圖說：英國大數(shù)學(xué)家哈代，其在1940年關(guān)于數(shù)學(xué)之美的隨筆《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自辯》，圍繞三個(gè)主題展開：數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)的持久性和數(shù)學(xué)的重要性。編者按
每個(gè)人都或多或少地接觸過數(shù)學(xué)和自然科學(xué)?？墒?，為什么大多數(shù)人能夠更加容易地理解自然科學(xué)的前沿，卻難以欣賞數(shù)學(xué)前沿之美？
著名數(shù)學(xué)史家胡作玄在評述大數(shù)學(xué)家哈代的著作《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自辯》時(shí)，指出數(shù)學(xué)之美猶如藝術(shù)，而且是高雅藝術(shù)，欣賞它需要從頭一步一步來，不僅需要有興趣，還要?jiǎng)幽X子，否則根本無法欣賞它的美。
——評哈代《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自辯》哈代（Hardy）這個(gè)姓在英國并非罕見。當(dāng)然，最享盛名的當(dāng)推19、20世紀(jì)之交的大作家、大詩人托馬斯·哈代（Thomas Hardy，1840—1928)，而其次就該算20世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家歌德弗萊·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）了。數(shù)學(xué)家不是那種顯山露水的人，因此，數(shù)學(xué)家的名字不大為人所知，數(shù)學(xué)家的工作更不是媒體和大眾談?wù)摰脑掝}。不過，中國是個(gè)例外。誰不知道華羅庚和陳景潤呢？誰不知道他們研究的解析數(shù)論和哥德巴赫猜想呢？好了，我可以把他們和哈代掛起鉤來。雖然，我們不能很嚴(yán)格地講，華羅庚是陳景潤的老師，哈代是華羅庚的老師，可是說哈代是華羅庚的老師輩的人總沒什么大錯(cuò)。一句話，在解析數(shù)論和哥德巴赫猜想方面，哈代是位祖師爺。所謂中國的解析數(shù)論學(xué)派，傳的就是哈代的衣缽。更具體講，20世紀(jì)30年代，華羅庚到劍橋訪問，東道主就是哈代。雖然華羅庚的論文足以使他拿下博士學(xué)位，但華羅庚的確熱愛數(shù)學(xué)，不重視學(xué)位這類虛名，這倒符合哈代的胃口，不過因此哈代也就無法成為華羅庚的博士導(dǎo)師。更有意思的是，哈代發(fā)現(xiàn)亞洲另外一位數(shù)學(xué)奇才——拉馬努金（S.A.Ramanujan，1887—1920)。他的數(shù)學(xué)知識(shí)也是靠自學(xué)，根本不懂什么是證明，也不懂近代數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性意味著什么。要不是哈代，他這一輩子也就完了。20世紀(jì)末，斯普林格出版了他五大卷筆記供后人研究，他成了印度的驕傲，尼赫魯在《印度的發(fā)現(xiàn)》[尼赫魯，1956]中還特別講到了他的工作。1940年，哈代的書《拉馬努金》[Hardy,1940b]出版，副標(biāo)題是“關(guān)于其生平和工作的十二次演講”，這對傳播拉馬努金的數(shù)學(xué)做出了決定性的貢獻(xiàn)。同年，在第二次世界大戰(zhàn)的戰(zhàn)火中，哈代的《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自辯》[Hardy.1940]出版了。說老實(shí)話，這本書，更正確地說是本小冊子，實(shí)在不合時(shí)宜。為什么？因?yàn)楣闹鲝埦褪牵瑪?shù)學(xué)家應(yīng)該躲進(jìn)純粹數(shù)學(xué)的象牙之塔，在純粹數(shù)學(xué)的世外桃源中優(yōu)游。他特別攻擊了應(yīng)用數(shù)學(xué)、認(rèn)為“真正的數(shù)學(xué)對戰(zhàn)爭毫無影響”，槍炮專家與飛機(jī)設(shè)計(jì)師所需要的數(shù)學(xué)是“微不足道的”[Hardy,1985,XXVIII]。他用的詞是Trivial，意思是平凡的、無聊的、小兒科的，總之是不登大雅之堂的。嚴(yán)格講，哈代有點(diǎn)循環(huán)論證：純粹數(shù)學(xué)沒有用，有用的不是純粹數(shù)學(xué)。如果哈代是懷特海（A.N.Whitehead，1861—1947）所說的“數(shù)學(xué)狂”，也就是“愛好數(shù)學(xué)和欣賞數(shù)學(xué)”達(dá)到偏執(zhí)狂程度的怪人，那也不要緊，他還偏偏對實(shí)際政治頗感興趣，并對自己的主張身體力行。在二次大戰(zhàn)打得不可開交的時(shí)候，他編了《羅素與三一學(xué)院》[Hardy,1942]一書，于1942年出版。眾所周知，羅素（B.Russell，1872—1970）是位和平主義者，在第一次世界大戰(zhàn)中從事反戰(zhàn)活動(dòng)并因此坐過牢。羅素可以說是哈代的老師和朋友，哈代不僅信奉羅素的數(shù)理邏輯，也同情他的政治思想，特別是他的反戰(zhàn)態(tài)度。1916年哈代所在的劍橋三一學(xué)院因羅素的反戰(zhàn)態(tài)度取消了他的講師資格。哈代、李特伍德（J.E.Littlewood，1885—1977）等22人聯(lián)名反對沒有成功，結(jié)果羅素1919年出獄后講師資格也沒有恢復(fù)。這種情況令哈代感到氣憤，因此，1920年他離開了劍橋，到牛津大學(xué)當(dāng)教授去了，直到1931年才回到劍橋。在1942年把這段陳年老賬翻出來，只能說他表了一個(gè)態(tài)——憎惡戰(zhàn)爭，逃避一切世俗事務(wù)，惟與純粹數(shù)學(xué)相伴。但是，歷史并不以個(gè)人意志為轉(zhuǎn)移。第二次世界大戰(zhàn)期間，科學(xué)開始起著前所未有的作用，其中最為驚人的是原子彈。原子彈不僅僅是物理學(xué)的產(chǎn)物，沒有數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家，原子彈還是造不出來。戰(zhàn)后，主要是物理學(xué)家，開始反思科學(xué)的社會(huì)功能以及科學(xué)家的社會(huì)責(zé)任。不過，數(shù)學(xué)家很少參與其中。至于哈代，晚年疾病纏身，由他妹妹照顧，一度還想自殺，也許是對板球的興趣最終阻止了他。1947年12月，哈代離開人世，享年70歲。他身后的世界與他生前的世界大不一樣，然而，數(shù)學(xué)也許還能如他所說，保留不朽的價(jià)值。哈代把自己的書題名為《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自辯》。自辯的原文是Apology，較難翻譯。這個(gè)詞起源很早，柏拉圖對話中就有《申辯篇》，其中蘇格拉底論述自己的道德觀念，來回答起訴人對他的控告，明顯地包含有自我辯護(hù)的成分。其后，基督教著述家為駁斥對基督教的指責(zé)，也起來為自己的信仰進(jìn)行辯護(hù)。哈代這里用這個(gè)詞，則是為純粹數(shù)學(xué)和自己這樣的純粹數(shù)學(xué)家來辯解，同以前的論辯一樣，一方面包括自我主張的申訴，另一方面有自己的對立面。他的對立面主要有兩個(gè)：一個(gè)是“大眾數(shù)學(xué)”，一個(gè)是應(yīng)用數(shù)學(xué)。他自己為之辯護(hù)的，則是高雅數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)。對于兩者的區(qū)分，他有一個(gè)特有的標(biāo)準(zhǔn)，那就是“無用”。哈代對有用的數(shù)學(xué)講得十分清楚：“中小學(xué)里大部分?jǐn)?shù)學(xué)都是有用的，例如算術(shù)、初等代數(shù)、初等歐氏幾何、初等微積分?！髮W(xué)數(shù)學(xué)中相當(dāng)一部分也是有用的”[Hardy.1985,XXVI]。他接著說，如果有用的知識(shí)就是目前和不久將來可能有助于改進(jìn)人類物質(zhì)生活的知識(shí)，而不管在學(xué)術(shù)上令人滿意與否，那么絕大部分高等數(shù)學(xué)都是無用的了。這里所謂高等數(shù)學(xué)是當(dāng)時(shí)的比大學(xué)更高級的數(shù)學(xué)，包括近世代數(shù)、近世幾何、集合論、函數(shù)論、數(shù)論，甚至還包括相對論和量子力學(xué)。由于他受當(dāng)時(shí)水平限制，認(rèn)為相對論和量子力學(xué)幾乎像數(shù)論一樣“無用”。雖然他認(rèn)為某些“陽春白雪”式的純粹數(shù)學(xué)會(huì)出人意料地變得“有用”，但他得出結(jié)論說，“任何一門學(xué)科與實(shí)際生活相聯(lián)系的往往是其中平凡和乏味的部分”[Hardy,1985,XXV]。顯然，這個(gè)結(jié)論比較保守。不僅他當(dāng)時(shí)認(rèn)為沒有用的數(shù)學(xué)在他去世半個(gè)世紀(jì)之后都變得有著不同程度的用處，而且連哈代想象不到的最新數(shù)學(xué)前沿也有這樣那樣的用處。更重要的是，許多前沿?cái)?shù)學(xué)，不僅有著重要應(yīng)用，而且有著哈代所喜歡的美學(xué)價(jià)值，如拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何學(xué)、代數(shù)數(shù)論、李群和李代數(shù)等等學(xué)科分支。哈代鐘愛的數(shù)論，如素?cái)?shù)的理論，是編碼與密碼學(xué)的重要工具。在哈代生前爆炸的原子彈，也不能說完全與相對論無關(guān)，更不能說和量子力學(xué)無關(guān)了。難道說，哈代的結(jié)論完全錯(cuò)了嗎？也對也不對。哈代過低估計(jì)了具有抽象性、普遍性的數(shù)學(xué)的不可思議的有用性和有效性。但是，哈代卻清楚地認(rèn)識(shí)到，純粹數(shù)學(xué)正在走向更大的抽象性與普遍性的不可逆轉(zhuǎn)的道路上。在這個(gè)道路上，不是有沒有用的實(shí)用觀點(diǎn)指導(dǎo)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，而是美學(xué)與藝術(shù)決定數(shù)學(xué)家的努力方向。美是數(shù)學(xué)的判定標(biāo)準(zhǔn)和指導(dǎo)原則。談到美學(xué)原則，有的數(shù)學(xué)家也談了不少，這里面的確有品位的高下之分。哈代究竟是個(gè)大數(shù)學(xué)家，他知道什么樣的數(shù)學(xué)是高雅的，什么樣的數(shù)學(xué)是低俗的。他的確為我們舉出了榜樣，例如費(fèi)馬（P.deFermat，1601—1665)、歐拉（L.Euler，1707—1783)、高斯（J.C.F.Gauss，1777—1855)，阿貝爾（N.H.Abel，1802—1829)、黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866)、龐加萊（J.H.Poincare，1854—1912）等，其實(shí)我們現(xiàn)在仍然在享用他們的遺產(chǎn)。這個(gè)名單還應(yīng)該加上剛剛結(jié)束的20世紀(jì)的最偉大的數(shù)學(xué)家：希爾伯特（D.Hilbert，1862—1943)、外爾（H.Weyl，1885—1955)、嘉當(dāng)（é.J.Cartan，1869—1951)、馮·諾伊曼（J.vonNeumann，1903—1957)、柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903—1987)、維納（N.Wienner，1894—1964）等等。他們無一例外都是最偉大的純粹數(shù)學(xué)家，同時(shí)又是杰出的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。在數(shù)學(xué)走向越來越專門、學(xué)科之間隔行如隔山的時(shí)代，正是他們開辟了全新的方向。他們超越了純粹數(shù)學(xué)的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，又超越了應(yīng)用數(shù)學(xué)的實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)，由于他們的超越，卻出人意料地達(dá)到了純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)完美結(jié)合的最高境界，而這恐怕是哈代始料未及的。- 現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)家還是不一樣的，他們也分三六九等。每個(gè)人都可以說自己是一流數(shù)學(xué)家，有的互相吹捧，有的互相拆臺(tái)。對于外行甚至隔行人來說，真可以說是一頭霧水。有沒有比較客觀的標(biāo)準(zhǔn)，有沒有內(nèi)在的尺度來衡量數(shù)學(xué)家的成就呢？哈代認(rèn)為是有的，這就是歷史標(biāo)準(zhǔn)。他說：總的說來，科學(xué)史是公平的，數(shù)學(xué)史尤其如此。沒有一門學(xué)科像數(shù)學(xué)這樣具有清晰一致的評判標(biāo)準(zhǔn)，那些被銘記的人幾乎都是值得紀(jì)念的人[Hardy,1985,VIII]。不過，他的這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)還不夠現(xiàn)實(shí)和具體。當(dāng)人們在考慮如何發(fā)展數(shù)學(xué)，選定發(fā)展方向時(shí)當(dāng)然不能等100年以后，而是要很快做決定，這時(shí)就需要積累和體制健全。天才并不缺少，缺少的是使天才茁壯成長的肥沃的土壤。在極端貧瘠的土壤中，什么也長不出來；而在肥沃的土壤中，只要條件成熟.自會(huì)鮮花盛開。當(dāng)然還有更差的情況，肥沃的土壤也可能長滿雜草，它們占用了豐富的資源，產(chǎn)生的只是一些惡果?！盎蚴亲运降摹保瑦汗兂蓯喊?，它使肥沃的土地，變成培育惡果的搖籃、腐敗的溫床。在哈代寫書的前后，世界發(fā)生了巨大的變化，其中最核心的觀念變化是，科學(xué)是一種資源。政府、國家在當(dāng)時(shí)冷戰(zhàn)的環(huán)境一要占有這個(gè)資源，二要發(fā)展這個(gè)資源。哈代當(dāng)時(shí)自由發(fā)展的時(shí)代一去不復(fù)返了。前蘇聯(lián)在這場軍備競賽中一直占有上風(fēng)。在發(fā)展了原子彈和氫彈以后，1957年發(fā)射了第一顆人造衛(wèi)星；1961年4月12月，加加林成為第一位飛往太空的人。美國嚇壞了，一方面大力發(fā)展空間技術(shù)，另一方面對體制進(jìn)行了反思。許多科學(xué)家，特別是來自歐洲的科學(xué)家指出，美國基礎(chǔ)科學(xué)研究和教育落后。從這時(shí)起，基礎(chǔ)學(xué)科得到了大力發(fā)展，數(shù)學(xué)也搭上了這班快車。到20世紀(jì)70年代中期，每年的數(shù)學(xué)博士超過千人。美國開始有自己土生土長的大批數(shù)學(xué)家。而在這之前，在二次大戰(zhàn)前后由各國，特別是由歐洲移民而來的數(shù)學(xué)家，如外爾、馮·諾伊曼、愛米·諾特（E.Noether，1882—1935)、庫朗（R.Courant，1888—1972)、烏蘭姆（S.Ulam，1909—1984)、齊格蒙德（A.Zygmund，1900—1992)、西格爾（C.L.Siegel，1896—1981)、愛侖堡（S.Eilenberg，1913—1998)、哥德爾、耐曼（J.Neyman，1894—1981)、費(fèi)勒（W.Feller，1906—1970)、魏伊（A.Weil，1906—1998)、薛華荔（C.Chevalley，1909—1984)、阿廷（E.Artin，1898-1962)、布勞爾（R.Brauer，1901—1977）等等，則把美國數(shù)學(xué)一下子提高到歐洲水平。所有這些人都絕對是世界一流的。順便說一句，在這些提升美國數(shù)學(xué)水平的數(shù)學(xué)家中也有幾位華裔，他們是陳省身、周煒良、樊畿、林家翹、鐘開萊、王憲鐘、王浩等。盡管70年代中期以后，美國每年培養(yǎng)的博士逐年減少，而且其中一半左右不是美國人，但這些都不妨礙美國數(shù)學(xué)在全球的重要地位。美國對外籍人并非天堂，但它具有體制上的優(yōu)勢，有能力有成果的數(shù)學(xué)家有較好的條件去自由地研究他所感興趣的題目，不管是純粹數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)。蘇聯(lián)解體后，大批前蘇聯(lián)一流數(shù)學(xué)家到美國工作，加上歐洲數(shù)學(xué)家經(jīng)常訪美，這使得美國數(shù)學(xué)始終維持在高水平上。前蘇聯(lián)的情況和美國完全不同，黨、政府、意識(shí)形態(tài)部門對于科學(xué)有決定性的控制作用?？茖W(xué)發(fā)展面向軍事和工程技術(shù)，基礎(chǔ)科學(xué)取決于聯(lián)系實(shí)際的密切程度。在蘇聯(lián)存續(xù)的75年間共有8人獲得諾貝爾獎(jiǎng)，7位物理學(xué)家，1位化學(xué)家。蘇聯(lián)的生物科學(xué)由于李森科的破壞，至今仍是乏善可陳?？偨Y(jié)蘇聯(lián)的科學(xué)，的確教訓(xùn)多多，自然科學(xué)沒有一門是世界一流，惟獨(dú)數(shù)學(xué)是個(gè)例外。蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)絕對是世界一流，今天的俄羅斯仍然很強(qiáng)，當(dāng)今數(shù)學(xué)最主要的未解決難題可望由俄羅斯數(shù)學(xué)家取得突破。究其原因，數(shù)學(xué)不是自然科學(xué)、一張紙、一支筆、無論什么環(huán)境，哪怕是在監(jiān)獄里，也都能做研究。法國大數(shù)學(xué)家魏伊和勒瑞（J.Leray，1906—1998）都進(jìn)過監(jiān)獄或戰(zhàn)俘營，他們在那里仍然研究數(shù)學(xué)。不過，能在這種惡劣的環(huán)境下堅(jiān)持下來顯然不容易，這就回到哈代在書中提出的問題：研究數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)是什么？有許多相當(dāng)高尚的動(dòng)機(jī)引導(dǎo)人們?nèi)氖履稠?xiàng)研究，但有三點(diǎn)比別的更重要。首先（沒有這一點(diǎn)其余的都沒用）是智力上的好奇心，希望探求真理，其次是職業(yè)上的自豪感，……最后是雄心壯志，希望得到名譽(yù)和社會(huì)地位甚至權(quán)力和金錢。[Hardy,1985,VII]
哈代不是書呆子，他洞悉人的欲望。許多人搞科學(xué)，具體說搞數(shù)學(xué)、目的就是為了權(quán)力和金錢，也的確有人得逞，特別是體制不健全的地方。這些人有了權(quán)力，不但搞不好數(shù)學(xué)，反而制造各種麻煩，讓想干事的人干不下去。說到底，他們對數(shù)學(xué)根本不感興趣。這樣，其后果可想而知。蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)沒有變成重災(zāi)區(qū)原因很多。但有幾點(diǎn)值得注意。蘇聯(lián)的領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家，約有幾十位具有國際聲譽(yù)，他們對數(shù)學(xué)本身比較熱愛，當(dāng)成事業(yè)來搞，對數(shù)學(xué)發(fā)展也比較重視。其中有些人還保護(hù)一些為社會(huì)排斥的數(shù)學(xué)家，如持不同政見者、猶太人、曾經(jīng)當(dāng)過戰(zhàn)俘的人等等。典型的例子有莫斯科大學(xué)校長彼得洛夫斯基院士保護(hù)持不同政見者沙法列維奇。由維諾葛拉陀夫當(dāng)了幾十年所長的數(shù)學(xué)研究所門檻很高，但還有其他的研究所可進(jìn)。蘇聯(lián)三位菲爾茲獎(jiǎng)獲得者就分別來自數(shù)學(xué)物理研究所、通訊研究所和低溫物理研究所?？偟膩碚f，盡管官方數(shù)學(xué)家受到種種限制，但很少有不學(xué)無術(shù)之輩濫用權(quán)力一手遮天的現(xiàn)象。20世紀(jì)30年代中期以后，蘇聯(lián)基本中斷了同國際上的聯(lián)系，但它仍有雄厚的基礎(chǔ)獨(dú)立發(fā)展。戰(zhàn)后雖然像拓?fù)鋵W(xué)等新興學(xué)科被停掉，但仍然關(guān)心國際上的動(dòng)態(tài)。從1953年起，他們繼德國的《數(shù)學(xué)文摘》和美國的《數(shù)學(xué)評論》之后，出版了自己的《數(shù)學(xué)文摘》，成為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家了解世界數(shù)學(xué)趨勢的窗口。他們發(fā)現(xiàn)，雖然他們在哈代所說的諸學(xué)科中大都處于領(lǐng)先地位，但是，在戰(zhàn)后興起的新學(xué)科中，特別是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)幾何學(xué)中，他們完全處于落后狀態(tài)。鑒于同調(diào)代數(shù)方法的廣泛應(yīng)用導(dǎo)致他們在許多領(lǐng)域落后，蘇聯(lián)有識(shí)之士從50年代中期起出版了翻譯期刊《數(shù)學(xué)》，選擇國外最新、最重要的論文，翻成俄文，以饗蘇聯(lián)的讀者。這樣，一些年輕的數(shù)學(xué)家有機(jī)會(huì)發(fā)揮自己才能，保持與世界同步。還有，蘇聯(lián)正如許多先進(jìn)數(shù)學(xué)大國一樣，把數(shù)學(xué)普及到群眾中尤其是青少年當(dāng)中去。首先是培養(yǎng)興趣，其次是培養(yǎng)事業(yè)心。許多人是從夏令營中聽到柯爾莫哥洛夫這樣的大院士深入淺出的啟發(fā)性報(bào)告，而立志走向數(shù)學(xué)的。這種訓(xùn)練是為了理解數(shù)學(xué)、而不是題海戰(zhàn)術(shù)的犧牲品。因此，盡管有種種不利因素，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)發(fā)展究竟走上了一條健康的道路，一代一代綿延不絕、人丁興旺。雖然哈代的關(guān)于純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的區(qū)別不幸為殘酷的現(xiàn)實(shí)打破，但是，他有一個(gè)核心的論點(diǎn)卻有著雋永的意味，值得我們推敲一下。哈代一開篇就感到，一位數(shù)學(xué)家談“關(guān)于數(shù)學(xué)”的事是可悲的。而既要談“關(guān)于數(shù)學(xué)”的事，自然就要回答“數(shù)學(xué)是什么”。如果把這個(gè)問題換成“物理學(xué)是什么”、“化學(xué)是什么”、“天文學(xué)是什么”，科學(xué)家的答案可能稍有差異，但八九不離十。惟獨(dú)以定義嚴(yán)密著稱的數(shù)學(xué)家，對這個(gè)涉及本行的問題卻難以回答，至少數(shù)學(xué)家的回答五花八門、莫衷一是。這也許是哈代覺得談“關(guān)于數(shù)學(xué)”沒啥意思的道理。在第一節(jié)中，他特別強(qiáng)調(diào)，“數(shù)學(xué)家的職責(zé)是實(shí)干，證明新的定理，擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識(shí)”，而“解釋、批評、鑒賞是二等活兒”[Hardy,1985,I]。甚至勸說英國一位詩人說、詩人一等，文學(xué)批評家二等。如果你證明了定理，那你不必費(fèi)心對“數(shù)學(xué)是什么”說三道四。不過，哈代還是干了二等活兒。他要為自己的純粹數(shù)學(xué)辯護(hù)，為自己是純粹數(shù)學(xué)家感到自豪，就必須這么干。不過，他沒正面為數(shù)學(xué)下定義，而是搞了一個(gè)類比。“數(shù)學(xué)家跟畫家或詩人一樣，也是形式的創(chuàng)造者”[Hardy,1985,X]。畫家用形與色創(chuàng)造形式，詩人用語言創(chuàng)造形式，而數(shù)學(xué)家用概念創(chuàng)造形式。他說，因此數(shù)學(xué)比別的更能經(jīng)受時(shí)間的考驗(yàn)。這樣，他為數(shù)學(xué)下了一個(gè)潛在的定義：“數(shù)學(xué)是形式的科學(xué)”。但這話不是他說的，而是我說的。說到底，他把數(shù)學(xué)說成是藝術(shù)，而不是科學(xué)。他說“數(shù)學(xué)家創(chuàng)造形式與畫家或詩人創(chuàng)造形式一樣，必須美。概念也像色彩或語言一樣，必須安排配置得和諧”[Hardy,1985,X]?！懊朗鞘滓臉?biāo)準(zhǔn)，不美的數(shù)學(xué)在世界上是找不到永久容身之地的”[Hardy,1985,X]。這話聽起來不錯(cuò)，可是，誰能夠欣賞數(shù)學(xué)的美呢？在這個(gè)問題上，哈代有了對立面。誰都可以說，數(shù)學(xué)多美啊、某某定理多漂亮啊。這些話實(shí)際上是無聊的廢話，沒什么意思。審美是相當(dāng)主觀的東西，誰都可以說一幅畫美或一首詩美，但他所指的美到底是什么，是否同別人體會(huì)的一樣、恐怕連自己也說不清。至于數(shù)學(xué)那就更玄了。一個(gè)人要是不懂他所說的數(shù)學(xué)，他怎么能說數(shù)學(xué)美呢？實(shí)際上，除了哈代所說的平凡的、無聊的數(shù)學(xué)之外，誰能像哈代懂得那么多當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)呢？從現(xiàn)在看，哈代懂得的數(shù)學(xué)也少得可憐。真正漂亮的數(shù)學(xué)還在后面呢！因此，他所批判的懷特海和霍格本（L.Hogben，1895—1975）或許更接近事實(shí)。懷特海認(rèn)為只有極少數(shù)“數(shù)學(xué)狂”式的怪人才能欣賞數(shù)學(xué)的美?；舾癖疽舱J(rèn)為數(shù)學(xué)美的魅力只對極少數(shù)人是實(shí)實(shí)在在的。但是哈代卻講出一段妙語：現(xiàn)在也許難以找到一個(gè)受教育的人對數(shù)學(xué)美的魅力全然無動(dòng)于衷。數(shù)學(xué)的美可能很難定義，但它難道不是和其他美完全一樣的完滿的美嗎？什么是一首美麗的詩，我們可能并不知道，但這并不妨礙我們讀詩時(shí)欣賞它。[Hardy,1985,X]
后來他又說，“大多數(shù)人都欣賞一點(diǎn)數(shù)學(xué)，正如大多數(shù)人能欣賞令人愉快的曲調(diào)一樣。對數(shù)學(xué)真有興趣的人很可能比對音樂有興趣的人要多。表面看來可能與此相反，但很容易解釋?！彼慕忉屆顦O了，“音樂上缺乏才能是不太體面的事（而這無疑是正確的），而大多數(shù)人一聽到數(shù)學(xué)就害怕，所以他們隨時(shí)都會(huì)由衷地強(qiáng)調(diào)自己在數(shù)學(xué)上不高明”[Hardy,1985,X]。我寫到這里，的確真感到這位世界一流的大數(shù)學(xué)家在干二等活時(shí)是多么不在行。出于對這位大師的尊重，我真不敢說他“邏輯混亂”。大多數(shù)人能欣賞的數(shù)學(xué)，難道不正是哈代所說的無聊乏味的數(shù)學(xué)嗎？哪里還有什么美可言呢？即便以最簡單的歐氏幾何而言，哈代所說的美的部分——平行公理或正五邊形作圖，有多少人能欣賞它勝過聽小曲呢？盡管如此，哈代把數(shù)學(xué)與藝術(shù)進(jìn)行對比有它本質(zhì)上的合理性。問題是要分清其中的層次。藝術(shù)有高雅藝術(shù)與通俗藝術(shù)之分，數(shù)學(xué)同樣有高雅與通俗之別。越是高雅的藝術(shù)，能欣賞的人就越少，創(chuàng)造它也就更需要非凡的才能。數(shù)學(xué)的情形完全類似。老實(shí)說，高雅的東西不是為了尋常百姓預(yù)備的，它屬于“精神貴族”。哈代沒有選好比較的對象，把數(shù)學(xué)比作畫和詩并不合適，而把數(shù)學(xué)比作音樂則比較恰當(dāng)。只可惜，他把音樂說成是民間小調(diào)，這就混淆了高雅與通俗。現(xiàn)代的數(shù)學(xué)就好像大型的交響樂，沒有音樂素養(yǎng)是根本聽不懂甚至聽不下去的。有名的交響樂中最長的要屬馬勒第八交響曲（千人交響曲），長達(dá)90-100分鐘。有人只是附庸風(fēng)雅去聽，還不是活受罪！現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科眾多，那一門也不是100分鐘就能學(xué)會(huì)的，100小時(shí)能咋出來點(diǎn)味來已屬不錯(cuò)，根本談不上欣賞它的美，更談不上創(chuàng)造。最多像媒體一樣，知道了名詞，什么拓?fù)鋵W(xué)啦，用來炒作、嚇唬老百姓。這種名詞在數(shù)學(xué)中成千上萬，說上十個(gè)自己也暈頭轉(zhuǎn)向。其實(shí)隔行的數(shù)學(xué)家也分不清同調(diào)和同倫，酉群和辛群，可那又有什么關(guān)系呢？一個(gè)人如果有藝術(shù)品位的話，他可以走遍全世界的博物館，聽遍所有高雅音樂的唱片，但是，他大概不可能學(xué)會(huì)全部數(shù)學(xué)，更談不上欣賞它們的美。人不是上帝，他不能全知全能，更不能與時(shí)俱進(jìn)。與上帝比起來，人缺少智力，更缺少時(shí)間，有人說，我們的智力并沒有進(jìn)化，我們并不比孔老夫子聰明，這話有理。小學(xué)生、中學(xué)生、大學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)并沒有顯著地加速。100年來，99%的人學(xué)不會(huì)300年前的微積分。要是學(xué)不會(huì)微積分，那微分方程和變分法就免談。這就是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)不同之處。前不久的事，如克隆、干細(xì)胞、互聯(lián)網(wǎng)、DVD等等一學(xué)就會(huì)。唯獨(dú)數(shù)學(xué)，完全得從頭來，一步一步來。沒有一門課像數(shù)學(xué)這樣讓人費(fèi)力不討好。哈代告訴我們，學(xué)好數(shù)學(xué)多少得有點(diǎn)興趣，還得動(dòng)點(diǎn)腦筋，否則苦不堪言，哪還有心情欣賞它的美呢？不過，要是你真正喜歡上數(shù)學(xué)，迷上了數(shù)學(xué)，甚至對數(shù)學(xué)的美非常欣賞的話，那就好了，哈代可以帶你走進(jìn)純粹數(shù)學(xué)的世外桃源。遺憾的是，對于絕大多數(shù)人來說，這不過是水中月，鏡中花。
Hardy,G.H.(1940a).AMathematician'sApologv.Cambridge:CambridgeUniversityPress.Hardy,G.H.(1940b).Ramanujan.Cambridge:CambridgeUniversityPress.Hardy,G.H.(1942).RussellundtheTrinih:[自費(fèi)出版]Hardy,G.H(1985).L'apologied'unmathematician.D.JullienetS.Yoccoz.Paris:Belin.哈代（1996).《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》（12—62頁）.李文林等編譯.南京：江蘇教育出版社.哈代，維納，懷特海（1999).《科學(xué)家的辯白》（3—80頁）.毛虹等譯.南京：江蘇人民出版社.尼赫魯（1956).《印度的發(fā)現(xiàn)》.北京：新華出版社.作者簡介：胡作玄，1936年生人，中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所研究員。版權(quán)聲明：本文原文發(fā)表于《科學(xué)文化評論》第1卷第1期(2004)，《賽先生》獲期刊授權(quán)轉(zhuǎn)載，經(jīng)授權(quán)發(fā)布。另：該書新版由人民郵電出版社出版，書名為《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，為中英雙語版，賽先生書店有售。
本書是哈代于1940年寫成的心得之作，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)的持久性和數(shù)學(xué)的重要性三大主題。作者從自己的角度談?wù)摿藬?shù)學(xué)中的美學(xué)，給眾多數(shù)學(xué)“門外漢”一個(gè)機(jī)會(huì)，洞察工作中的數(shù)學(xué)家的內(nèi)心。作者還討論了數(shù)學(xué)的本質(zhì)與特點(diǎn)、數(shù)學(xué)的歷史及其社會(huì)功能等諸多話題。該書被稱為是“用優(yōu)雅的語言對數(shù)學(xué)真諦進(jìn)行了完美的揭示”，原汁原味地向讀者展示了一位真正、純粹的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想，是不可多得的經(jīng)典讀物。可開發(fā)票，請?jiān)谫彆鴤渥⒅辛粝麻_票信息（單位、稅號(hào)和郵箱），確認(rèn)收貨后，由出版社開具。歡迎關(guān)注我們，投稿、授權(quán)等請聯(lián)系
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