掙脫確定性的枷鎖，數(shù)學獲得了自由
正如烹飪一樣，高級餐廳的擺盤再精致，后廚難免一地雞毛?，F(xiàn)成的數(shù)學理論如水晶般無瑕，但數(shù)學家發(fā)展這些理論的過程又是如何呢？
撰文 | 方弦（組合數(shù)學博士、科學松鼠會會員）
編輯 | 一塊肉餅
1758年圣誕節(jié)，德國的一位業(yè)余天文學家帕利奇發(fā)現(xiàn)，天上出現(xiàn)了一顆彗星。
對于天文學家來說，彗星并不陌生。早在公元前613年，我國的天文學家就見過彗星，并在《春秋》中留下了記錄：“秋七月，有星孛入于北斗”。這種天體拖著長長的尾巴，在天空中格外顯眼。但在古人眼中，這種不知何時而來的怪異星體，顯然是災禍的預兆。
直到1705年，英國天文學家哈雷在研究天體的引力影響時，在故紙堆中發(fā)現(xiàn)1531年、1607年和1682年出現(xiàn)的三顆彗星似乎擁有同樣的軌道。他猜想它們應該是同一顆彗星。他預測，這顆彗星應該會在1758年左右回歸。帕利奇觀察到的，正是這次回歸。至此，彗星不再是神秘的預兆，而是如約而至的自然現(xiàn)象。
而讓哈雷能正確做出預測的，正是牛頓的萬有引力理論，還有他和萊布尼茲當時正在發(fā)展的微積分。
一窺數(shù)學的“后廚”
數(shù)學發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)深入了各個學科。除了物理、化學等自然科學，經(jīng)濟學、心理學等社會科學為了得到更為精確的結(jié)論，用到的數(shù)學也越來越多。哈雷彗星的預測當年被認為準確得近乎神跡，但現(xiàn)在各行各業(yè)中，這樣的預測簡直稀松平常。通過數(shù)學的計算，科學家解開了宇宙的奧秘，工程師設計了精巧的結(jié)構。數(shù)學計算的結(jié)果，與應用若合符節(jié)，給人們留下了“數(shù)學即精準”的印象。
但正如烹飪一樣，高級餐廳的擺盤再精致，后廚難免一地雞毛?，F(xiàn)成的數(shù)學理論如水晶般無瑕，但數(shù)學家發(fā)展這些理論的過程又是如何呢？數(shù)學史專家克萊因的這本經(jīng)典名著《數(shù)學簡史：確定性的消失》，就讓我們有了一窺數(shù)學“后廚”的機會。讓我們能看到，在發(fā)展為當今嚴密精確的理論之前，數(shù)學所經(jīng)歷過的模糊與混亂。在克萊因眼中，作為描述這個世界最確定無誤的數(shù)學體系，在經(jīng)歷過三次危機之后，就徹底失去了它的確定性。
三次數(shù)學危機
第一次危機發(fā)生在幾何領域。建基于公理與邏輯的歐幾里得幾何，兩千年顛撲不破的歷史被非歐幾何的發(fā)現(xiàn)所打斷。人們至此發(fā)現(xiàn)，幾何不止一種，而這個世界也沒有理由只能用歐氏幾何來描述。與此同時，第二次危機在代數(shù)中醞釀著。當時代數(shù)的頂峰微積分雖然實用，但邏輯體系模糊至極，“無窮小量”這一概念更是遭人詬病。牛頓和萊布尼茲在17世紀開拓的微積分體系，要到19世紀才打好嚴密的根基。在兩次危機之后，數(shù)學家終于開始正視數(shù)學的嚴密性，希望用更精確的邏輯建筑數(shù)學大廈，保證它的穩(wěn)固。
然而，第三次危機就此襲來。對于應否接受康托爾“無窮之后仍有無窮”的概念，數(shù)學家之間的爭論逐漸上升到了數(shù)學基礎應歸于何處的論戰(zhàn)，出現(xiàn)了數(shù)個不同的學派。其中有主張“數(shù)學就是思維構造產(chǎn)物”的直覺主義，他們認為人類直覺不能把握實在無窮，而將其拒諸門外；有主張“數(shù)學可以完全化歸為邏輯”的邏輯主義；還有主張“數(shù)學不過是符號游戲”的形式主義，其中符號代表什么其實并不重要。
然而，這三個派別都分別碰到了各自的難題：直覺主義拒絕了太多的數(shù)學，就連領軍人物也不愿意只在這個框架下繼續(xù)研究；邏輯主義的帶頭人弗雷格用邏輯為許多數(shù)學分支搭建了架構，但卻被羅素悖論一下子摧毀了；希爾伯特提出了形式主義的綱領，將一切數(shù)學化歸為算術，希望通過證明算術沒有矛盾來證明數(shù)學中不可能出現(xiàn)矛盾，但哥德爾的不完備性定理打碎了這一夢想。哥德爾證明，只要形式系統(tǒng)內(nèi)包含完整的算術體系，就不可能在系統(tǒng)內(nèi)部證明自身不會出現(xiàn)矛盾。也就是說，希爾伯特的夢想不可能實現(xiàn)。
但數(shù)學基礎總要有個共識?，F(xiàn)今，大部分數(shù)學家都將所謂的策梅洛-弗蘭克公理集合論當作幾乎所有數(shù)學的基礎，它延續(xù)了形式主義和邏輯主義的某些方法論。雖然其中大部分公理在直觀上無可辯駁，但也有一些公理，比如說選擇公理，還有一些爭議。對于克萊因來說，這就是數(shù)學確定性的終結(jié)：選擇什么公理體系并沒有確定的標準，所以數(shù)學并沒有一個客觀的基礎。他認為，自此之后數(shù)學就走進了為抽象而抽象的誤區(qū)，唯一留存堅實基礎的，只剩下直接錨定于客觀現(xiàn)實的應用數(shù)學。
“數(shù)學喪失了確定性”這個視角似乎非?；野?，但真的如此嗎？
結(jié)構主義
克萊因本人作為數(shù)學史的專家，在講述三次數(shù)學危機時條分縷析，準確描述了數(shù)學從經(jīng)驗到嚴密的發(fā)展軌跡。然而，他在描述第三次數(shù)學危機后的現(xiàn)代數(shù)學時，卻忽視了最洶涌也最富有影響力的思潮——結(jié)構主義。布爾巴基學派是結(jié)構主義的領軍人物，但克萊因僅寥寥提到他們幾次，而且并沒有詳述他們的數(shù)學基礎觀點。然而那正是現(xiàn)代許多數(shù)學家對數(shù)學基礎的看法，也是數(shù)學家仍對數(shù)學前景十分樂觀的原因之一。
一言以蔽之，結(jié)構主義認為，數(shù)學就是研究抽象結(jié)構及其之間關系的學科。
什么是抽象結(jié)構？要理解這一點，我們要先破除根深蒂固的信念，用完全抽象的眼光看數(shù)學。舉個例子，從小老師就教我們，自然數(shù)是可以數(shù)出來的數(shù)，每個自然數(shù)上都附有不同的性質(zhì)。人們會說，“4”就是一個合數(shù)，這就是它自己的性質(zhì)，與別的數(shù)沒有關系。
但真的是這樣嗎？為什么我們會說“4”是合數(shù)？那是因為有一個比它小但不是1的自然數(shù)“2”可以整除它。也就是說，我們在意的“4是合數(shù)”這個性質(zhì)，實際上反映的是其他自然數(shù)和它之間的關系。換句話說，“4”這個數(shù)并不重要，重要的是它與其他數(shù)有什么關系。“4”只是一個方便我們稱呼的標簽，但它的內(nèi)涵并不是這個標簽，而是標簽背后沒有任何特殊之處的實體，以及它與其他實體之間的關系。如果撇除一切關系的話，每一個數(shù)除了標簽不同都無法區(qū)分。每個數(shù)之所以不一樣，是因為它們跟其他數(shù)有著各異的關系網(wǎng)絡。
這種看法，在其他更復雜的數(shù)學中也適用。我們討論某個數(shù)學對象，實際上討論的是它與其他數(shù)學對象的關系。而如果將擁有特定關系的數(shù)學對象聚成一組，我們就得到了一個數(shù)學結(jié)構。比如說，所有整數(shù)再加上它們之間加法和乘法的關系，就組成了一個叫做“整數(shù)環(huán)”的數(shù)學結(jié)構。數(shù)學結(jié)構本身又可以作為數(shù)學對象，與其他數(shù)學結(jié)構一起形成更高階的數(shù)學結(jié)構。不同的數(shù)學結(jié)構還可以出現(xiàn)在同一組數(shù)學對象上，比如說整數(shù)除了有整數(shù)環(huán)這個代數(shù)結(jié)構以外，還有所謂的“序結(jié)構”，讓我們可以比較整數(shù)之間的大小。由此，不同的數(shù)學結(jié)構之間也就產(chǎn)生了更多的聯(lián)系。數(shù)學的任務，就是研究這樣層層疊疊、互相勾連的數(shù)學結(jié)構。
那么，數(shù)學是如何研究這些結(jié)構的呢？我們當然可以深入研究每個結(jié)構的性質(zhì)，就像歐氏幾何實際上研究的就是平面這個數(shù)學結(jié)構；也可以比較相似的結(jié)構，找出它們的共性；還可以研究結(jié)構的某個性質(zhì)到底來源于結(jié)構的什么方面，嘗試將相似的性質(zhì)推廣到相似的結(jié)構上。這些方向分別對應著克萊因所說的：數(shù)學的專門化、抽象化和一般化。
但除了克萊因所說的這三個方向以外，還有更重要的方向，就是嘗試在結(jié)構中尋找新的結(jié)構，和尋找迥然相異的結(jié)構之間的聯(lián)系?？梢哉f，近現(xiàn)代大部分的數(shù)學突破都可以歸于這個類別。名噪一時的龐加萊猜想的證明，正是源于佩雷爾曼確認了三維流形這個拓撲結(jié)構與它上面某些微分結(jié)構之間的關系。而陶哲軒之所以被認為是大數(shù)學家，也是因為他巧妙地發(fā)現(xiàn)了組合、數(shù)論、代數(shù)這些領域中林林總總看似毫不相干的結(jié)構之間的緊密聯(lián)系，由此得以利用不同領域的方法來解決難題。
這種結(jié)構主義的觀點也為數(shù)學家們帶來了莫大的自由。非歐幾何的出現(xiàn)，使數(shù)學家明白了幾何不止一種。新幾何的探索就開始了，涌現(xiàn)出了微分幾何甚至代數(shù)幾何這些如今枝繁葉茂的分支，而歐氏幾何本身幾乎走到了發(fā)展的盡頭。同樣，擺脫了“必須描述現(xiàn)實世界”的束縛，現(xiàn)代數(shù)學才煥發(fā)出全新的活力。數(shù)學家構造新結(jié)構的靈感來源，除了現(xiàn)實以外，還多出了類比和想象，由此產(chǎn)生的新結(jié)構，更是層出不窮。
當然，這種自由并不意味著與現(xiàn)實脫節(jié)。現(xiàn)實如此復雜，其中暗藏的結(jié)構至今仍未被揭示于萬一?，F(xiàn)代數(shù)學的自由發(fā)展也催生了對各種各樣結(jié)構的探索，其中有一些看似無比抽象的結(jié)構，卻與現(xiàn)實有著緊密的關聯(lián)。最近，法國青年數(shù)學家皮埃爾-路易·吉斯卡爾在研究圖上的路徑時，發(fā)現(xiàn)這些路徑之間的關系與整數(shù)有相似之處。通過這個類比，他將數(shù)論中的篩法應用到路徑的計數(shù)上，得到了不少成果，甚至解決了量子化學中的一些問題。被克萊因認為與現(xiàn)實最脫節(jié)的數(shù)論，卻能找到最實際的應用。就連抽象至極的數(shù)理邏輯，隨著計算機的出現(xiàn)，也在編程語言設計中找到了一席之地。所有這些應用，都是因為我們找到了現(xiàn)實中的數(shù)學結(jié)構。
現(xiàn)實方方面面的結(jié)構是什么，我們一時無法摸清。但正因為現(xiàn)代數(shù)學的自由，數(shù)學家可以研究更抽象更一般化的結(jié)構。而一旦我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實的某個側(cè)面有著已經(jīng)研究過的結(jié)構，就能立刻應用相應的結(jié)論。數(shù)學結(jié)構中最重要的是關系。至于標簽是什么，是整數(shù)還是頂點又或者是分子，根本無關緊要。
正因為數(shù)學結(jié)構什么都不是，所以它可以什么都是。這就是數(shù)學的力量。
如果存在矛盾……
人們可能會說，克萊因指出的問題仍然存在，數(shù)學仍然沒有一個在邏輯上甚至在形而上學上確定無誤的基礎。目前數(shù)學界接受公理集合論，也只是一個共識，但卻無法證明其中沒有矛盾。危機的可能性仍然存在。
哥德爾不完備性定理告訴我們，無法證明算術以至于數(shù)學沒有矛盾。但這個結(jié)論的前提是算術本身沒有矛盾。而按目前枝繁葉茂的發(fā)展，如果數(shù)學本身有矛盾，很難想象到現(xiàn)在為止還沒有數(shù)學家發(fā)現(xiàn)。的確我們無法證明沒有矛盾，但實踐說明矛盾非常不可能存在。這并不能完全排除矛盾的可能性，但將它降低到了一個可以讓大部分數(shù)學家安心工作的地步。
如果抬杠的話，要是有一天人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學的基礎——策梅洛-弗蘭克公理體系——之中的確存在矛盾，那怎么辦？
讓我們回到結(jié)構主義的理念：在數(shù)學中，重要的是結(jié)構，而所謂邏輯證明、公理體系，都只是描述這些結(jié)構的一種方法。結(jié)構本身是沒有矛盾的，它就這樣存在著。如果我們發(fā)現(xiàn)描述它的公理體系出現(xiàn)了矛盾，那是因為描述的方式不正確，而不是因為結(jié)構本身有矛盾。公理和證明是我們用以探索數(shù)學結(jié)構不可或缺的工具，但不是數(shù)學的基礎?！把哉咚栽谝猓靡舛?。”工具壞了，換一套就可以繼續(xù)工作；公理系統(tǒng)出問題了，也只需要換一套，把有問題的地方排除掉。目前對數(shù)理邏輯的研究，也為這種更換提供了可能性。
畢竟我們研究的是數(shù)學，而不是單純的符號推演。在符號以外，還有我們希望把握的意義。
無盡的創(chuàng)造性
但哥德爾不完備性定理仍然沒有排除矛盾的可能性，這不會讓數(shù)學家如芒在背嗎？
正如失去確定性給數(shù)學帶來了自由，矛盾的可能性實際上賦予了數(shù)學無盡的創(chuàng)造性。
對哥德爾不完備性定理更根本的理解是，只要公理體系的表達能力足夠強大，那么在其中的真理不等于被證明。這應該被視為公理體系力量的顯現(xiàn)，而非弱點。但真理的反面同樣不一定能被否定。為了厘清什么命題不能在某個公理體系中確定真假，數(shù)學家提出了許多方法，大大發(fā)展了數(shù)理邏輯。獨立于公理體系的命題，也給數(shù)學提供了更多的可能性：我們可以將這些命題或者它的反面添加到公理體系中，得到更強大的系統(tǒng)。但即使如此，這些加強過的公理體系仍然有著不能被證明的真理，從而可以繼續(xù)在不同的方向上加強。這就是矛盾帶來的創(chuàng)造性。與之相反，數(shù)學家也可以削弱某個公理體系中的公理，從而得到表達能力更弱但更確定的公理體系。許多數(shù)學分支其實不需要過于強大的公理體系，研究每個分支實際上需要什么強度的公理體系，這有助于我們更好地理解不同分支的本性。
除了矛盾的存在性以外，克萊因也將許多數(shù)理邏輯的結(jié)論闡述為數(shù)學本身的缺陷。比如說現(xiàn)在本科數(shù)理邏輯課上會提到的勒文海姆-斯科倫定理，它證明了任何一階邏輯的公理體系都有無數(shù)的模型，也就是說無法用一階邏輯完整地刻畫某個給定的結(jié)構。但在克萊因的眼中，這就成了數(shù)學的缺陷，說明公理化方法不可能唯一刻畫某個結(jié)構。這種理解顯然有問題，因為邏輯并不止一階邏輯一種。比如說自然數(shù)，如果利用二階邏輯的話，就有對應的公理體系可以唯一決定自然數(shù)的結(jié)構。當然，二階邏輯也有它的缺點，數(shù)學家對其也有爭議，但畢竟說明了自然數(shù)結(jié)構可以用公理化方法刻畫。克萊因的批評也就不成立了。更合理的理解是，這些數(shù)理邏輯的結(jié)論指出的是公理體系的特性，而不是公理體系所描述的數(shù)學的缺陷。
就像漢語的時態(tài)沒有法語精細，這并不說明時間在中國的流動就比在法國模糊。
終極自由
克萊因的觀點與現(xiàn)代數(shù)學界的觀點的相互沖突，讓我們想起人類對自身本質(zhì)的探求。
克萊因希望為數(shù)學找到堅實的基礎，對他而言那就是與現(xiàn)實的聯(lián)系，所以他對數(shù)學危機深感不安，因為他認為每一次數(shù)學危機，都使數(shù)學一點點地從現(xiàn)實剝離，最后成為現(xiàn)在的“空中樓閣”。
現(xiàn)代數(shù)學界的看法卻樂觀得多。他們認為，經(jīng)過每一次數(shù)學危機，數(shù)學本身都有所得益。先是發(fā)現(xiàn)了數(shù)學系統(tǒng)并非唯一，然后是掌握了嚴謹?shù)耐评矸椒?，最后得到了超越邏輯本身的視角。對他們而言，越抽象反而越堅實。正因為什么都不是，所以可以什么都是?/p>
這其實也是人類發(fā)展的縮影。
古時候人們認為大地是不動的磐石，是宇宙本身。古希臘人首先否定了這個臆想，確立了大地是個球體。但后來人們又認為地球是宇宙的中心，一切星體都圍著它轉(zhuǎn)動。哥白尼打破了這個迷思，提出太陽才是中心，也因此遭受迫害。隨著天文學不斷發(fā)展，人們才逐漸認識到，太陽不過是眾多恒星中的一顆，并非宇宙中心。而太陽所處的銀河系以外，還有無數(shù)個星系，銀河系并沒有任何特殊之處。隨著我們對宇宙認識的加深，人類在宇宙中的地位也被逐步廢黜。我們不過是星塵。
古時候人們面對自然無能為力，只能將自己的存在的意義交給神仙和上帝，因為無所不能的上帝似乎正是存在意義的堅實基礎。直到自然科學的出現(xiàn)，讓人們可以在自然面前逐步把握自己的命運，這也逐步動搖了宗教的根基。人們逐漸意識到，存在意義的堅實基礎不過是幻夢。先有尼采喊出“上帝已死”，后有薩特明示“存在先于本質(zhì)”，而人的本質(zhì)由人的存在與選擇所決定。人類就此從上帝奪回決定自身意義的權柄。對于宗教信徒來說，這些可惡的哲學家動搖了人類存在的根基。但對于清醒的人來說，這種喪失其實就意味著終極的自由：你存在的意義就是你自身，你成為什么樣的人，取決于你想成為什么樣的人。
這也就是數(shù)學發(fā)展的軌跡。對克萊因來說，數(shù)學喪失了確定性這一基礎；但對于現(xiàn)代數(shù)學來說，這種所謂“基礎”，不過是對自由的限制。
數(shù)學失去的只是枷鎖，獲得的卻是描繪任何事物的終極自由。
