這 23 道題，全世界的數(shù)學(xué)家花費(fèi) 100 年時(shí)間，只解答了一半
哈代 32 歲時(shí)就已經(jīng)執(zhí)掌英國(guó)數(shù)學(xué)界，成為世界頂級(jí)的數(shù)學(xué)家。而一直被哈代所敬佩膜拜的兩位更偉大的同時(shí)代數(shù)學(xué)家，一位印度數(shù)學(xué)大神拉馬努金，另一位是“數(shù)學(xué)界的無(wú)冕之王”德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特。
這里我們講講關(guān)于希爾伯特的事。
哥廷根學(xué)派
哥廷根是德國(guó)當(dāng)之無(wú)愧的學(xué)術(shù)之都，在這個(gè)13萬(wàn)人的城市里，每四個(gè)人中就有一個(gè)大學(xué)生。46名諾貝爾獎(jiǎng)得主，或在此讀過(guò)書(shū)，或在此教過(guò)學(xué)，世界上難以找出另一個(gè)城市，有如此的殊榮。
哥廷根學(xué)派是在世界數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展中長(zhǎng)期占主導(dǎo)地位的學(xué)派，該學(xué)派堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的統(tǒng)一性，思想反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。
高斯開(kāi)始了哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的起始時(shí)代，他把現(xiàn)代數(shù)學(xué)提到一個(gè)新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比繼承了高斯的工作，在代數(shù)、幾何、數(shù)論和分析領(lǐng)域做出了貢獻(xiàn)，克萊因和希爾伯特使德國(guó)哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派進(jìn)入了全盛時(shí)期，哥廷根大學(xué)因而也成為數(shù)學(xué)研究和教育的國(guó)際中心。
但由于希特勒的上臺(tái)，使得哥廷根學(xué)派受到致命的打擊，大批猶太血統(tǒng)的科學(xué)家被迫亡命，哥廷根學(xué)派解體。
當(dāng)時(shí)出逃德國(guó)的科學(xué)家中包括：愛(ài)因斯坦、馮·諾依曼、哥德?tīng)枴①M(fèi)勒等一大批科學(xué)家。這都是后話。
希爾伯特和他的 23 個(gè)問(wèn)題
曾有人問(wèn)希爾伯特：為什么不去解決這些難題呢？
希爾伯特回答說(shuō)：我不想殺死會(huì)下金蛋的鵝。
隨著歷史進(jìn)程的推進(jìn)，這些數(shù)學(xué)問(wèn)題一個(gè)一個(gè)被解決，剩下的幾乎解不開(kāi)。
下面我們來(lái)看看這 23 個(gè)問(wèn)題都有哪些？
No.1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)
狀態(tài)：部分解決
1874年，康托猜測(cè)在可列集基數(shù)和實(shí)數(shù)基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，也成為希爾伯特第 1 問(wèn)題。
連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，數(shù)學(xué)上關(guān)于連續(xù)統(tǒng)勢(shì)的假設(shè)。該假設(shè)是說(shuō)，無(wú)窮集合中，除了整數(shù)集的基數(shù)，實(shí)數(shù)集的基數(shù)是最小的。
1938年，哥德?tīng)栕C明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性，并于1940年發(fā)表。
1963年美國(guó)數(shù)學(xué)家保羅·柯恩以力迫法證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（無(wú)論是否含選擇公理）推導(dǎo)。
因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否。
No.2 算術(shù)公理的相容性
No.2 算術(shù)公理的相容性
狀態(tài)：部分解決
歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。
在公理系統(tǒng)中如果不能推導(dǎo)出兩個(gè)互相矛盾的命題（即互為反命題的命題），這個(gè)公理系統(tǒng)就稱為相容的或無(wú)矛盾的，也稱和諧的。
希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明。
1931年，哥德?tīng)柊l(fā)表的不完備性定理否定了這種看法，但此定理是否已回答了希爾伯特的原始問(wèn)題，數(shù)學(xué)界沒(méi)有共識(shí)。
1936年德國(guó)數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。
No.3 兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問(wèn)題
No.4 兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題
No.5 連續(xù)群的解析性
No.6 物理學(xué)的公理化
狀態(tài)：部分解決
希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來(lái)在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得了很大成功。
然而，盡管公理化已經(jīng)開(kāi)始滲透到物理當(dāng)中，量子力學(xué)中仍有至今不能邏輯自洽的部分（如量子場(chǎng)論），故該問(wèn)題未完全解決。
No.7 某些數(shù)的無(wú)理性與超越性
狀態(tài)：已解答
答案：肯定
分別于1934年、1935年由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞歷山大·格爾豐德與德國(guó)數(shù)學(xué)家特奧多爾·施耐德獨(dú)立地解決。創(chuàng)造的格爾豐德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）是一個(gè)可以用于證明許多數(shù)的超越性的結(jié)果。
No.8 素?cái)?shù)問(wèn)題
狀態(tài)：部分解決
三大問(wèn)題包括：黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題等。
2018年9月，美國(guó)人邁克爾·阿蒂亞宣布他證明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)（1966），但離最解決尚有距離。
孿生素?cái)?shù)問(wèn)題的最佳結(jié)果屬于另一位中國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐，2013年5月，他證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，發(fā)現(xiàn)存在無(wú)窮多差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)，從而在孿生素?cái)?shù)猜想這個(gè)此前沒(méi)有數(shù)學(xué)家能實(shí)質(zhì)推動(dòng)的著名問(wèn)題的道路上邁出了革命性的一大步。這一差值已被縮小至246。
No.9 在任意數(shù)域中證明最一般的互反律
狀態(tài)：部分解決
該問(wèn)題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國(guó)數(shù)學(xué)家埃米爾·阿廷（1927）解決。
埃米爾·阿廷證明在阿貝爾擴(kuò)張的情況下答案是肯定的；此外的情況則尚未證明。
No.10 丟番圖方程的可解性
狀態(tài)：已解答
答案：否定
希爾伯特問(wèn)，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？
能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解，也叫不定方程可解性。
1970年，蘇聯(lián)的 IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。
No.11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型
狀態(tài)：部分解決
有理數(shù)的部分由哈塞于1923年解決。
No.12 一般代數(shù)數(shù)域的阿貝爾擴(kuò)張
No.13 用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程
No.14 證明某類完備函數(shù)系的有限性
No.15 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)
No.16 代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯?wèn)題
狀態(tài)：未解決
這個(gè)問(wèn)題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論 的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置，其中 X、Y 是 x、y 的 n 次多項(xiàng)式。
蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了 n=2 時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過(guò)3，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，已由中國(guó)數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。
No.17 半正定形式的平方和表示
No.17 半正定形式的平方和表示
狀態(tài)：已解答
答案：肯定
「半正定形式的平方和表示」也就是說(shuō)。把有理函數(shù)寫(xiě)成平方和分式。
一個(gè)實(shí)系數(shù)n元多項(xiàng)式對(duì)一切數(shù)組 (x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能寫(xiě)成平方和的形式？1927年埃米爾·阿廷解決此問(wèn)題，并提出實(shí)封閉域。
No.18 非正多面體能否密鋪空間 球體最緊密的排列
狀態(tài)：已解答
答案：肯定
1911年比伯巴赫做出“n 維歐氏幾何空間只允許有限多種兩兩不等價(jià)的空間群”；萊因哈特證明不規(guī)則多面體亦可填滿空間；托馬斯·黑爾斯于1998年提出了初步證明，并于2014年8月10日用計(jì)算機(jī)完成了開(kāi)普勒猜想的形式化證明，證明球體最緊密的排列是面心立方和六方最密兩種方式。
No.19 拉格朗日系統(tǒng)之解是否皆可解析
No.20 一般邊值問(wèn)題
No.20 一般邊值問(wèn)題
狀態(tài)：未解決
一般邊值問(wèn)題也叫“所有邊值問(wèn)題是否都有解”，這一問(wèn)題進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。還在繼續(xù)研究。
No.21 證明有線性微分方程有給定的單值群
狀態(tài)：已解答
No.21 證明有線性微分方程有給定的單值群
No.22 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化
狀態(tài)：部分解決
它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年 P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。
No.23 變分法的進(jìn)一步發(fā)展出
狀態(tài)：未解決
這并不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是一個(gè)開(kāi)發(fā)性問(wèn)題，只是談了對(duì)變分法的一般看法。20世紀(jì)以來(lái)變分法有了很大的發(fā)展。
后記
實(shí)際上希爾伯特本人提出的原本的 “23 個(gè)問(wèn)題” 中很多并不是具體的問(wèn)題，而是數(shù)學(xué)的研究方向。由于希爾伯特個(gè)人巨大的影響，使得許多數(shù)學(xué)家研究他的問(wèn)題，很大程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。
科學(xué)在每個(gè)不同時(shí)代會(huì)產(chǎn)生不同問(wèn)題，而這些問(wèn)題的解決又對(duì)科學(xué)發(fā)展有深遠(yuǎn)的意義。雖然 23 個(gè)問(wèn)題中有不少問(wèn)題被證明解決，但并不意味著數(shù)學(xué)家們就此停止腳步，不同問(wèn)題還有不同解決方法，不同解決方法中是否存在不足之處或不充分的地方，都需要更多數(shù)學(xué)家們繼續(xù)推動(dòng)。
參考資料：
1. 數(shù)學(xué)可能有窮盡的一天嗎？
https://www.zhihu.com/question/55307215/answer/143887137
2.為什么說(shuō)希爾伯特和龐加萊之后人類再無(wú)數(shù)學(xué)家？
https://www.zhihu.com/question/21401664/answer/802714573
