(gòu)完全可以是這個(gè)群本身！
 
我們可以將整個(gè)群看成一個(gè)狀態(tài)空間，而群里的元素就是狀態(tài)。但群里的元素也可以看作對(duì)狀態(tài)空間的變換。于是，我們可以通過(guò)選取合適的元素作為變換，在整個(gè)群中定義出各種各樣的動(dòng)力系統(tǒng)。此外，在群中也可以定義某種特定的“容積”，也就是測(cè)度，使得所有這些通過(guò)群里元素定義的動(dòng)力系統(tǒng)都是保測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)。從這里開(kāi)始，遍歷理論就能派上用場(chǎng)了。
 
在馬爾古利斯之前的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)意識(shí)到，通過(guò)某些特定的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的性質(zhì)，就能推測(cè)出連續(xù)群的各種性質(zhì)，而馬爾古利斯在前人的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，利用動(dòng)力系統(tǒng)以及概率論的方法，證明了半單李群格子群的許多重要結(jié)論。其中最重要的大概是他在1975年證明的“超剛性定理”，刻畫(huà)了半單李群中被稱(chēng)為“算術(shù)格子群”的一類(lèi)有著重大意義的格子群，還有他在1978年證明的“正規(guī)子群定理”，刻畫(huà)了半單李群格子群的重要性質(zhì)。正因?yàn)樽龀隽诉@些重要的工作，他被選為1978年菲爾茲獎(jiǎng)的四位獲獎(jiǎng)?wù)咧弧?/span>
 
但32歲的他并沒(méi)能親自領(lǐng)到這一獎(jiǎng)項(xiàng)。
 
1978年，冷戰(zhàn)正酣。雖然幾年前美蘇和歐洲各國(guó)簽訂了赫爾辛基條約，在歐洲換得了暫時(shí)的和緩，但很快雙方關(guān)系又因?yàn)槠渌麤_突繼續(xù)惡化。在當(dāng)時(shí)的蘇聯(lián)，出境必須預(yù)先向政府報(bào)批，而馬爾古利斯未能獲批去往赫爾辛基參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)。這也許是蘇聯(lián)的傳統(tǒng)，馬爾古利斯的前輩謝爾蓋·諾維科夫（Sergei Novikov）在八年前也獲得了菲爾茲獎(jiǎng)，同樣由于未受蘇聯(lián)政府批準(zhǔn)出境而無(wú)法出席領(lǐng)獎(jiǎng)。只有到12年后的1990年，蘇聯(lián)已然茍延殘喘時(shí)，他們的后輩弗拉基米爾·德林費(fèi)爾德（Vladmir Drinfeld）才能夠親身領(lǐng)到屬于他的菲爾茲獎(jiǎng)。
 
而即使已然躋身頂尖數(shù)學(xué)家的行列，這也沒(méi)有給馬爾古利斯帶來(lái)多少好處，因?yàn)樗翘K聯(lián)的猶太人。在博士畢業(yè)之后，盡管已是同齡人中的佼佼者，他卻無(wú)法在蘇聯(lián)數(shù)學(xué)水平最高的莫斯科國(guó)立大學(xué)找到教職，只能就職于信息通訊問(wèn)題研究所（Institute for Information Transmission Problems）。這個(gè)研究所的名字，一看就知道與馬爾古利斯所研究的數(shù)學(xué)相去甚遠(yuǎn)。
 
但這也許并不完全是一件壞事。馬爾古利斯在研究所的同事主要研究計(jì)算機(jī)科學(xué)。有一次，他們向馬爾古利斯提到了擴(kuò)展圖的概念。擴(kuò)展圖是一種特殊的組合對(duì)象，在復(fù)雜度理論中，它可以將少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)比特?cái)U(kuò)增為一大批隨機(jī)性足夠強(qiáng)的偽隨機(jī)數(shù)來(lái)提供給隨機(jī)算法使用。因此，研究者會(huì)利用它將某些隨機(jī)算法“去隨機(jī)化”，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定性的算法。但在1973年，人們只知道擴(kuò)展圖必定存在，但卻沒(méi)有人知道如何明確構(gòu)造一系列的擴(kuò)展圖。馬爾古利斯聽(tīng)到這個(gè)問(wèn)題之后不久，就找到了一個(gè)明確的構(gòu)造回答了這一問(wèn)題，而他的構(gòu)造利用了他在研究半單李群格子群時(shí)用到的所謂“卡日丹（Kazhdan）性質(zhì)(T)”，一個(gè)牽涉代數(shù)表示論的性質(zhì)。深?yuàn)W的代數(shù)結(jié)論帶來(lái)的重要構(gòu)造，在計(jì)算機(jī)科學(xué)的歷史上可以說(shuō)鳳毛麟角，而這一跨界行為也展現(xiàn)出馬爾古利斯解決各種問(wèn)題的能力。
 
 擴(kuò)展圖
圖源：https://www.researchgate.net/figure/Ramanujan-expander-graph-GV-E-X-X-5-17-with-18-nodes-where-each-node-has-6_fig2_224675919
 
然而，馬爾古利斯之后的跨界更為驚人。
 
我們?cè)谥袑W(xué)都學(xué)過(guò)多項(xiàng)式，比如說(shuō)xy+yz+xz就是一個(gè)三元二次多項(xiàng)式。不僅如此，因?yàn)樗拿恳豁?xiàng)都是二次的，所以我們也說(shuō)它是一個(gè)齊次的多項(xiàng)式。數(shù)學(xué)家猜想，對(duì)于至少包含三個(gè)變量的實(shí)數(shù)多項(xiàng)式，假設(shè)它的取值可以為正也可以為負(fù)，而且所有系數(shù)同時(shí)除以任何實(shí)數(shù)都不會(huì)同時(shí)得到有理數(shù)的話(huà)，那么隨便選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，都能找到一些整數(shù)，將它們代入多項(xiàng)式之后得到的值可以離x要多近有多近。這就是所謂的奧本海姆猜想，它屬于“丟番圖逼近”這一領(lǐng)域，也就是關(guān)于用整數(shù)或者有理數(shù)通過(guò)不同的方法來(lái)逼近任意實(shí)數(shù)的研究，屬于數(shù)論的范疇。
 
一般來(lái)說(shuō)，丟番圖逼近的問(wèn)題都不怎么容易，通常會(huì)用到分析數(shù)論或者代數(shù)數(shù)論的深?yuàn)W結(jié)論。奧本海姆猜想也不例外，但那些常用方法在這里卻碰到了死胡同。但在1987年，馬爾古利斯利用遍歷理論漂亮地證明了這個(gè)猜想。他首先觀(guān)察到一個(gè)已知的結(jié)果：奧本海姆猜想等價(jià)于有關(guān)某個(gè)特殊的半單李群格子群的斷言。然后通過(guò)之前對(duì)半單李群格子群的研究，他找到了這個(gè)斷言與某些遍歷系統(tǒng)之間的關(guān)系，從而利用遍歷理論中的方法得出了證明。
 
馬爾古利斯的這一證明，給丟番圖逼近這一領(lǐng)域引入了全新的方法。自此之后，人們開(kāi)始關(guān)注動(dòng)力系統(tǒng)與丟番圖逼近之間的關(guān)系。而更重要的是，馬爾古利斯利用遍歷理論的方式非常新穎，從中發(fā)展出了一門(mén)名為齊性動(dòng)力系統(tǒng)的全新分支，并且由此得到了大量與數(shù)論等其他領(lǐng)域相關(guān)的重要結(jié)果。
 
與弗斯滕伯格一樣，馬爾古利斯除此之外還有眾多重要的工作，但他利用動(dòng)力系統(tǒng)的視角去解決代數(shù)問(wèn)題，然后又在數(shù)論問(wèn)題中覺(jué)察到代數(shù)結(jié)構(gòu)，然后再利用動(dòng)力系統(tǒng)與代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系去解決數(shù)論問(wèn)題的這一洞察力實(shí)在令人贊嘆，不僅在數(shù)學(xué)的不同分支之間看到了相似的結(jié)構(gòu)，而且還能活用這種相似性來(lái)解決困難的問(wèn)題，甚至連解決辦法本身都引出了更深入的研究方向。毫無(wú)疑問(wèn)，對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，這同樣是第一流的貢獻(xiàn)。
 
順帶一提，馬爾古利斯在獲得菲爾茲獎(jiǎng)之后，雖然職位和待遇一時(shí)并沒(méi)有發(fā)生什么變化，但出國(guó)訪(fǎng)問(wèn)比較容易獲得批準(zhǔn)了。之后他經(jīng)常出國(guó)訪(fǎng)問(wèn)，在蘇聯(lián)解體之后也很快移居到了美國(guó)，就任耶魯大學(xué)的教授，直到退休。
 

—6—

獎(jiǎng)給跨界的抽象


縱觀(guān)弗斯滕伯格和馬爾古利斯的工作，可以說(shuō)，他們各自的工作將動(dòng)力系統(tǒng)這一原本更偏向于概率論的數(shù)學(xué)分支，與代數(shù)、組合、數(shù)論等看似風(fēng)馬牛不相及的數(shù)學(xué)分支聯(lián)系了起來(lái)，由此創(chuàng)造了新的數(shù)學(xué)分支。他們證明的結(jié)論不僅重要，而且富有洞察性，為數(shù)學(xué)開(kāi)辟了新的道路。兩人都曾獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，這次同時(shí)獲得沃爾夫獎(jiǎng)這一數(shù)學(xué)界的終身成就獎(jiǎng)，完完全全實(shí)至名歸。
 
數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)及其之間關(guān)系的學(xué)科。雖然數(shù)學(xué)被人為分成了無(wú)數(shù)的分支，不同的數(shù)學(xué)分支有著不同的方法論，對(duì)抽象結(jié)構(gòu)的著眼點(diǎn)也各不相同，但抽象結(jié)構(gòu)本身卻并不專(zhuān)屬于任何一個(gè)分支，而是可以在截然不同的分支之中同時(shí)出現(xiàn)。然而，只有那些智者，才能洞察那些繁雜的數(shù)學(xué)分支，發(fā)現(xiàn)它們之中有著相同的抽象結(jié)構(gòu)，從而將一個(gè)分支的方法，通過(guò)同一個(gè)抽象結(jié)構(gòu)，用于解決另一個(gè)分支的問(wèn)題。在科研越來(lái)越細(xì)化的今天，這種能力越發(fā)珍貴。

（本文作者方弦為法國(guó)居斯塔夫·埃菲爾大學(xué)計(jì)算機(jī)系副教授，業(yè)余科普工作者。）
參考資料

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[8] "A biography of Grigory Margulis". The Abel Prize. Retrieved 2020-03-22.

[9] "A biography of Hillel Furstenberg". The Abel Prize. Retrieved 2020-03-22.

[10] "Citation by the Abel Committee for the Abel Prize 2020". The Abel Prize. Retrieved 2020-04-02.

[11] "Ergodic hypothesis". Wikipedia. Retrieved 2020-04-02.

[12] "Ergodic theory". Wikipedia. Retrieved 2020-04-02.

[13] "Grigory Margulis". Wikipedia. Retrieved 2020-04-02.

[14] "Hillel Furstenberg". Wikipedia. Retrieved 2020-04-02.


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