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圖1：弦論（string theory）

撰文 | 張?zhí)烊?/span>

責(zé)編 | 寧   茜、呂浩然

人們都說(shuō)，物理學(xué)是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的科學(xué)。如果一個(gè)物理理論長(zhǎng)久不能被實(shí)驗(yàn)證實(shí)，還有繼續(xù)研究的必要嗎？如今，理論物理的頂峰：弦（理）論（string theory），看起來(lái)就屬于這種理論。

自上世紀(jì)60年代弦論誕生以來(lái)，半個(gè)多世紀(jì)已經(jīng)過(guò)去，它吸引了大量最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)、物理高材生，耗盡了許多年輕科學(xué)家的寶貴光陰甚至整個(gè)人生，但弦論學(xué)家們?nèi)匀粺o(wú)法提出任何目前能夠直接被實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)驗(yàn)證的預(yù)言，原因是要實(shí)現(xiàn)它們所需的能量太大了，是現(xiàn)有（也許將來(lái)一段不短時(shí)期）的粒子對(duì)撞機(jī)實(shí)驗(yàn)完全無(wú)法達(dá)到的能量級(jí)別。因而，弦論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可謂遙遙無(wú)期。這種狀況引發(fā)學(xué)界激烈的爭(zhēng)論：弦論是“真正的科學(xué)”嗎？繼續(xù)研究它有何意義呢？

實(shí)際上，弦論幾十年研究的功勞不小，不僅解決了粒子物理、宇宙學(xué)等領(lǐng)域的一些問(wèn)題，還啟發(fā)了數(shù)學(xué)家的思維，大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)某些方面的研究和發(fā)展。此外，它對(duì)科學(xué)思想、哲學(xué)等也頗有貢獻(xiàn)。

因此，在介紹弦論的歷史及簡(jiǎn)單內(nèi)容之前，我們首先彈撥一曲“弦外之音”，讓讀者耹聽(tīng)一下：物理學(xué)（包括這幾十年的弦論研究）對(duì)科學(xué)方法的影響，以及弦論對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)了什么。

弦論之哲學(xué)思想，仍屬于還原論的范疇，是古希臘就開(kāi)始的自然科學(xué)主流。還原論在物理學(xué)上體現(xiàn)為追溯萬(wàn)物之本，從德謨克利特（Δημ?κριτο?， 約公元前460-公元前370）的原子論構(gòu)想，到現(xiàn)代物理中的標(biāo)準(zhǔn)模型，表面看起來(lái)都是試圖回答同樣一個(gè)問(wèn)題：宇宙中的萬(wàn)物（最終）是由什么構(gòu)成的？

然而，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，哲學(xué)思想的內(nèi)涵有了很大變化。古人說(shuō)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。根據(jù)經(jīng)典科學(xué)的概念，復(fù)雜的事物可以化簡(jiǎn)，房屋能夠拆成磚塊，大的物體可以分?。蝗缓?，再化簡(jiǎn)，再分小……一直深入下去。例如，人體由細(xì)胞組成，細(xì)胞由分子構(gòu)成，分子又包含了原子，然后再到電子、質(zhì)子和中子，一層比一層更小、更輕，也就是“更為基本”。

換言之，經(jīng)典科學(xué)中溯本求源的手段是“拆”和“分”，然后再用測(cè)量來(lái)判斷大小。測(cè)大小的最簡(jiǎn)單方法是用眼睛，房子大磚頭小，因此房屋由磚頭構(gòu)成，一看便知。在實(shí)驗(yàn)室里則可以用顯微鏡觀察到人體的細(xì)胞、分子、原子等等。固然，原子也不是最基本的，因?yàn)榭茖W(xué)家們?cè)谠拥纳⑸鋵?shí)驗(yàn)中又發(fā)現(xiàn)了電子和質(zhì)子。

不過(guò)，再小下去就出現(xiàn)了問(wèn)題。測(cè)量越來(lái)越困難，孰大孰小孰輕孰重，便難以判定。如此一來(lái)，也說(shuō)不清誰(shuí)是更基本的了！況且，“拆”和“分”的概念也失去意義。例如，分子原子等可以說(shuō)成是物質(zhì)一分再分而分出來(lái)的，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)的許多“粒子”，卻不是“分”出來(lái)的了。哪里來(lái)的呢？一是天上來(lái)的宇宙射線(xiàn)，二是對(duì)撞機(jī)中撞來(lái)撞去撞出來(lái)的。這兩種新方法為人類(lèi)提供了幾百種不同的粒子，它們?cè)谧瞾?lái)撞去的過(guò)程中互相“湮滅、生成、轉(zhuǎn)化”，因此，難以判定誰(shuí)更基本。

圖2：β衰變

比如說(shuō)，正電子和負(fù)電子對(duì)撞，可以湮滅而生成一對(duì)光子。你能說(shuō)電子中包含了光子嗎？顯然不能，因?yàn)槔碚撋?，?dāng)光子能量足夠時(shí)，你也可能觀察到完全相反的逆過(guò)程（即兩個(gè)光子對(duì)撞生成正負(fù)電子）。又如，圖2a顯示的是β衰變，一個(gè)中子轉(zhuǎn)變?yōu)橘|(zhì)子，同時(shí)釋放一個(gè)電子和一個(gè)反電中微子。圖2b所示則是另外一種過(guò)程（+β衰變）：一個(gè)質(zhì)子轉(zhuǎn)變成中子，同時(shí)釋放一個(gè)正電子和一個(gè)正電中微子。諸如此類(lèi)的“粒子”轉(zhuǎn)換過(guò)程，不好用經(jīng)典說(shuō)法中的“分”來(lái)理解，也不能得出“誰(shuí)組成誰(shuí)”的結(jié)論。也就是說(shuō)，到了比原子更小的層次，我們最好將圖像和理論理解成是為了描述的方便而已，并非意味著某事物的內(nèi)部就是圖上畫(huà)的那個(gè)樣子。

盡管如此，物理學(xué)家仍然將幾百種粒子分了類(lèi)，確定了最少數(shù)目的“基本粒子”，在上一篇介紹的包括3種相互作用的標(biāo)準(zhǔn)模型中，這個(gè)數(shù)目是61（不包括引力子）。

不過(guò)，在弦論之前的物理，最終是將萬(wàn)物之本歸結(jié)為某些“點(diǎn)狀粒子”，而弦論則認(rèn)為宇宙中最基本的，不是“點(diǎn)”，而是一段“弦”。

“物理理論從何而來(lái)？”這好像是個(gè)不成問(wèn)題的問(wèn)題，多數(shù)人的回答是，當(dāng)然來(lái)自于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。這是物理界公認(rèn)的事實(shí)，也基本正確。人類(lèi)對(duì)自然的認(rèn)識(shí)從實(shí)踐開(kāi)始，再回到實(shí)踐。發(fā)展初期的自然科學(xué)，也是首先始于觀察和實(shí)驗(yàn)。以標(biāo)準(zhǔn)模型為例，如當(dāng)年蓋爾曼（Murray Gell-Mann，1929 -2019）的八正法（eightfold way），直到夸克模型（Quark Model），便是為了解釋大量強(qiáng)子實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而作出的假設(shè)。理論一旦建立起來(lái)，又需要被更多的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。標(biāo)準(zhǔn)模型作為一個(gè)成功的粒子物理理論，就是因?yàn)榈侥壳盀橹?，幾乎所有?duì)引力之外三種力的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，都符合這套理論的預(yù)測(cè)。

不過(guò)，事情也有例外，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論，當(dāng)初就并不是為了解決任何實(shí)驗(yàn)而建立的。反之，它是人類(lèi)思想的勝利，是愛(ài)因斯坦遵循哲學(xué)觀念（相對(duì)性原理）及邏輯推理，憑著創(chuàng)造性的直覺(jué)和猜測(cè)而得來(lái)的純粹理性思維的杰作。如今，理性思維產(chǎn)生的廣義相對(duì)論，已被多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)以及天文觀測(cè)數(shù)據(jù)證實(shí)，幾年前人類(lèi)第一次探測(cè)到的引力波，再一次證明了這個(gè)理論的正確性。

事實(shí)上，如今的物理學(xué)，已經(jīng)越來(lái)越變成了理論領(lǐng)先于實(shí)驗(yàn)的學(xué)科。理論可以獨(dú)立發(fā)展，理論可以預(yù)言暫時(shí)未觀察到的事物，理論甚至還可以創(chuàng)造出新的理論。例如，根據(jù)18世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的最小作用量原理，只需找到合適的拉格朗日作用量，就能得出物理定律。經(jīng)典物理中的分析力學(xué)便是這樣建立起來(lái)的，量子物理更是將此方法應(yīng)用推廣到了極致。此外，數(shù)學(xué)家諾特（Emmy Noether，1882-1935）有關(guān)對(duì)稱(chēng)和守恒的原理也為純粹從理論預(yù)言新的物理規(guī)律提供了思路。

因此，評(píng)判一個(gè)物理理論是否正確，可以有一系列標(biāo)準(zhǔn)。除了實(shí)驗(yàn)這一條之外，還有所謂的理論美：簡(jiǎn)單、連貫、一致、優(yōu)雅等等。因此，即使尚未被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，杰出的科學(xué)思想也或許有很大的價(jià)值。

雖然弦論最早是來(lái)源于對(duì)強(qiáng)相互作用的（錯(cuò)誤）研究，但后來(lái)卻是完全靠數(shù)學(xué)思想和自身邏輯發(fā)展成了一個(gè)宏大而優(yōu)雅的理論體系。也許遲早將會(huì)有實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)結(jié)果證明弦論的正確，正如一位弦論學(xué)者約翰·施瓦茨（John Schwarz，1941- ）所言：

數(shù)學(xué)物理早期是一家，分家后各自發(fā)展。數(shù)學(xué)的發(fā)展方向包括純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，與物理相關(guān)的主要是應(yīng)用數(shù)學(xué)，并且其作用大多數(shù)是為了計(jì)算。

物理和數(shù)學(xué)相互促進(jìn)最早的例子應(yīng)該是牛頓為了研究運(yùn)動(dòng)學(xué)而創(chuàng)立的微積分。之后便是剛才提及的變分法和分析力學(xué)。愛(ài)因斯坦用黎曼幾何完整地解讀了廣義相對(duì)論的美妙，之后，廣義相對(duì)論又反哺數(shù)學(xué)，促進(jìn)了整體微分幾何及流形理論等領(lǐng)域的發(fā)展。

到了量子場(chǎng)論時(shí)期，這種例子越來(lái)越多了，場(chǎng)論的研究除了影響應(yīng)用數(shù)學(xué)之外，也涉及許多純數(shù)學(xué)領(lǐng)域。例如，楊-米爾斯的非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)論（non-Abelian gauge field），在數(shù)學(xué)上是一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域，它產(chǎn)生了西蒙·唐納森（Simon Donaldson，1957-）的工作，促進(jìn)了數(shù)學(xué)中規(guī)范場(chǎng)論（Donaldson theory）的發(fā)展，推動(dòng)了數(shù)學(xué)家研究在四維流形上可微結(jié)構(gòu)的不變量，解決四維流形分類(lèi)的問(wèn)題。

楊-米爾斯理論相關(guān)的另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題“存在性與質(zhì)量間隙”，被列入克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute, 簡(jiǎn)稱(chēng)CMI）的“千年獎(jiǎng)問(wèn)題”[1]之一。該問(wèn)題旨在尋求對(duì)一個(gè)猜想的證明，即證明楊-米爾斯方程組有唯一解，并且該解滿(mǎn)足“質(zhì)量間隙”這一特征。這個(gè)問(wèn)題至今未被解決，千年獎(jiǎng)問(wèn)題中唯一被破解了的是“龐加萊猜想”（Poincaré conjecture）。該問(wèn)題2006年確認(rèn)由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman，1966-）完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎(jiǎng)（Fields Medal），但并未現(xiàn)身領(lǐng)獎(jiǎng)。佩雷爾曼的證明文章中，用到了物理學(xué)中“熵”的概念。

弦論研究中物理與數(shù)學(xué)的互動(dòng)不勝枚舉，物理的直覺(jué)靈感推動(dòng)數(shù)學(xué)前進(jìn)，數(shù)學(xué)則為弦論提供了一個(gè)非常重要的檢驗(yàn)平臺(tái)。盡管弦論目前還難以被物理實(shí)驗(yàn)證明正確與否，但由弦論所激發(fā)的數(shù)學(xué)卻是正確而漂亮的，這點(diǎn)給予弦論一種間接的驗(yàn)證。下面簡(jiǎn)單介紹幾個(gè)弦論研究促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)例。

流形可以被簡(jiǎn)單地理解為局部平直的幾何空間。如果以不同的維數(shù)來(lái)分類(lèi)，可以有1維流形、2維流形……n維流形。

 圖3：各種維度的流形

圖3是流形的例子。雖然流形的維數(shù)n可以是任何正整數(shù)，但在一個(gè)平面圖上我們只能畫(huà)到2維流形，再高維的就畫(huà)不出來(lái)了，只好輔之以想象?？ɡ?丘是一類(lèi)特別的6維流形，是無(wú)法畫(huà)出來(lái)也難以想象的，圖3右圖中顯示的只是它的低維截面圖。因此，讀者不用糾結(jié)于“它到底長(zhǎng)什么樣”，可以簡(jiǎn)單地將它大概理解成極小又纏繞得極緊的“一團(tuán)東西”，隱藏于我們看不見(jiàn)摸不著（后幾篇會(huì)介紹）的“額外維度”中。

數(shù)學(xué)家卡拉比（Eugenio Calabi，1923-）最先于1957年就這一類(lèi)流形提出了一個(gè)猜想，美籍華裔數(shù)學(xué)家丘成桐（Shing-tung Yau，1949-）于1978年證明了這個(gè)猜想。然后，1985年，四位弦論研究者坎德拉（Philip Candelas，1951-）、霍洛維茨（Gary Horowitz，1955-）、斯特羅明格（Andrew Strominger，1955-）和威滕（Edward Witten，1951-）寫(xiě)了一篇革命性的論文，他們發(fā)現(xiàn)他們所研究的超弦理論中額外的6維空間是復(fù)3維（實(shí)6維）的卡拉比-丘流形。這使得卡拉比-丘空間成為之后三十年來(lái)數(shù)學(xué)和物理中非常熱門(mén)的課題[2]。由弦論所激發(fā)的靈感使得一些非常重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題得以解決。反之，數(shù)學(xué)又為驗(yàn)證弦論所激發(fā)的構(gòu)想是否正確或自洽，提供了一種方式。

丘成桐深刻感受到物理學(xué)家的直覺(jué)對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的作用，但以上所述并不是第一個(gè)使他吃驚的例子。丘成桐與4位作者之一的威滕早有交集，因?yàn)樗嘘P(guān)流形的研究工作，本來(lái)就與廣義相對(duì)論彎曲時(shí)空性質(zhì)有關(guān)。廣義相對(duì)論中有一個(gè)正能量定理（Positive energy theorem），或稱(chēng)正質(zhì)量猜測(cè)（positive mass conjecture）。丘成桐使用非線(xiàn)性偏微分方程中的極小曲面理論，在1979年對(duì)此猜想給出了一個(gè)完全的證明。這在當(dāng)時(shí)是一項(xiàng)了不起的工作，是丘成桐1982年獲得菲爾茲獎(jiǎng)的主要成就之一。

1981年的一天，物理學(xué)家戴森（Freeman Dyson，1924-2020）來(lái)敲丘成桐普林斯頓高研院（Institute for Advanced Study，簡(jiǎn)稱(chēng)IAS）辦公室的門(mén)， 向他引薦了年輕的物理學(xué)家威滕。當(dāng)時(shí)只有30歲的威滕用線(xiàn)性偏微分方程理論和Dirac旋量的方法，以及源于物理中經(jīng)典超引力的思想，對(duì)正能量猜測(cè)給出了一個(gè)十分簡(jiǎn)潔的證明。物理學(xué)家尤其喜歡威滕的證明，因?yàn)樗麄儾恍枰巽@研數(shù)學(xué)中復(fù)雜的極小曲面理論了。這個(gè)另辟蹊徑的證明讓丘成桐震驚。之后，威滕于1990年獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。

圖4：數(shù)學(xué)家丘成桐和弦論學(xué)家威滕

再回到卡拉比-丘流形的話(huà)題。后來(lái)，坎德拉、布萊恩·R.格林（Brian R. Greene，1963-）等物理學(xué)家又發(fā)現(xiàn)Calabi-Yau 3-fold具有一種性質(zhì)叫鏡像對(duì)稱(chēng)性（Mirror symmetry），但指的不是通常意義下的鏡面對(duì)稱(chēng)性（見(jiàn)接下的篇章）?？驳吕瓕⑦@個(gè)對(duì)稱(chēng)性用于解決卡拉比-丘流形的一個(gè)與“枚舉幾何”有關(guān)的問(wèn)題。

枚舉幾何的目的，是研究幾何中某類(lèi)圖形的數(shù)量。例如，舉兩個(gè)最簡(jiǎn)單的枚舉幾何問(wèn)題：通過(guò)平面上給定兩點(diǎn)能作幾條直線(xiàn)？答案是1；另一個(gè)例子稍微復(fù)雜（Apollonius's problem）：平面上給定三個(gè)圓，和這三個(gè)圓都相切的圓有多少個(gè)？一般情況下，答案是8（PS：讀者們可以想象一下這8個(gè)圓都是如何相切的，我們下期放圖?。?/span>。

剛才是極為簡(jiǎn)單的平面（枚舉）幾何例子，答案很容易計(jì)算，但隨著問(wèn)題復(fù)雜性增加，即使是2維中的問(wèn)題，計(jì)算也會(huì)很快就變得非常繁瑣，完全不可能依賴(lài)直覺(jué)計(jì)算出來(lái)。到了高維空間就異常困難了。首先是沒(méi)有了直觀圖像，幾何方法不便使用，只好借助于代數(shù)，所以就有了“代數(shù)幾何”這門(mén)學(xué)科。當(dāng)年的坎德拉等人要解決的問(wèn)題，是要計(jì)算6維的卡拉比-丘流形上有理曲線(xiàn)的數(shù)目，他們1991年算出來(lái)了[3]，結(jié)論是：317,206,375。

然而，兩位挪威數(shù)學(xué)家爾林斯瑞德（Geir Ellingsrud，1948-）和斯達(dá)姆（Stein Stromme，1951-2014）已經(jīng)努力用他們復(fù)雜的工具和一系列天才的計(jì)算機(jī)程序，來(lái)計(jì)算同樣的問(wèn)題，卻得到了不同的結(jié)果：2,682,549,425。因此，開(kāi)始時(shí)數(shù)學(xué)家們有點(diǎn)懷疑弦論學(xué)家們的結(jié)果，因?yàn)槲锢韺W(xué)家用了數(shù)學(xué)家沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)的“鏡像對(duì)稱(chēng)”技巧。后來(lái)，爾林斯瑞德和斯達(dá)姆謹(jǐn)慎地檢查了他們的工作，然后在計(jì)算機(jī)程序中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤。于是，他們宣布了他們的修正，結(jié)果的數(shù)值與物理學(xué)家們計(jì)算的完全一致！

圖5：Philip Candelas在UT Austin

盡管最初的鏡像對(duì)稱(chēng)方法是從物理學(xué)出發(fā)的，數(shù)學(xué)上并不嚴(yán)格，但后來(lái)它的許多數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)已經(jīng)被嚴(yán)格證明了。再后來(lái)，鏡像對(duì)稱(chēng)成為純數(shù)學(xué)界中的熱門(mén)話(huà)題，法國(guó)俄裔數(shù)學(xué)家馬克西姆·孔采維奇（Maxim Lvovich Kontsevich，1964-）于1998年獲得菲爾茲獎(jiǎng)，其部分原因便與鏡像對(duì)稱(chēng)及枚舉幾何有關(guān)。

參考資料：

[1]千禧年大獎(jiǎng)難題：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%83%E7%A6%A7%E5%B9%B4%E5%A4%A7%E7%8D%8E%E9%9B%A3%E9%A1%8C

[2]Shing-Tung Yau and Steve Nadis，The Shape of Inner Space, Basic Books，New York，pp.169-70.

[3]Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory. Nuclear Physics B. 1991, 359 (1): 21–74.

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