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撰文 | 范明

責(zé)編 | 呂浩然

20世紀(jì)的兩次世界大戰(zhàn)期間，是波蘭數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時代。以謝爾賓斯基（Waclaw Sierpinski）、斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）、雅尼斯察夫斯基（Zygmunt Janiszewski）等人為代表的華沙學(xué)派和利沃夫?qū)W派兩大數(shù)學(xué)陣營，培養(yǎng)了一代數(shù)學(xué)新人。本文將要介紹的約瑟夫·馬爾欽凱維奇（Józef Marcinkiewicz，1910 - 1940），就是這一時期成長起來的波蘭青年數(shù)學(xué)家。馬爾欽凱維奇從事泛函分析、概率論、實與復(fù)分析、三角級數(shù)、傅里葉級數(shù)、正交級數(shù)和逼近論的研究，對20世紀(jì)分析數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響。盡管如此，除了一個很小的數(shù)學(xué)圈內(nèi)，他的名字卻鮮為人知。

1910 年 4 月 12 日，馬爾欽凱維奇出生于波蘭東北部城市比亞韋斯托克（Bia?ystok）附近的小村莊Cimoszka，在家中五個孩子里排行第四，有一個姐姐、兩個哥哥和一個弟弟。馬爾欽凱維奇從小身體不好，但熱愛體育運動，特別是擅長游泳和滑雪。1924 - 1930 年間，他在比亞韋斯托克的齊格蒙特·奧古斯特（Zygmunt August）國王州立中學(xué)讀書，1930 年 6 月 22 日獲得高中畢業(yè)證書。同年馬爾欽凱維奇進入斯特凡·巴托里大學(xué)（Stefan Batory University，USB）數(shù)學(xué)和自然科學(xué)系學(xué)習(xí)。USB位于現(xiàn)在的立陶宛首都維爾紐斯（Vilnius），1922 - 1939年間是波蘭的維爾諾（Wilno）， USB是維爾紐斯大學(xué)這一時期的校名。

馬爾欽凱維奇和他的博士證書，圖片來源：維基百科 & researchgate.net

從大學(xué)一年級開始，馬爾欽凱維奇就展示出了非凡的數(shù)學(xué)天賦，從而引起系里三位教授，特別是安東尼·齊格蒙德（Antoni Zygmund，1900 - 1992）的注意。在1931/32 學(xué)年中，馬爾欽凱維奇選修了齊格蒙德開設(shè)的正交級數(shù)課程，盡管這門課對于大二學(xué)生來說難度很大，也因此開始了二人長達十年富有成果的數(shù)學(xué)合作。馬爾欽凱維奇的興趣廣泛，除了數(shù)學(xué)以外，他還喜歡文學(xué)、音樂、繪畫、詩歌，并且自己寫詩。齊格蒙德后來回憶：“每當(dāng)我想到馬爾欽凱維奇時，一個高大英俊的男孩就出現(xiàn)在我的腦海中，他活潑、敏感、熱情、有抱負(fù)，具有強烈的責(zé)任感和榮譽感。”

齊格蒙德是波蘭著名數(shù)學(xué)家，也是20世紀(jì)世界上最重要的分析數(shù)學(xué)家之一，主要從事數(shù)學(xué)分析（特別是調(diào)和分析）領(lǐng)域的研究。1923年，他在華沙大學(xué)獲得博士學(xué)位，師從猶太裔數(shù)學(xué)家拉奇曼（Aleksander Rajchman），后者是斯坦因豪斯的學(xué)生。1930 - 1939年間，齊格蒙德?lián)蜺SB的教授，馬爾欽凱維奇入學(xué)時他剛剛上任，1931年首次開設(shè)關(guān)于正交級數(shù)的課程。1935年，齊格蒙德的兩卷本巨著《三角級數(shù)論》出版，原文為波蘭文，后來譯成英文。該書被認(rèn)為是數(shù)學(xué)分析史上最有影響力的書籍之一，成為所有相關(guān)領(lǐng)域研究者的寶典。

僅僅經(jīng)過三年的大學(xué)學(xué)習(xí)，馬爾欽凱維奇就從USB畢業(yè)，于1933年獲得理學(xué)碩士學(xué)位。他在碩士論文中發(fā)現(xiàn)了自己的第一個原創(chuàng)數(shù)學(xué)成果，即證明了存在一個連續(xù)周期函數(shù)，其對應(yīng)于等距節(jié)點的三角插值多項式幾乎處處發(fā)散。大學(xué)畢業(yè)后，馬爾欽凱維奇留在USB工作，并繼續(xù)碩士論文中的研究。這期間他在維爾諾第5軍團步兵團服役一年，以優(yōu)異的成績完成了軍事訓(xùn)練課程，后來成為預(yù)備役軍官。1934 年 9 月馬爾欽凱維奇回到USB，1935 年 6 月以題為《絕對連續(xù)函數(shù)的插值多項式》的論文通過答辯，成為齊格蒙德指導(dǎo)的第一位博士。

1936年3月USB的一次榮譽博士學(xué)位授予儀式，靠墻一排左四和左五分別為馬爾欽凱維奇和齊格蒙德，圖片來源：researchgate.net

獲得博士學(xué)位之后，馬爾欽凱維奇得到波蘭國家文化基金會為期一年的獎學(xué)金，在波蘭東南部城市利沃夫（Lwów，今屬烏克蘭）的揚·卡齊米日大學(xué)（Jan Kazimierz University，利沃夫大學(xué)當(dāng)時的名稱）度過了1935/36學(xué)年，在那里汲取了豐富的數(shù)學(xué)營養(yǎng)。利沃夫?qū)W派的領(lǐng)袖人物是巴拿赫（Stefan Banach）與他的導(dǎo)師斯坦因豪斯，巴拿赫是泛函分析的奠基人，他身邊聚集了一大群年輕有才華數(shù)學(xué)家，如烏拉姆（Marcin Ulam）、卡茨（Mark Kac），肖德爾（Juliusz Schauder）、奧爾巴赫（Herman Auerbach）、馬祖爾（Stanis?aw Mazur）、奧里奇（W?adys?aw Orlicz）等人。

在利沃夫期間，馬爾欽凱維奇除了每周12學(xué)時的繁重教學(xué)工作外，還是“蘇格蘭咖啡館”的?？?。利沃夫?qū)W派的數(shù)學(xué)天才們在大學(xué)旁的蘇格蘭咖啡館里神侃數(shù)學(xué)，并隨手記錄下來。這些充滿靈感和激情的咖啡館手稿奇跡般地在戰(zhàn)爭中得以保存，數(shù)學(xué)家們在那里討論的193個問題被整理成了《蘇格蘭咖啡館的數(shù)學(xué)問題集》，簡稱《蘇格蘭書》（Scottish Book），包括一系列已解決、未解決，甚至可能無法解決的問題。馬爾欽凱維奇解決了《蘇格蘭書》中屬于奧爾巴赫的第83號問題、屬于巴拿赫的第106號問題、屬于齊格蒙德的第131號問題，還提出了屬于他本人的第124號問題。

在利沃夫期間，馬欽辛凱維奇開始對一般正交級數(shù)的問題感興趣，就此主題撰寫了一系列論文。這一時期他的主要合作者是肖德爾，后者是一位在泛函分析、偏微分方程、數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域頗有建樹的數(shù)學(xué)大家，以Schauder不動點定理、Schauder 基以及Leray-Schauder 原理聞名于世。肖德爾激發(fā)了馬爾欽凱維奇對于正交級數(shù)乘子的興趣，從而引出了他于1939年發(fā)表的一篇關(guān)于傅里葉級數(shù)乘子的天才論文，該文是馬爾欽凱維奇被引用次數(shù)最多的文章。馬爾欽凱維奇的合作者還有斯特凡·卡茨馬茲（Stefan Kaczmarz）和奧里奇，奧里奇認(rèn)為馬爾欽凱維奇也許是唯一可以與他談?wù)撘磺械臄?shù)學(xué)家。

1937 年 6 月 12 日，馬爾欽凱維奇在USB通過了大學(xué)最高學(xué)術(shù)資格Habilitation答辯，主題是“關(guān)于正交級數(shù)的可和性及插值多項式的收斂性”。27歲的馬爾欽凱維奇成為USB最年輕的擁有Habilitation資格的博士，同年他還獲得Józef Pi?sudski科學(xué)獎。1938/39學(xué)年他又得到波蘭國家文化基金會的資助，前往巴黎、倫敦和斯德哥爾摩研修概率論和數(shù)理統(tǒng)計。1938 年 10 月至 1939 年 3 月，馬爾欽凱維奇在巴黎工作。1939 年 4 月至 8 月間，他在倫敦大學(xué)學(xué)院待了5個月，其間曾到劍橋大學(xué)和牛津大學(xué)作學(xué)術(shù)報告，但原計劃的斯德哥爾摩之行未能如愿。

在巴黎的6個月里，馬爾欽凱維奇曾與波蘭數(shù)學(xué)家Stefan Bergman 及希臘數(shù)學(xué)家 Rapha?l Salem合作，分別從事關(guān)于雙變量復(fù)變函數(shù)及黎曼和收斂性的研究，并共同發(fā)表論文。他還接觸了法國大數(shù)學(xué)家，概率論和隨機過程理論的開創(chuàng)者之一萊維（Paul Pierre Lévy），早在去巴黎之前馬爾欽凱維奇就曾發(fā)表過關(guān)于布朗運動的論文，正是受到馬爾欽凱維奇的啟發(fā)，萊維開始對布朗運動感興趣。以萊維、馬爾欽凱維奇等人的名字命名的定理有：關(guān)于傅里葉級數(shù)絕對收斂性的Wiener-Lévy–Marcinkiewicz，關(guān)于特征函數(shù)解析性質(zhì)的Lévy–Raikov–Marcinkiewicz。

馬爾欽凱維奇的這次學(xué)術(shù)旅行富有成效，他在《法國科學(xué)院報告》上用法文發(fā)表了幾篇短文，其中一篇宣布了后來以他的名字命名的算子插值定理及函數(shù)空間，并于8月底回到維爾諾。馬爾欽凱維奇在英國時已經(jīng)收到波茲南大學(xué)（University of Poznań）的聘書，將在新學(xué)年出任數(shù)學(xué)系講席教授。就在這位29歲青年才俊的學(xué)術(shù)前景一片光明之時，突然爆發(fā)的戰(zhàn)爭卻將一切化為泡影，包括他與未婚妻成婚的計劃。1939 年 8 月下旬，波蘭政府已發(fā)出戰(zhàn)爭動員令，當(dāng)時馬爾欽凱維奇本可以留在英國或者去美國，但他仍然選擇回到波蘭為國效力。馬爾欽凱維奇八歲時目睹了波蘭復(fù)國獨立，那時他的愛國情結(jié)已經(jīng)萌芽。

馬爾欽凱維奇（左二）與預(yù)備役軍官們，右一是他的哥哥Edward，圖片來源：researchgate.net

馬爾欽凱維奇不但是一位杰出的數(shù)學(xué)家，更是一位英勇的愛國者。在 9 月 2 日納粹德國入侵波蘭的第二天，齊格蒙德在維爾諾街頭偶遇一身戎裝的馬爾欽凱維奇，這也是兩人最后一次見面。作為預(yù)備役軍官，馬爾欽凱維奇被分配到第 205 步兵團第 2 營，參加了抗擊德軍的維爾諾防御戰(zhàn)。蘇聯(lián)入侵波蘭后于 9 月 19 日吞并了該城，9  月 22 日馬爾欽凱維奇與其他軍官一起被蘇軍俘虜，并被送往烏克蘭哈爾科夫（Kharkiv）附近的Starobielsk集中營，那里關(guān)押了約四千名波蘭戰(zhàn)俘。馬爾欽凱維奇在集中營被關(guān)押期間，曾給家人和師友寄過幾封信件和明信片，最后一張明信片于 1940 年 3 月寄出。

馬爾欽凱維奇的前同事Zbigniew Godlewski在1993年發(fā)表的一篇文章中寫道，也許蘇聯(lián)人很快發(fā)現(xiàn)了這位戰(zhàn)俘的聰明才智，因此給予他某種形式的合作。馬爾欽凱維奇在一封信中曾要求將他的數(shù)學(xué)書籍和博士學(xué)位證書副本寄往集中營，但估計他最后回絕了蘇方的合作建議。不久后，馬爾欽凱維奇與其他被俘波蘭軍官一起在卡廷慘案中被處決，他在集中營的身份證號碼是2160，遇難者編號是6444。由于一些蘇聯(lián)官方文件無法訪問或已被銷毀，馬爾欽凱維奇的確切死亡日期仍然未知，唯一已知信息是在 1940 年 4 月 5 日至 5 月 12 日之間。

1941 年 6 月，馬爾欽凱維奇的父母Klemens 和Aleksandra Marcinkiewicz被蘇聯(lián)內(nèi)務(wù)人民委員會遣送到烏茲別克斯坦的Bukhara，半年后在那里死于饑餓。他的弟弟Kazimierz Marcinkiewicz曾參加維爾諾防御戰(zhàn)，后來加入波蘭地下抵抗組織，1946年在波蘭東南部的村莊Janów被蘇聯(lián)安全人員殺害，兩個哥哥也被流放或遠走他鄉(xiāng)。馬爾欽凱維奇家族的象征性墓地位于Janów教區(qū)公墓，墓碑的碑文是：為了紀(jì)念馬爾欽凱維奇家族的殉難。墓碑下方鐫刻著馬爾欽凱維奇及父母和弟弟的名字，鑲嵌著兄弟二人的照片，這塊墓碑記載了一個普通波蘭家庭在戰(zhàn)爭期間的悲慘命運。

馬爾欽凱維奇家族墓碑及哈爾科夫波蘭戰(zhàn)爭公墓的馬爾欽凱維奇名牌，圖片來源：researchgate.net & ams.org

除了馬爾欽凱維奇之外，二戰(zhàn)期間遇難的波蘭數(shù)學(xué)家還有（不是全部）：齊格蒙德的導(dǎo)師拉奇曼，1940年死于德國薩克森豪森的納粹集中營；齊格蒙德的第二位博士、1939年畢業(yè)于USB的Konstanty Sokó?-Soko?owski，次年同樣死于卡廷慘案；USB的另一位教授Stefan Kempisty，1940年死于維爾諾監(jiān)獄；馬爾欽凱維奇在利沃夫的合作者卡茨馬茲，1939年被蘇軍傳喚后不知所終，可能死于德軍空襲或卡廷慘案；利沃夫?qū)W派的奧爾巴赫和肖德爾均為猶太人，前者于1942年死于利沃夫隔都，后者被蓋世太保逮捕后失蹤，可能死于1943年。1945 年 8 月 31 日，一代宗師巴拿赫在利沃夫死于肺癌。

馬爾欽凱維奇對于數(shù)學(xué)具有非凡的洞察力和獨創(chuàng)性，他短暫的學(xué)術(shù)生涯在數(shù)學(xué)史上留下了深刻的印記和豐富的遺產(chǎn)。在1933-1939大學(xué)畢業(yè)后短短六七年（其中一年服兵役）的職業(yè)生涯里，馬爾欽凱維奇撰寫了55篇學(xué)術(shù)論文，其中與他人合作19篇，包括與齊格蒙德合作的15篇。以馬爾欽凱維奇的名字命名的數(shù)學(xué)成果多達十幾個，這些論文中的原創(chuàng)思想和重要結(jié)果至今仍在激勵著數(shù)學(xué)家們。齊格蒙德說：“如果不是因為過早離去，馬爾欽凱維奇可能會成為當(dāng)代世界最杰出的數(shù)學(xué)家之一?！?當(dāng)然世上沒有“如果”，馬爾欽凱維奇的英年早逝，是波蘭和世界數(shù)學(xué)界的巨大損失。

齊格蒙德不但是馬爾欽凱維奇的導(dǎo)師，更是他數(shù)學(xué)成就的倡導(dǎo)者與合作者。二戰(zhàn)爆發(fā)后齊格蒙德移居美國，從1947年起在芝加哥大學(xué)工作，創(chuàng)建了著名的“芝加哥數(shù)學(xué)分析學(xué)派”。齊格蒙德的弟子包括Alberto Calderón、Leonard D. Berkovitz、Paul J. Cohen（1966年菲爾茲獎得主）、Victor L. Shapiro、Elias Stein（1999年沃爾夫數(shù)學(xué)獎得主）、Guido Weiss等多位聞名世界的數(shù)學(xué)家，然而他始終將馬爾欽凱維奇視為自己最好的學(xué)生，甚至說在他本人的某些研究領(lǐng)域都可以拜馬爾欽凱維奇為師。遇到齊格蒙德是馬爾欽凱維奇的幸運，他的名字及成就也因此在數(shù)學(xué)界得以流傳。

1959年，齊格蒙德的《三角級數(shù)論》由劍橋大學(xué)出版社在紐約再版，他在扉頁上的題詞是：“紀(jì)念拉奇曼和馬爾欽凱維奇，我的老師和學(xué)生。”為了表彰馬爾欽凱維奇非凡的數(shù)學(xué)成就， 1964年波蘭科學(xué)院出版了由齊格蒙德編輯的《馬爾欽凱維奇論文集》，全書共673 頁，只有少數(shù)波蘭數(shù)學(xué)家獲此殊榮。1981 年 3 月，芝加哥大學(xué)舉辦了慶祝齊格蒙德80華誕的調(diào)和分析學(xué)術(shù)會議，他對每位會議報告人的要求是引用或參考馬爾欽凱維奇的一段論述，852頁的會議論文集于1983年出版。80多年來，波蘭各地舉辦了多種旨在紀(jì)念馬爾欽凱維奇的會議、講座、展覽、競賽和獎項等活動。

馬爾欽凱維奇論文集，圖片來源：amazon.com

馬爾欽凱維奇對于數(shù)學(xué)最重要的貢獻是在泛函分析領(lǐng)域，包括以他的名字命名的Marcinkiewicz插值定理、Marcinkiewicz函數(shù)和序列空間，以及Marcinkiewicz-Zygmund向量值不等式。馬爾欽凱維奇的著名論文《算子的插值》（Sur l’interpolation d’opérations）發(fā)表在1939年的《法國科學(xué)院報告》第208卷上，他可能是最早定義“算子插值”這一概念的數(shù)學(xué)家。馬爾欽凱維奇的原始論文中沒有刊登證明，但他在給齊格蒙德的一封信中寫下了特殊情況的證明，隨后戰(zhàn)爭爆發(fā)。1950年代，齊格蒙德重新證明和發(fā)表了這一定理，并申明原始思想來自馬爾欽凱維奇。

齊格蒙德的學(xué)生，如E. Stein、 G. Weiss、A. Calderón等人，以及其他數(shù)學(xué)家將Marcinkiewicz插值定理推廣到了更一般的情形。馬爾欽凱維奇擅長將實分析方法應(yīng)用到與復(fù)分析接壤的問題上，他用實函數(shù)分解證明的插值定理，以及匈牙利數(shù)學(xué)家Marcel Riesz和瑞典數(shù)學(xué)家Olof Thorin用全純函數(shù)證明的凸性定理，發(fā)展成為抽象Banach空間插值理論的實方法與復(fù)方法，現(xiàn)在已是泛函分析的一個成熟分支。Marcinkiewicz插值定理被寫入數(shù)十種關(guān)于經(jīng)典分析、調(diào)和分析和插值理論的著作和教科書，并且在逼近論、偏微分方程、Banach空間幾何學(xué)、數(shù)值分析等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。

1937-1938 年間，馬爾欽凱維奇與齊格蒙德合作研究概率論，得到如下重要結(jié)果：

1939年，馬爾欽凱維奇還證明了特征函數(shù)的Marcinkiewicz 定理，給出了指數(shù)函數(shù)成為隨機變量特征函數(shù)的一個充分條件，這一結(jié)果被用于正態(tài)分布特征函數(shù)的研究。

以馬爾欽凱維奇的名字命名的數(shù)學(xué)成果還有：實分析中的Marcinkiewicz 積分、Marcinkiewicz 函數(shù)、Marcinkiewicz-Zygmund分解、Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund強微分定理、Marcinkiewicz 乘子定理、Marcinkiewicz-Salem 猜想、一般原函數(shù)以及Perron積分的 Marcinkiewicz 定理；傅里葉級數(shù)和正交級數(shù)中的Marcinkiewicz點收斂檢驗、Haar系統(tǒng)的Paley -Marcinkiewicz 定理；逼近論中的Lagrange插值Marcinkiewicz定理、Grünwald–Marcinkiewicz 插值定理、Marcinkiewicz-Zygmund不等式等等。此處還應(yīng)注意：逼近論中的“多項式插值”與泛函分析中的 “算子插值”是兩個不同的概念。

40多年前筆者讀大學(xué)的時候，斯坦因豪斯、巴拿赫、齊格蒙德等大師的名字如雷貫耳，常常在書本里讀到他們的成果。第一次聽到馬爾欽凱維奇的名字和他的定理，是在讀博時選修的一門“Banach空間和算子插值理論”的課堂上，任課教授是一位“神童”式的瑞典（當(dāng)時的）青年數(shù)學(xué)家，對馬爾欽凱維奇推崇備至。值得一提的是，1960年代將Marcinkiewicz插值定理抽象化為Banach空間的實方法理論的數(shù)學(xué)家之一Jaak Peetre是一位二戰(zhàn)幸存者，1944年9月他跟隨父母從家鄉(xiāng)愛沙尼亞逃往瑞典，后來成為瑞典皇家科學(xué)院院士。

波蘭建國千年以來，歷史既輝煌又曲折，國土范圍在中歐和東歐之間不斷變遷。波蘭立陶宛聯(lián)邦曾經(jīng)是14-18世紀(jì)赫赫有名的歐陸大國，但之后由盛轉(zhuǎn)衰，數(shù)次被列強瓜分。幾年前筆者分別到曾經(jīng)的和現(xiàn)在的兩個波蘭城市觀光，現(xiàn)以當(dāng)時拍攝的兩張照片結(jié)束本文。維爾紐斯是馬爾欽凱維奇的母校所在地，維爾紐斯大學(xué)由耶穌會士于1579年創(chuàng)建，是波羅的海國家最古老的大學(xué)，上圖是全城最高的圣約翰教堂鐘樓及周邊的大學(xué)校舍。波蘭西南部歷史名城弗拉茲瓦夫（Wroclaw），曾是德國城市布雷斯勞（Breslau），二戰(zhàn)后斯坦因豪斯在弗拉茲瓦夫大學(xué)工作多年，下圖是該城的卡廷慘案遇難者紀(jì)念碑。

參考文獻：

[1] Nikolay Kuznetsov, The Legacy of Józef Marcinkiewicz: Four Hallmarks of Genius, In Memoriam of an Extraordinary Analyst, Notice AMS, May 2020.

[2] Lech Maligranda, Józef Marcinkiewicz（1910-1940）– On the centenary of his birth, Banach Center Publications 95, 2011.

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