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什么是數(shù)學(xué)？未來科學(xué)大獎(jiǎng)得主莫毅明研究的是啥？

2022/08/22
導(dǎo)讀
數(shù)學(xué)力求通用、抽象、概括。
    8.21
知識(shí)分子The Intellectual

2022年未來科學(xué)大獎(jiǎng)-數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)得主：香港大學(xué)Edmund and Peggy Tse講席教授莫毅明


 編者按

剛剛，2022年未來科學(xué)大獎(jiǎng)揭曉，香港大學(xué)教授莫毅明成為新晉數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)獎(jiǎng)得主，獲獎(jiǎng)理由是：獎(jiǎng)勵(lì)他創(chuàng)立了極小有理切線簇(VMRT)理論并用以解決代數(shù)幾何領(lǐng)域的一系列猜想，以及對(duì)志村簇上的Ax-Schanuel猜想的證明。

1956年出生的莫毅明主要從事多復(fù)變函數(shù)論、復(fù)微分幾何與代數(shù)幾何的研究。他1978年從美國耶魯大學(xué)獲得碩士學(xué)位，1980年獲斯坦福大學(xué)博士學(xué)位，先后在美國普林斯頓大學(xué)、美國哥倫比亞大學(xué)、法國巴黎大學(xué)任職，1994年回到香港擔(dān)任香港大學(xué)數(shù)學(xué)系講座教授。

“莫毅明教授的工作樹立了復(fù)幾何、代數(shù)幾何以及數(shù)論成功合作的典范。”未來科學(xué)大獎(jiǎng)科學(xué)委員會(huì)委員、美國西北大學(xué)Pancoe 講席教授夏志宏評(píng)論說。

撰文 | 夏志宏

責(zé)編 | 陳曉雪


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什么是數(shù)學(xué)？

一年一度的未來科學(xué)大獎(jiǎng)剛剛揭曉。祝賀三位獲獎(jiǎng)科學(xué)家榮獲未來科學(xué)大獎(jiǎng)：


生命科學(xué)獎(jiǎng)，李文輝，北京生命科學(xué)研究所資深研究員, 清華大學(xué)生物醫(yī)學(xué)交叉研究院教授；物質(zhì)科學(xué)獎(jiǎng)，楊學(xué)明，南方科技大學(xué)教授，中國科學(xué)院大連化學(xué)物理研究所研究員；

數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)，莫毅明，香港大學(xué)Edmund and Peggy Tse講席教授。


作為未來科學(xué)大獎(jiǎng)科學(xué)委員會(huì)委員，今年的評(píng)選工作又有了值得慶賀的結(jié)果，倍感欣慰，在評(píng)選過程中看到了大中華地區(qū)科學(xué)的發(fā)展與活力，而獲獎(jiǎng)?wù)邆兊慕艹龉ぷ髯屓丝吹搅酥袊鴮?duì)科學(xué)和人類文明的貢獻(xiàn)。

數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)獲得者莫毅明教授的工作非常艱難、深刻。本想詳細(xì)介紹他的工作，但知難而退，先聊聊數(shù)學(xué)學(xué)科本身。

一提起數(shù)學(xué)，很多人想到的是計(jì)算、做題與數(shù)學(xué)競賽。其實(shí)這些只是數(shù)學(xué)技巧，不是數(shù)學(xué)本身。就像畫筆、油布不是藝術(shù)，而是藝術(shù)的工具。

數(shù)學(xué)力求通用、抽象、概括。最簡單的例子是教小孩加法，通常我們會(huì)說1個(gè)蘋果加2個(gè)蘋果等于3個(gè)蘋果，或者1個(gè)橘子加2個(gè)橘子等于3個(gè)橘子，小孩慢慢會(huì)發(fā)現(xiàn)蘋果和橘子并不重要，重要的是數(shù)字本身。小孩慢慢也能總結(jié)，如此算法也可以應(yīng)用到其他物體上。漸漸地，小孩的思維里就可以丟掉具體的蘋果和橘子，抽象為統(tǒng)一的 “1+2=3”。

不要小看如此簡單的公式，這里有了一個(gè)質(zhì)的飛躍。我們并不管1、2、3背后的東西，蘋果也好，飛機(jī)也好，甚至非常抽象的概念，都有一個(gè)同樣的規(guī)律。

這就是數(shù)學(xué)。

一般數(shù)學(xué)理論就像1+2=3這樣，只不過是在更高層次上抽象概括，其重要性也像1+2=3一樣深刻。有人會(huì)覺得抽象數(shù)學(xué)很難，其實(shí)大部分人都已接受1+2=3這樣的抽象概念，經(jīng)過訓(xùn)練，大部分人也都能接受更高層次的抽象思維。

舉個(gè)更復(fù)雜的例子。正三角形有很好的對(duì)稱性，對(duì)稱性的意思是，經(jīng)過某些空間位置變動(dòng)（移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)）后仍然保持一樣的圖形。比如，正三角形以中心旋轉(zhuǎn)120度、240度或360度以后，所處于空間的位置是一樣的，另外沿某個(gè)對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)以后也得到一樣的空間圖形。用數(shù)學(xué)語言描述，這些保持空間位置不變的變換構(gòu)成一個(gè) “群”，稱之為 “對(duì)稱群”，正n角形的對(duì)稱群一般記為Dn。

排成一排的三個(gè)同樣的小鋼球換了順序以后，外表看上去還是一樣的。順序的轉(zhuǎn)換也構(gòu)成一個(gè)群，叫做 “置換群”，n個(gè)小球的置換群一般記為Sn。正三角形的對(duì)稱群D3和三個(gè)小球的置換群S3剛好是一樣的。

數(shù)學(xué)家的工作之一就是研究這些抽象群的性質(zhì)，而不用關(guān)心它們的具體背景，所得到的結(jié)果當(dāng)然也就會(huì)是普遍的、通用的。比如，大部分5次代數(shù)方程的5個(gè)根有S5的對(duì)稱性，而因?yàn)镾5的復(fù)雜性，我們可以得出結(jié)論，這些5次方程的解是不可能用代數(shù)公式表達(dá)出來的。也就是說，不存在5次代數(shù)方程解的一般公式，而S3，S4相對(duì)簡單一些，所以3次方程和4次方程都有公式解。這就是著名的伽羅華（Galois）理論，由法國數(shù)學(xué)家伽羅華在他18歲（1830年）時(shí)創(chuàng)立。一年多以后伽羅華與人決斗，不幸去世。關(guān)于決斗原因，眾說紛紜，有說是因政見不同，也有說是因?yàn)橐粋€(gè)叫Stephanie的女孩。

不同數(shù)學(xué)學(xué)科有不同的研究對(duì)象。既然數(shù)學(xué)不以實(shí)物作為研究對(duì)象，我們不妨?xí)簳r(shí)稱這些對(duì)象為元素。元素可以是數(shù)字、空間的點(diǎn)或其他抽象物體。如果元素之間可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，比如兩個(gè)元素可以相加、或相乘，我們就得到一個(gè)學(xué)科：代數(shù)。數(shù)學(xué)上稱元素上的運(yùn)算為元素之間的一種結(jié)構(gòu)。其他數(shù)學(xué)學(xué)科研究的是元素之間的其他結(jié)構(gòu)。比如幾何的研究對(duì)象就是元素之間有距離的結(jié)構(gòu)。這可以理解為空間的一些點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間有距離。如果這個(gè)距離的概念有很好的性質(zhì)，這就產(chǎn)生了黎曼幾何。也有的時(shí)候，精確的距離概念并不重要，比如氣球，距離可以隨意伸縮，但并不改變氣球本身內(nèi)在的物體。這時(shí)氣球的結(jié)構(gòu)可以用鄰居這個(gè)概念來描述。無論氣球怎么伸縮，任何點(diǎn)都有同樣的一些不同范圍的鄰居，鄰居這種結(jié)構(gòu)還是保留下來了。鄰居的概念在數(shù)學(xué)上稱之為 “拓?fù)洹?，這也就是拓?fù)鋵W(xué)研究的對(duì)象。

也有一個(gè)特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科的研究對(duì)象就是元素，無任何外加的結(jié)構(gòu)，這個(gè)學(xué)科就是集合論。因?yàn)闆]有結(jié)構(gòu)，給人以無從下手的感覺，因此更為抽象。

和其他科學(xué)研究一樣，數(shù)學(xué)研究的目的是探索未知。當(dāng)然，抽象數(shù)學(xué)本身很有趣，可以作為藝術(shù)欣賞。另外，數(shù)學(xué)可以培訓(xùn)概括、理性、抽象分析的能力。對(duì)很多人來說，代數(shù)、微積分等可能學(xué)了沒有多少實(shí)際用處，但這些課程對(duì)思維的訓(xùn)練有不可忽視的作用。

其實(shí)，數(shù)學(xué)也有廣泛、深刻的直接應(yīng)用。最通俗的例子是網(wǎng)上交易?；ヂ?lián)網(wǎng)是一條條透明的通道，你和銀行的每一句對(duì)話其他人都可以聽到，也就是說，包括交換密碼本在內(nèi)的對(duì)話其他人都可以聽到（記得小時(shí)候看諜戰(zhàn)片里的主要焦點(diǎn)就是偷取、破譯或保護(hù)密碼本）。在密碼本完全公開的情況下，我們?nèi)绾巫龅骄W(wǎng)絡(luò)上的加密通信仍然是保密的？這可能嗎？數(shù)學(xué)家告訴你，這是可能的，而且你每天都在用。這種加密方法用到了非常高深的數(shù)學(xué)理論——數(shù)論。2019年未來科學(xué)大獎(jiǎng)之?dāng)?shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)?wù)咄跣≡平淌诘难芯款I(lǐng)域就是密碼學(xué)，而她的博士論文討論的就是數(shù)論領(lǐng)域。

今年未來科學(xué)大獎(jiǎng)之?dāng)?shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)獲得者莫毅明教授是復(fù)幾何和代數(shù)幾何專家。復(fù)幾何和代數(shù)幾何的研究對(duì)象分別是有復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀。復(fù)幾何研究的目的是理解這些幾何形狀的特性，以及它們之間的保持復(fù)結(jié)構(gòu)的映射。莫毅明和合作者創(chuàng)立和發(fā)展了極小有理切向量族（VMRT）理論，以一組有特殊結(jié)構(gòu)的代數(shù)簇來研究流形之間的解析映射，以此解決了一系列懸而未決的數(shù)學(xué)猜測。

莫毅明教授的研究非常深刻與艱難，常人很難理解。我們不妨從一個(gè)更大的視野來看數(shù)學(xué)研究。數(shù)學(xué)家們?nèi)绾窝芯繑?shù)學(xué)？數(shù)學(xué)盡管抽象，但其研究方式還是有些規(guī)律的。最常用的方法是 “比較”。群論里有簡單的群，幾何里有簡單的流形，拓?fù)鋵W(xué)里有簡單的拓?fù)淇臻g。我們往往對(duì)這些簡單的對(duì)象有充分的理解。如果遇到更為復(fù)雜的群和空間，我們可以與其他群或空間，尤其一些簡單的群或簡單的空間作比較，這種所謂的比較就是找到一些有意義的、保持某些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的映射（群論里是同態(tài)，拓?fù)淅锸沁B續(xù)函數(shù)等等）。這種方法可以用來分類，以及找出復(fù)雜對(duì)象中的簡單結(jié)構(gòu)。莫毅明教授的工作正是發(fā)明了一組擁有特殊結(jié)構(gòu)的對(duì)象，以此通過比較來確定其他流形的性質(zhì)。

表面上看，各個(gè)數(shù)學(xué)分支研究的對(duì)象不同，都在一個(gè)封閉的自我世界之中。其實(shí)不然。各個(gè)方向的相互聯(lián)系恰恰是數(shù)學(xué)的活力。代數(shù)方程的解有豐富的幾何結(jié)構(gòu)，這是為什么有代數(shù)幾何這個(gè)學(xué)科。同樣，拓?fù)淇臻g有諸如同調(diào)群、同倫群等豐富代數(shù)結(jié)構(gòu)。當(dāng)前數(shù)學(xué)上最為活躍的領(lǐng)域之一，Langlands Programm，就是試圖證明數(shù)論與幾何的聯(lián)系。

莫毅明教授的工作樹立了復(fù)幾何、代數(shù)幾何以及數(shù)論成功合作的典范。值得一提的，是莫毅明教授另外一個(gè)很有意義的工作。大家可能都知道歐拉數(shù)e和圓周率π都是超越數(shù)，即e 和π 都不是有理代數(shù)方程的根。人們猜測e和π之間也沒有代數(shù)關(guān)系，這是一個(gè)經(jīng)典的未解問題，它是數(shù)論上重大猜測——Schanuel猜測——的一部分。Schanuel猜測可以推廣到一般代數(shù)簇上，成為Ax-Schanuel猜測。莫毅明和他的合作者最近解決了一類特殊的代數(shù)簇——志村簇——上的這一猜測，又一項(xiàng)了不起的工作！

再次祝賀莫毅明教授榮獲2022年未來科學(xué)大獎(jiǎng)之?dāng)?shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)！

制版編輯 | 姜絲鴨



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南方科技大學(xué)數(shù)學(xué)系主任、講座教授，致誠書院院長。
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